精品解析：江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学2023-2024学年高一上学期10月阶段测试数学试题

太湖高中高一10月适应性训练 数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，用列举法表示集合，再利用并集的定义求得答案. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：D 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】由，可得，即， 所以或， 则或, 所以. 故选：. 3. 设．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求解不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式， 因此，而不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知全集是实数集R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，再结合并集、补集运算即可求解. 【详解】，即，解得或， 所以或，又， 所以或， 阴影部分所表示的集合为. 故选：. 5. 设，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 6. 某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（ ）m时，能使总造价最低． A. 6 B. 4 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设正面边长为xm，地面宽为ym，易得，设总造价为，由求解. 【详解】解：设正面边长为xm，则地面宽为ym，则， 所以， 设总造价为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B 7. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求得，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设， 则， 所以， ， 因为， 所以， 所以，即， 故选：C. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，代入并利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，，得，则， ，显然，因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列四个命题中是假命题的为（ ） A. 存在，使得 B. 设，则的最小值是6 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由存在量词命题、全称量词命题的真假判断AC；利用基本不等式取等号的条件判断B；作差比较大小判断D. 【详解】对于A，当时，成立，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号， 而，因此上述不等式不能取到等号，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BC 10. 已知正数a，b满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由正数a，b满足，得，A正确； 对于B，由，得，则， 当且仅当时取等号，而，B错误； 对于C，，解得，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 11. 已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. S不可能是有限集 D. 若S中最小的正数为5，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用定义直接判断A；利用定义推理判断B；举例说明判断C；利用定义结合反证法推理判断D. 【详解】对于A，令是非空数集S的元素，则，A正确； 对于B，由，得，可推得，即， 又，则，从而，则，因此，B正确； 对于C，符合要求，此集合为有限集，C错误； 对于D，由S中最小的正数为5，，可推得， 假设里有形如，那么， 与5是集合中的最小正整数矛盾，因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设命题，则p的否定为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接求得答案. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以p的否定为. 故答案为： 13. 设全集，集合，．则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的运算即可求解. 【详解】∵，∴且，∴． 故答案为： 14. 已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得为方程的根，用表示出，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由时，关于的不等式恒成立，得 由，得，则；由，得，则， 因此为方程的根，即，即， 则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．（13'+15'+15'+17'+17'） 15. （1）求不等式的解集； （2）设a，b，c，d是实数，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2） ， 当且仅当时取等号， 所以. 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式求解. （2）作差判断符号，比较大小. 【详解】（1）不等式，因此，解得， 所以原不等式的解集为. （2）略 16. 设集合． （1）求集合M，并写出集合的所有真子集； （2）若是的充分条件．求实数a的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用交集的定义求解，再写出所有真子集. （2）根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 由，得， 则，所以的所有真子集为. 【小问2详解】 由是的充分条件，得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. 17. 已知关于x的不等式对一切实数x都成立．求： （1）实数k的取值范围； （2）若存在实数k，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分和讨论即可求解. （2）令，则，利用基本不等式求出的最小值，再根据解一元二次不等式的方法即可求解. 【小问1详解】 ①当时，，符合题意； ②当时，，解得. 所以的取值范围是. 【小问2详解】 ，即， 令， 存在实数k，使得不等式成立，即， 由（1）知，所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 即，解得或. 所以的取值范围是. 18. 某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） （1）试写出y与x之间的函数关系式； （2）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【小问1详解】 依题意，年销量为（万件）， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 19. 已知． （1）若的解集为，求实数a，t的值； （2）当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系即可求解. （2）对分和讨论，再根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 的解集为， 所以，解得. 【小问2详解】 当，，即，即， 当时，得，解得， 当时，方程只有一根，所以不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太湖高中高一10月适应性训练 数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 设．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知全集是实数集R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 设，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（ ）m时，能使总造价最低． A. 6 B. 4 C. D. 3 7. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列四个命题中是假命题的为（ ） A. 存在，使得 B. 设，则的最小值是6 C. D. 10. 已知正数a，b满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. S不可能是有限集 D. 若S中最小的正数为5，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设命题，则p的否定为____________． 13. 设全集，集合，．则实数的值为_____． 14. 已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．（13'+15'+15'+17'+17'） 15. （1）求不等式的解集； （2）设a，b，c，d是实数，试比较和的大小，并说明理由． 16. 设集合． （1）求集合M，并写出集合的所有真子集； （2）若是的充分条件．求实数a的取值范围． 17. 已知关于x的不等式对一切实数x都成立．求： （1）实数k的取值范围； （2）若存在实数k，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 18. 某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） （1）试写出y与x之间的函数关系式； （2）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 19. 已知． （1）若的解集为，求实数a，t的值； （2）当时，求关于x的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $