专题2 利用勾股定理解决折叠问题（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题2 利用勾股定理解决折叠问题（解析版） 类型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题 1．（2022春•杭州期中）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则DE为（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】连接BE，过D作DG⊥AC于G，先判定△A'DE≌△EBF（SAS），即可得出A'D＝BE＝AD＝2，再根据勾股定理求得CE的长，进而得出EG和DG的长，再根据勾股定理即可得到DE的长． 【解答】解：如图所示，连接BE，过D作DG⊥AC于G， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4， ∴由勾股定理得AB＝4， 由折叠可得，△ADE与△A'DE全等， ∵△DEF的面积是△ADE面积的一半， ∴△DEF的面积是△A'DE面积的一半，且DFAD， ∴F是A'E的中点， 又∵D是AB的中点， ∴DFADBD，即F是BD的中点， 又∵∠A'FD＝∠EFB， ∴△A'DE≌△EBF（SAS）， ∴A'D＝BE＝AD＝2， 又∵∠C＝90°， ∴Rt△BCE中，CE2， ∵DG∥BC，D是AB的中点， ∴G是AC的中点，即CGAC＝4， ∴EG＝CG﹣CE＝4﹣2＝2，DGBC＝2， ∴Rt△DEG中，DE， 故选：C． 【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2．（2024秋•介休市期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为 　2　cm． 【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE＝AB，已知AC的长，可将CE的长求出． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm， ∴AB10cm， 根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10cm， ∵AC＝8cm， ∴CE＝AE﹣AC＝2cm， 即CE的长为2cm， 故答案为：2． 【点评】此题考查翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口． 3．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　　． 【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3， ∴， 由折叠的性质可知AC＝AC'＝3， ∵BC'≥AB﹣AC'， ∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为， 故答案为 ． 【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系是解题的关键． 4．（2018•盘锦）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝24，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为　或　． 【分析】依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长． 【解答】解：分两种情况： ①如图，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝24， ∴∠C＝30°，ABAC， 由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°， ∴∠BDN＝30°， ∴BNDNAN， ∴BNAB， ∴AN＝2BN， ∵∠DNB＝60°， ∴∠ANM＝∠DNM＝60°， ∴∠AMN＝60°， ∴AN＝MN； ②如图，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形， 由题可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°， ∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°， ∴BDDNAN，BNBD， 又∵AB， ∴AN＝2，BN， 过N作NH⊥AM于H，则∠ANH＝30°， ∴AHAN＝1，HN， 由折叠可得，∠AMN＝∠DMN＝45°， ∴△MNH是等腰直角三角形， ∴HM＝HN， ∴MN， 故答案为：或． 【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 5．（2021秋•江宁区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿EF翻折，点A恰好落在边BC的中点D处．求AE的长． 【分析】设AE的长为x，由翻折可知：DE＝AE＝x，EC＝6﹣x，在Rt△CDE中可得（6﹣x）2+42＝x2，即得x． 【解答】解：设AE的长为x，由翻折可知：DE＝AE＝x，EC＝6﹣x， ∵D是BC的中点， ∴CDBC8＝4， 在Rt△CDE中，∠C＝90°，EC2+DC2＝ED2， ∴（6﹣x）2+42＝x2， 解得x； 答：AE的长为． 【点评】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是在Rt△CDE中用勾股定理列方程解决问题． 6．（2024秋•徐汇区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC＝9，点Q是边AC上的动点（点Q不与点A、C重合），过点Q作QR∥AB，交边BC于点R，再把△QCR沿着动直线QR翻折得到△QPR，设AQ＝x． （1）求∠PRQ的大小； （2）当点P落在斜边AB上时，求x的值； （3）当点P落在Rt△ABC外部时，PR与AB相交于点E，如果BE＝y，请直接写出y关于x的函数关系式及定义域． 【分析】（1）首先，根据三角形的边角关系求得∠B＝30°；然后由折叠的性质得到∠QRC＝∠PRQ；再根据平行线的性质得到∠QRC＝∠B，则∠QRC＝∠B＝30°； （2）如图2，在Rt△ABC中易求∠A＝60°，则由折叠的性质可得∠CQR＝∠PQR＝60°，所以根据平角的定义求得∠AQP＝60°，故∠APQ＝60°，AQ＝PQ＝CQ； （3）根据折叠的性质和含有30°角的直角三角形的性质求得 【解答】解：（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴， ∴， ∴∠B＝30° ∵QR∥AB， ∴∠QRC＝∠B＝30° ∴∠PRQ＝30°； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°． ∴∠A＝60°，同理，可得∠CQR＝60°，∠PQR＝60° ∴∠AQP＝180°﹣60°﹣60°，∴∠APQ＝60° ∴AQ＝PQ＝CQ． ∴． ∴； （3）y＝3x；定义域：0＜x； 补充：∵由（1）、（2）可知△AFQ是等边三角形，∠PEF＝30°，AB＝2AC， ∴AQ＝AF＝QF，EF＝2PF． 根据折叠的性质得到：PF＝CQ﹣QF， ∴AE＝AF+EF＝AQ+2（CQ﹣AQ）， ∵BE＝AB﹣AE＝2AC﹣[AQ+2（AC﹣AQ﹣AQ）]＝2AC﹣AQ﹣2AC+4AQ＝3AQ， ∴y＝3x． ∵点P在线段AB上时，x， ∴该函数的定义域为0＜x． 【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质．解题时，充分利用了折叠的性质：对应边、对应角都相等． 类型二 利用勾股定理解决长方形的折叠问题 7．（2024秋•海口期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长． 【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成， ∴CD＝C′D＝AB＝4，∠C＝∠C′＝90°， 设DE＝x，则AE＝8﹣x， ∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′， ∴∠ABE＝∠C′DE， 在Rt△ABE与Rt△C′DE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA）， ∴BE＝DE＝x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2， ∴42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴DE的长为5． 