专项5 平均数问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——平均数问题 14种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 已知几个不同的数，在总和不变的条件下，把它们分成相等的几份，求其中的一份是多少的应用题，叫做平均问题。 解题关键：先求出总数和总份数，再用总数除以总份数，得到平均数。 常用计算公式： 平均数=总数÷总份数 总数=平均数×总份数 总份数=总数÷平均数 【一般平均数问题】 某工厂一周内前3天平均每天节约用煤3.5吨，后4天共节约用煤13.3吨，这一周平均每天节约用煤多少吨? 【解析】本题直接采用公式：平均数=总数÷总份数即可解答。 【规范解答】 ①总吨数：3.5×3+13.3=23.8（吨） ②总天数：3+4=7（天） ③平均每天节约用煤量：23.8÷7=3.4（吨） ④答：平均每天节约用煤3.4吨。 【易错点】前3天节约用煤3.5吨是平均每天节约的用煤量。而后4天的13.3吨是4天总共节约总用煤量。 1.实验小学五(2)班一小组的期中数学成绩是:得100分的3人，得96分的4人，其余5人共得了372分，第一小组的数学平均成绩是多少分? 2.某工厂一周生产的机器台数的统计表破损了(见下图),根据这张统计表,星期三、星期四的产量各是多少台? 3.海尔希望小学有两块白菜地，第一块菜地 50 平方米，平均每平方米收白菜 10 千克;第二块菜地 80 平方米，共收白菜 800 千克。每平方米可收白菜多少干克? 4.某化肥厂计划用15天生产化肥 4500 吨，前5天平均每天生产340吨，后又提高了产量，结果提前3天就完了任务。求后几天平均每天生产化肥多少吨? 5.聪聪读一本课外书，前6天每天读 26 页，以后每天多读16页，又经过4天正好读完，聪聪平均每天读多少页? 6.明明期中考试中语文、数学的平均分是89.5分，如果加上英语成绩，语、数、英的平均分就是85分，明明的英语考了多少分? 【分摊补钱平均数】 甲、乙两人带着同样多的钱，用他们全部的钱买了香皂。甲拿走了12块，乙拿走了8块，回家后甲补给乙4元。每块香皂多少元？ 【解析】因为甲、乙两人带的是同样多的钱，所以平均买了(8+12)÷2 =10块香皂。甲多拿了2块香皂，这2块香皂是4元，所以每块香皂是4÷2 = 2元。 【规范解答】 平均分摊香皂块数：(8+12)÷2 =10（块） 每块香皂价格：4÷（12-10）=2（元） 1.甲、乙、丙三人各出同样多的钱合买一箱水果，分水果时，甲和丙都比乙多拿了7.5kg的水果。这样，甲和丙各应给乙3元，问这种水果每千克多少元？ 2.甲、乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13 支，乙拿了7支，因此，甲又给了乙6角钱。每支铅笔多少钱? 3.家里买来一箱牛奶，约好姐弟三人平均分，结果，大弟、二弟都比姐姐多6瓶，因此每个弟弟给姐姐8元钱，每瓶牛奶多少钱? 4.甲、乙、丙三个学生各拿出同样多的钱合买同样单价的练习本。买来之后，甲和乙都比丙多要6本，因此甲乙分别给丙0.96元，求每本练习本单价。 【调数后平均数问题】 某班统计期末数学成绩，平均分为 85.13分。经复查发现明明的成绩是87分，误写成78分，经重新计算后，该班数学成绩的平均分是85.31分，这个班共有多少名学生? 【解析】调数后总分相差87-78=9（分），导致平均数前后相差85.31-85.13=0.18（分），得到总人数为9÷0.18=50（人） 【规范解答】 ①总分增加87-78=9（分） ②平均分提高85.31-85.13=0.18（分） ③总人数9÷0.18=50（人） ④答：这个班共有50名学生。 1.五年级一班数学考试平均成绩是91.5分，事后复查发现,计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算后,五年级一班的平均成绩是91.7分。五年级一班有多少名学生? 2.甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试或四人的平均分是 90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成87分，因此算得的四人平均分为 88 分。求甲在这次考试中获得了多少分? 3.有5个数，平均数是 10，如果把期中的一个数改为 2，那么这五个数的平均数是 9，这个改动的数原来是多少? 【移多补少平均数】 小明前几天数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分才能把平均成绩提高到 86分，问这是他第几次测验? 【解析】平均成绩提高86-84=2（分），是由于这一次考试获得100分，使总平均成绩提高；这次考试可以补给前面几次考试100-86=14（分），可以补给14÷2=7（次），所以总共考试次数为1+7=8（次） 【规范解答】 ①平均成绩提高了86-84=2（分） ②总共补给前面几次考试100-86=14（分） ③总共补了14÷2=7（次） ④一共考试7+1=8（次） 1.小明前五次数学测验的平均成绩是88分。为了使平均成绩达到 92.5 分，小明要连续考多少次满分? 2.六年级一班有50名学生,在数学考试中,成绩排在前10名地同学的平均分比全班的平均分高8分，问:其余同学的平均分比全班平均分低多少? 3.王老师带着几个同学做小红花，王老师做了21朵，同学们平均每人做了5朵，如果师生合起来算，正好平均每人做7朵，有多少个同学在做小红花? 4.两组学生进行跳绳比赛、平均每人跳 152下。甲组有6人，平均每人跳 140 下，乙组平均每人跳 160 下，乙组有多少人? 5.有两组数，第一组9个数的和是63,第二组的平均数是11,两个组中所有数的平均数是8。问:第二组有多少个数? 【平均速度问题】 甲、乙两地相距120千米，一辆汽车从甲地开往乙地每小时行40千米，返回时加快速度，每小时行60千米，求这辆汽车往返两地的平均速度? 【解析】平均速度=总路程÷总时间 【规范解答】 ①往返行驶总路程：120×2=240（千米） ②往返总时间：120÷40+120÷60=5（小时） ③平均速度：240÷5=48（千米/小时） ④答：这辆汽车往返两地的平均速度是48千米/小时。 【易错点】错误应用平均速度公式，把平均速度的求法理解为：（前速度+后速度）÷2，造成误解。 1.小明去爬山，上山时每小时行 3千米，原路返回时每小时行 5干米，求小明的往返的平均速度? 2.一个运动员跑步从甲地去乙地，两地相距6900米，他先以每分钟290米的速度跑了 10分钟，然后以每分钟200米的速度跑到乙地，这个运动员从甲地到乙地平均每分钟跑多少米? 3.一次登山比赛中，张一的爸爸上山时每分钟走 50 米，18 分钟到达山顶，然后按原路下山，每分钟走 75 米，张一的爸爸上下山平均每分钟走多少米? 4.小荣家住山南，小方家住山北。山南的山路长269米，山北的路长370米。小荣从家里出发去小方家，上坡时每分钟走16米，下坡时每分钟走24米。求小荣往返一次的平均速度。      【重叠平均数问题】 十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分? 【解析】总共10名参赛者，前6位包括第5名、第6名参赛者；后6位也包括第5名、第6名参赛者。前6和后6名参赛者的总成绩-10名参赛者成绩=第5、6名参赛者的总成绩（第5、6名参赛者重叠），再求出他两的平均数即可。 【规范解答】 ①前6和后6总成绩：（83+80）×6=978（分） ②10名参赛者总成绩：82×10=820（分） ③第5+第6名参赛者总成绩：978-820=158（分） ④第5人和第6人的平均分：158÷2=79（分） 1.七个数排成一列，前4个数的平均数是 43,后4个数的平均数是 72。已知七个数的平均数是56，求第四个数是多少? 2.有6个数，平均数为56，已知前4个数的平均数为70，后 3个数的平均数是48，第四个数是多少? 3.有七个排成一列的数,它们的平均数是30，前三个数的平均数是28,后五个数的平均数是33。求第三个数。 【混合平均数问题】 把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元。已知甲级糖有4千克，平均每千克8元，乙级糖有2千克，平均每千克多少元? 【解析】可用移多补少或者方程法求解：甲级糖每千克比两种糖的平均糖的平均价格多8-7=1元，共多1×4=4元，即需要补给乙级糖4元，乙级糖共有2千克，即乙级糖每千克补4-2=2元到平均价格，因此乙级糖每千克7-2=5(元)。 【规范解答】 ①移多：甲级糖比平均糖多的总价：（8-7）×4=4（元） ②补少：补给每千克乙级糖补4÷2=2（元） ③乙级糖的单价：7-2=5（元） ④答：乙级糖平均每千克5元。 1.超市有8千克奶糖,每千克15元，还有每千克24元的水果糖若干千克,把这两种糖混合成每千克20元的什锦糖，水果糖有多少千克? 2.有水果糖5千克，每千克2.4元；奶糖4千克，每千克3.2元；软糖11千克，每千克4.2元。将这些糖混合成什锦糖。这种糖每千克多少元？  　　 2.用6元1千克的甲级糖，3.5元1千克的乙级糖，3元1千克的丙级糖，混合成为每千克4元的什锦糖。如果甲级糖1千克，丙级糖1千克，应放入乙级糖多少千克? 【两两平均数问题】 甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植18棵，甲、丙两组平均每组植 17 棵，乙、丙两组平均每组植 19 棵。三个小组各植树多少棵? 【解析】根据题意可得：甲+乙=18×2=36（棵），甲+丙=17×2=34（棵），乙+丙=19×2=38（棵），所以甲+乙+丙=（36+34+38）÷2=54（棵），再求出甲、乙、丙植树棵树。 【规范解答】 ①甲+乙+丙=17+18+19=54（棵） ②甲：54-19×2=16（棵） ③乙：54-17×2=20（棵） ④丙：54-18×2=18（棵） 【考点点评】两两平均数一般解题步骤是：先求出几个数的和，再分别求出其它数的大小。 或【解析】利用和差问题也可以解答： ①甲+乙=18×2=36（棵），甲+丙=17×2=34（棵）， ②乙-丙=36-34=2（棵）（差） ③乙+丙=19×2=38（棵）（和） ④乙：（38+2）÷2=20（棵），丙：20-2=18（棵），甲：36-20=16（棵） 1.一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？ 　 　 2.甲、乙、丙三个数的平均年龄为 22 岁，如果甲、乙的平均年龄是 18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁 ? 3.甲、乙、丙、丁四人做纸花，甲、乙、丙三人平均每人做了24朵，乙、丙、丁三人平均每人做了26朵。已知丁做了28朵，求甲做了多少朵? 4.有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？ 【删数后平均数问题】 有7个数,它们的平均数是18。去掉一个数后,剩下6个数的平均数是19；再去掉一个数后，剩下的5个数的平均数是20。求去掉的两个数的乘积。 【解析】先求出7个数的总和，再减去剩下的6个数的总和，得到去掉的第一个数的大小，最后就用6个数的和减去剩下的5个数的总和，即得到第二次去掉的数。 【规范解答】 ①7个数的和：18×7=126 ②6个数的和：19×6=114 ③去掉的第一个数：126-114=12 ④5个数的和：20×5=100 ⑤去掉的第二个数：114-100=14 1.8个互不相同的自然数的总和是56，如果去掉最大的数及最小的数,那么剩下的数总和是44。问:剩下的数中最小的数是多少? 2.有若干个自然数,平均值是10。若从这些数中去掉最大的一个，则余下的平均9;若去掉最小的一个,则余下的平均值为11。问: (1)这些数最多有几个? (2)这些数中最大的数最大能是几? 3.洋洋参加童声独唱比赛，5名评委参加评分，去掉一个最高分和一个最低分，平均得分是9.66分;只去掉一个最高分，平均得分是9.46分:只去掉一个最低分，平均得分是9.71分，你知道最高分和最低分各是多少吗? 【与自然数相关平均数问题】 把前999个自然数分成20组，已知这20组中每一组的平均数都相等,求这个相等的平均数。 【解析】先求出这999和自然数的和，在除以20组，即可得到每组数的平均数。 【规范解答】 ①总和：1+2+3+4+……+998+999=（1+999）×999÷2=999×500 ②每组平均数：999×500÷20=999×25=（1000-1）×25=25000-25=24975 ③答：这个相等的平均数是24975。 【点评】本题考查数列求和和平均数的知识点。数列求和公式为（首项+末项）×项数÷2，也可以利用（上底+下底）×高÷2或平均数×个数÷2 1.有5个连续单数，其总和是 895,这5个连续单数各是多少? 2.