专题1 勾股定理的证明、赵爽弦图及勾股树（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题1 勾股定理的证明、赵爽弦图及勾股树（解析版） 类型一 勾股定理的证明 1．（2024秋•建宁县期中）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【解答】解：A、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得a2+b2＝c2， 故A选项可以证明勾股定理，不符合题意； B、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得a2+b2＝c2， 故B选项可以证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得a2+b2＝c2， 故C选项可以证明勾股定理，不符合题意； D、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 以上公式为完全平方公式， 故D选项不能说明勾股定理，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 2．（2024春•庆云县月考）如图，四边形ABFE，AJKC，BCIH分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形，过点C作AB的垂线，交AB于点D，交FE于点G，连接HA，CF．则下列结论：①△ABH≌△FBC；②S正方形BCIH＝2S△ABH；③S长方形BFGD＝2S△ABH；④BD2+AD2+CD2＝BF2．正确的有 　①②③　．（填序号） 【分析】由“SAS”可证△ABH≌△FBC，故①正确；由平行线间的距离处处相等，可得S正方形BCIH＝2S△ABH，故②正确；同理可证S长方形BFGD＝2S△ABH，故③正确；由勾股定理可得BD2+AD2+2CD2＝BF2，故④错误，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABFE和四边形CBIH是正方形， ∴AB＝FB，HB＝CB，∠ABF＝∠CBH＝90°， ∴∠CBF＝∠HBA， ∴△ABH≌△FBC（SAS），故①正确； 如图，连接HC， ∵AI∥BH， ∴， ∴S正方形BCIH＝2S△ABH，故②正确； ∵CG∥BF， ∴， ∴S长方形BFGD＝2S△ABH，故③正确； ∵BC2＝DC2+DB2，AC2＝DC2+AD2，BC2+AC2＝AB2， ∴DC2+DB2+DC2+AD2＝AB2＝BF2， ∴BD2+AD2+2CD2＝BF2，故④错误， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．（2023秋•南海区月考）勾股定理神秘西美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，性惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图摆收时，可以用“面积法”来证明勾股定理a2+b2＝c2，图中∠BAD＝90°，四边形ACFE是正方形． （1）请把四边形ACFD的面积表示出来； （2）请你用该图证明勾股定理，写出过程． 【分析】（1）由梯形的面积公式可得出答案； （2）根据S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE可得出结论． 【解答】（1）解：四边形ACFD的面积； （2）证明：由题意知BF＝b﹣a， ∵S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE，S四边形ABED＝S△ADB+S△DEBa（b﹣a）， ∴a（b﹣a）， ∴a2+b2＝c2． 【点评】本题考查了勾股定理的证明、三角形面积的计算方法、多边形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理的证明方法，运用面积法证明勾股定理是常用的方法． 类型二 赵爽弦图 4．（2024•眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 【分析】根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c， ∵图1中大正方形的面积是24， ∴a2+b2＝c2＝24， ∵小正方形的面积是4， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4， ∴ab＝10， ∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4ab＝24+2×10＝44； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2023春•思明区期末）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6，则该图形的面积 　96　． 【分析】根据题目中的数据和图形，可以得到，然后即可得到a、b、c的值，然后即可计算出图形ABCDEFGH的面积． 【解答】解：由图②可得， ， 解得， ∴图形ABCDEFGH的面积为：4＝2ab＝2×6×8＝96， 故答案为：96． 【点评】本题考查勾股定理的证明、勾股定理，直角三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝　48　． 【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可． 【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则： S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2， 且：a2+b2＝EF2＝16， ∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16 ＝2×16+16 ＝48． 故答案为：48． 【点评】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求解本题的关键． 类型三 勾股树 7．（2023秋•龙岗区月考）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第13代勾股树中正方形的个数为（　　） A．16382 B．16383 C．16384 D．16385 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第13代勾股树中正方形的个数． 【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个）， .....． ∴第13代勾股树中正方形有1+2+22+23+•••+213＝16383（个）， 故选：B． 【点评】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律． 8．（2023春•保定期末）如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，其面积S1、S2、S3满足S1+S2＝S3的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】分别表示出S1、S2、S3的面积，根据勾股定理判断即可． 【解答】解：∵直角三角形的三边长分别为a、b、c， ∴a2+b2＝c2， 图1中，S1aaa2，S2b2，S3c2， 则S1+S2（a2+b2），S3c2， ∴S1+S2＝S3， 同理，图2、图3、图4，都符合S1+S2＝S3， 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 9．（2024秋•驿城区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在AB同侧分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 　24　cm2． 【分析】由勾股定理得BC2+AC2﹣AB2＝0，根据S阴影等于以BC，AC为直径的半圆面积和加上直角三角形的面积再减去以AB为直径的半圆面积，即可求得结果． 【解答】解：由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，即BC2+AC2﹣AB2＝0． S阴影＝以BC为直径的半圆面积+以AC为直径的半圆面积+S△ABC﹣以AB为直径的半圆面积 ＝24（cm2）； 故答案为：24． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理，阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差是解题的关键． 10．（2024•大庆模拟）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．作△PQR使得∠R＝90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ＝　7+2　，△PQR的周长等于　27+13　． 【分析】在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长． 【解答】解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP． ∵AC＝GC，BC＝FC，∠ACB＝∠GCF， ∴△ABC≌△GFC， ∴∠CGF＝∠BAC＝30°， ∴∠HGQ＝60°， ∵∠HAC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠DAH＝180°， 又∵AD∥QR， ∴∠RHA+∠DAH＝180°， ∴∠RHA＝∠BAC＝30°， ∴∠QHG＝60°， ∴∠Q＝∠QHG＝∠QGH＝60°， ∴△QHG是等边三角形． AC＝AB•cos30°＝42． 则QH＝HA＝HG＝AC＝2． 在直角△HMA中，HM＝AH•sin60°＝23．AM＝HA•cos60°． 在直角△AMR中，MR＝AD＝AB＝4． ∴QR＝23+4＝7+2． ∴QP＝2QR＝14+4． PR＝QR•76． ∴△PQR的周长等于RP+QP+QR＝27+13． 故答案为：7+2；27+13． 【点评】考查了勾股定理的证明和含30度角的直角三角形，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键． 11．（2023•宣州区模拟）如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME﹣7）的会徽，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的．其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，所以OA2，OA3，OA42，… 把△OA1A2的面积记为S11×1，△OA2A3的面积S21，△OA3A4的面积S31，…如果把图2中的直角三角形继续作下去，请解答下列问题： （1）请直接写出OAn＝　　，Sn＝　　； （2）求出S12+S22+S32+…+S882的值． 【分析】（1）根据求出的结果得出规律，即可得出答案； （2）把求出的面积代入，再进行计算即可． 【解答】解：（1）OAn，Sn， 故答案为：，； （2）S12+S22+S32+…+S882 ＝（）2+（）2+（）2+…+（）2 ＝979． 【点评】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 勾股定理的证明、赵爽弦图及勾股树（原卷版） 类型一 勾股定理的证明 1．（2024秋•建宁县期中）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•庆云县月考）如图，四边形ABFE，AJKC，BCIH分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形，过点C作AB的垂线，交AB于点D，交FE于点G，连接HA，CF．则下列结论：①△ABH≌△FBC；②S正方形BCIH＝2S△ABH；③S长方形BFGD＝2S△ABH；④BD2+AD2+CD2＝BF2．正确的有 　 　．（填序号） 3．（2023秋•南海区月考）勾股定理神秘西美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，性惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图摆收时，可以用“面积法”来证明勾股定理a2+b2＝c2，图中∠BAD＝90°，四边形ACFE是正方形． （1）请把四边形ACFD的面积表示出来； （2）请你用该图证明勾股定理，写出过程． 类型二 赵爽弦图 4．（2024•眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 5．（2023春•思明区期末）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6，则该图形的面积 　 ． 6．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝　 　． 类型三 勾股树 7．（2023秋•龙岗区月考）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第13代勾股树中正方形的个数为（　　） A．16382 B．16383 C．16384 D．16385 8．（2023春•保定期末）如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，其面积S1、S2、S3满足S1+S2＝S3的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024秋•驿城区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在AB同侧分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 　 cm2． 10．（2024•大庆模拟）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．作△PQR使得∠R＝90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ＝　 ，△PQR的周长等于　 　． 11．（2023•宣州区模拟）如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME﹣7）的会徽，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的．其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，所以OA2，OA3，OA42，… 把△OA1A2的面积记为S11×1，△OA2A3的面积S21，△OA3A4的面积S31，…如果把图2中的直角三角形继续作下去，请解答下列问题： （1）请直接写出OAn＝　　，Sn＝　　； （2）求出S12+S22+S32+…+S882的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$