故选：C． 【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键． 8．（2024秋•张家港市校级月考）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解． 【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED． ∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴BE＝9﹣AE， 根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2， ∴32+AE2＝（9﹣AE）2， 解得AE＝4． ∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）． 故选：C． 【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 9．（2023秋•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（5，4），则点F的坐标为 　（3，0）　． 【分析】由点D的坐标可知：AD＝OC＝5，AO＝DC＝4，根据翻折的性质可知AF＝5，由勾股定理可求得OF＝3，从而得到点F的坐标． 【解答】解：∵点D的坐标为（5，4）， ∴AD＝OC＝5，AO＝DC＝4． 由翻折的性质可知：AF＝AD＝5，ED＝EF． 在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF3． ∴点F的坐标为（3，0）． 故答案为：（3，0）． 【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 10．（2022春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长． 【分析】由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设CD与BE交于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8， 由翻折的性质得：△ABP≌△EBP， ∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8， 在△ODP和△OEG中，， ∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP＝OG，PD＝GE， ∴DG＝EP， ∴AP＝EP＝DG， 设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x， ∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x， 在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2， 即62+（8﹣x）2＝（x+2）2， 解得：x＝4.8， ∴AP＝4.8． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 11．（2016春•丰县月考）如图1，在一张矩形纸片ABCD上任意画一条线段GF，将纸片沿线段GF折叠， （1）重叠部分的△EFG是等腰三角形吗？请说明理由． （2）若使点C与点A重合，折叠为GF，如图2，△AFG的面积记为S1，图3中沿BD折叠，△EBD的面积记为S2，试问S1和S2相等吗？请说明理由． 【分析】（1）如图1，证明∠EFG＝∠AGF，则△EFG是等腰三角形； （2）如图2，设AG＝a，利用勾股定理表示出a，如图3，设ED＝x，利用勾股定理表示出x，由a＝x，所以AG＝ED，所以S1和S2相等． 【解答】解：（1）如图1，△EFG是等腰三角形，理由是： 由折叠得：∠EFG＝∠GFC， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AGF＝∠GFC， ∴∠EFG＝∠AGF， ∴△EFG是等腰三角形， （2）S1和S2相等，理由是： 如图2，∵△AFG是等腰三角形， ∴AF＝AG， 设AG＝a，则AF＝FC＝a，BF＝BC﹣a， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2＝AB2+BF2， ∴a2＝（BC﹣a）2+AB2， ∴a， 如图3，∵△BED是等腰三角形， ∴BE＝ED， 设ED＝x，则BE＝x，AE＝AD﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2， x2＝AB2+（AD﹣x）2， x， ∵AD＝BC， ∴a＝x， 即AG＝ED， ∵S1AG•AB，S2ED•AB， ∴S1＝S2． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和翻折的性质，翻叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；还要熟知等角对等边，对于两个三角形面积的判定，可以计算得出，也可以利用等底等高、等底同高、同底等高的两个三角形面积相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 利用勾股定理解决折叠问题（原卷版） 类型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题 1．（2022春•杭州期中）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则DE为（　　） A．2 B． C． D．4 2．（2024秋•介休市期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为 　 　cm． 3．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　． 4．（2018•盘锦）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝24，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为　 ． 5．（2021秋•江宁区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿EF翻折，点A恰好落在边BC的中点D处．求AE的长． 6．（2024秋•徐汇区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC＝9，点Q是边AC上的动点（点Q不与点A、C重合），过点Q作QR∥AB，交边BC于点R，再把△QCR沿着动直线QR翻折得到△QPR，设AQ＝x． （1）求∠PRQ的大小； （2）当点P落在斜边AB上时，求x的值； （3）当点P落在Rt△ABC外部时，PR与AB相交于点E，如果BE＝y，请直接写出y关于x的函数关系式及定义域． 类型二 利用勾股定理解决长方形的折叠问题 7．（2024秋•海口期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2024秋•张家港市校级月考）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 9．（2023秋•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（5，4），则点F的坐标为 　 　． 10．（2022春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长． 11．（2016春•丰县月考）如图1，在一张矩形纸片ABCD上任意画一条线段GF，将纸片沿线段GF折叠， （1）重叠部分的△EFG是等腰三角形吗？请说明理由． （2）若使点C与点A重合，折叠为GF，如图2，△AFG的面积记为S1，图3中沿BD折叠，△EBD的面积记为S2，试问S1和S2相等吗？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$