专题3 勾股定理蕴含的数学文化及两点间距离公式（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题3 勾股定理蕴含的数学文化及两点间距离公式（解析版） 类型一 勾股定理蕴含的数学文化 1．（2021春•扶沟县期末）传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，根据三角形的周长以及勾股定理得出方程组，利用完全平方公式求出2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝m2﹣2mn，两边除以4即可求出这个直角三角形的面积． 【解答】解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b， 由题意可得，， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn， ∴这个直角三角形的面积ab． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了完全平方公式，三角形的周长与面积． 2．（2022•舟山二模）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 　101　寸． 【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OECD＝1寸， ∴AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中， AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101（寸）， ∴AB＝101寸， 故答案为：101． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 3．（2024秋•新华区期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为 　3.75　尺. 【分析】设AC的长度为x尺，则AB'＝AB＝（x+0.5）尺，在Rt△AB'C中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：设AC的长度为x尺，则AB'＝AB＝（x+0.5）尺， 在Rt△AB'C中，由勾股定理得：AC2+B'C2＝AB'2， 即x2+22＝（x+0.5）2， 解得：x＝3.75， 即AC的长度为3.75尺， 故答案为：3.75． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 4．（2024春•新余期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”（注：1步＝5尺） 译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．” 【分析】设绳索有x尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设绳索有x尺长， 由题意得：102+（x+1﹣5）2＝x2， 解得：x＝14.5， 即绳索长14.5尺． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键． 类型二 两点间距离公式 5．（2023•越秀区校级开学）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由m﹣n2+4＝0可得3n2﹣9＝3m+3，根据点到坐标原点的距离可求解． 【解答】解：∵m﹣n2+4＝0， ∴n2﹣4＝m， ∴3n2﹣9＝3m+3， ∵P（m，3n2﹣9）， ∴P点到原点的距离为， ∴点P到原点O的距离的最小值为， 故选：D． 【点评】本题主要考查勾股定理，两点间的距离，求解3n2﹣9＝3m+3是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，点A（2，3），点B（6，1），点C在x轴上，且△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点C的坐标为 　（3，0）　． 【分析】根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E， ∵点A（2，3），点B（6，1）， ∴AF＝CE＝3，CF＝BE＝1， ∴△ACF≌△CBE（SAS）， ∴AC＝CB，∠ACF＝∠CBE， ∵∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠BCE+∠ACF＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ACB是以AB为斜边的等腰直角三角形， ∴C（3，0）， 故答案为：（3，0）． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 7．（2023春•樟树市期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a是的整数部分，在数轴上，b表示的数在原点的左侧，离原点的距离是2个单位长度． （1）填空：a＝　4　，b＝　﹣2　； （2）在（1）条件下，如果在第三象限内有一点P（﹣1，m），请用含m的式子表示四边形AOPB的面积； （3）如图2，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（5，0），点M的坐标为（﹣2，﹣2），动点P从原点O出发以每秒4个单位长度的速度沿y轴负方向移动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，连接AP、MP．设运动时间为t（t＞0）秒．是否存在这样的t，使S△AMP＝S△ABM？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由二次根式的性质和点的坐标特征即可得出结论； （2）由三角形面积和割补法即可得出结论； （3）根据S△AMP＝S△ABM构建方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵45，a是的整数部分， ∴a＝4， ∵b表示的数在原点的左侧，离原点的距离是2个单位长度， ∴b＝﹣2， 故答案为：4，﹣2； （2）由（1）可知，OA＝4，OB＝2， ∵在第三象限内有一点P（﹣1，m）， ∴m＜0， ∴S四边形AOPB＝S△AOB+S△POB4×22×（﹣m）＝4﹣m； （3）存在这样的t，使S△AMP＝S△ABM，理由如下： 如图2，连接OM． ∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（5，0）， ∴OA＝1，OB＝5， 由题意得：OP＝4t，OA＝1，AB＝1+5+t＝6+t， ∵点M的坐标为（﹣2，﹣2）， ∴S△ABM（6+t）×2＝6+t， S△AMP＝S△AOM+S△OPM﹣S△AOP1×24t×21×4t＝2t+1， 当2t+1＝t+6时，S△AMP＝S△ABM， 解得：t＝5， 即存在这样的t，使S△AMP＝S△ABM，t的值为5． 【点评】本题考查了坐标与图形性质、二次根式的性质以及三角形的面积等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 8．（2020春•石城县期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离　13　； （2）已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为﹣1，试求M、N两点的距离为　5　； （3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由． （4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标及PD+PF的最短长度． 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算； （2）根据平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同，所以A、B间的距离为两点的纵坐标之差的绝对值； （3）先利用两点间的距离公式计算出DE、EF、DF，然后根据等腰三角形的定义可判断△DEF为等腰三角形； （4）如图，作F关于x轴的对称点F′，连接FF′交x轴于P，则此时，PD+PF的长度最短，求得直线PF′的解析式为：yx，于是得到结论． 【解答】解：（1）AB13， 故答案为：13； （2）MN＝4﹣（﹣1）＝5； 故答案为：5； （3）△DEF为等腰三角形．理由如下： ∵DE5，EF＝4﹣（﹣2）＝6，DF5， ∴DE＝DF， ∴△DEF为等腰三角形； （4）如图，作F关于x轴的对称点F′，连接FF′交x轴于P， 则此时，PD+PF的长度最短， ∵F（4，2）， ∴F′（4，﹣2）， 设直线PF′的解析式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线PF′的解析式为：yx， 当y＝0时，x， ∴P（，0）， ∴PD+PF的最短长度． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2，求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．也考查了等腰三角形的判定和勾股定理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 勾股定理蕴含的数学文化及两点间距离公式（原卷版） 类型一 勾股定理蕴含的数学文化 1．（2021春•扶沟县期末）传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2022•舟山二模）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 　 　寸． 3． （2024秋•新华区期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为 　 　尺. 4．（2024春•新余期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”（注：1步＝5尺） 译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．” 类型二 两点间距离公式 5．（2023•越秀区校级开学）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点A（2，3），点B（6，1），点C在x轴上，且△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点C的坐标为 　 　． 7．（2023春•樟树市期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a是的整数部分，在数轴上，b表示的数在原点的左侧，离原点的距离是2个单位长度． （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）在（1）条件下，如果在第三象限内有一点P（﹣1，m），请用含m的式子表示四边形AOPB的面积； （3）如图2，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（5，0），点M的坐标为（﹣2，﹣2），动点P从原点O出发以每秒4个单位长度的速度沿y轴负方向移动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，连接AP、MP．设运动时间为t（t＞0）秒．是否存在这样的t，使S△AMP＝S△ABM？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 8．（2020春•石城县期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离　 　； （2）已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为﹣1，试求M、N两点的距离为　 　； （3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由． （4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标及PD+PF的最短长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$