前37个自然数的和加上999,所得的结果等于另外37个连续自然数的和,这37个自然数中最小的是几? 3.下面三个数的平均数是140,请将○内的数字填上: ○, ○8, ○27. 4.□,□6,□28 分别是一位数、两位数和三位数,并且中间的数是前后两个数的平均数,求这三个数。 【比相关的平均数】 乙、丙两数的平均数与甲数之比是13:7,求甲、乙、丙三数的平均数与甲数之比。 【解析】采用设数法，先求出三个数的和，再求出三个数的平均数即可。 【规范解答】 ①乙、丙两个数之和：13×2=26 ②甲、乙、丙三个数之和：26+7=33 ③甲、乙、丙三个数的平均数：33÷3=11 ④甲、乙、丙三个数的平均数与甲数之比为11：7 【点评】把乙、丙之和假设为13×2=26，则甲数就是7，利用设数法解答。 1.已知甲、乙两个数的平均数是45，其中甲数是乙数的。求甲数和乙数。 2.已知甲、乙、丙三个数的平均数是170，其中甲数是乙数的，乙数是丙数的，求甲乙、丙三个数各是多少？ 3.有两组数，第一组数的平均数是12.8，第二组数的平均数是10.2，而这两组数总的平均数是12.02，那么第一组数的个数和第二组数个数的比值是多少? 十字交叉法 实验小学四年级有100名学生参加数学测试，平均成绩是63分，其中男生的平均成绩是60分，女生的平均成绩是70分。男生比女生多多少人? 【解析】男生平均分比总平均分低63-60=3（分），女生平均分比总平均分高70-63=7（分），说明平女生的7分可补给男生3分，则男、女生人数之比为7:3。根据按比分配即可求出男女生人数。 【规范解答】 十字交叉法：  1.期中考试有几名同学因参加艺术节比赛而缺考，四(1)班只有45人参加考试，平均分为88分。后来缺考的这几名同学参加了补考，这几名同学的平均分是78分，这时全班的平均分是87分。问这次缺考的有几人? 2.在语文知识素养知识竞答中,男选手的平均得分为80分,女选手的平均得分为65分,全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间,则全部选手人数为( )。 A.48 B.45 C.43 D.40  3.有两个小组加工同样一种零件，平均每人加工120个.已知第一小组有 15人，平均每人加工 128个;第二小组平均每人加工115个，问第二小组有多少人? 【稍复杂平均数】 五年级同学参加校办工厂糊纸盒劳动，平均每人糊了76个。已知每人至少糊了 70个，并且其中有一个同学糊了88个,如果不把这个同学计算在内,那么平均每人糊 74个。快的同学最多糊了多少个? 【解析】通过移多补少先求出总人数；题目要求糊的最快的同学，最多做了几个，又知每人至少糊了70只，那么，也就是说，6个人中5个人都糊了最少值70个,再求得糊的最快的个数。 【规范解答】 ①一共有:(88-74)÷(76-74) =14÷2 =7(人) ②除去已知的1个人，糊了88个，剩余的6个人，总共糊了74×6=444个 ③糊得最快的个数： 444-70×5 =444-350 =94(个)。 ④答:糊得最快的同学最多糊了94只。 1.数 N 是一个位于 15 与 25 之间的整数,已知 7,8,11和N四个数的平均值X是整数。求X的所有可能取值的乘积。 2.六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数,最高的99分,最低的76分,那么按分数从高到低居第三位的同学至少得了多少分? 【其它平均数】 妈妈每4天要去一次副食商店，每5天要去一次百货商店。妈妈平均每星期去这两个商店几次?(用小数表示) 【解析】根据题意，妈妈20天去5次副食品店，4次百货商店，可用5+4的和除以20计算出平均每天去次，然后再乘7即可得到平均每星期去几次。 【规范解答】 ①每20天去9次， ②9÷20×7 =3.15（次）， ③答：平均每星期去这两个商店3.15次． 【本题考点】整数、小数复合应用题。 【考点点评】解答此题的关键是确定平均每天去几次，然后再计算出平均每星期去的次数即可。 1.一桶水需要2个小和尚一起抬。如果3个小和尚轮换着把一桶水抬到离山脚 330米远的山上的寺庙里，平均每个小和尚要抬多少米? 2.一个大西瓜，需要2只小猴一起抬，三只小猴要把西瓜从离家 600米远的地方抬回家，平均每只小猴要抬多少米? 3.小明参加了六次测验，第三、第四次的平均分比前两次的平均分多2分,比后两次的平均分少2分。如果后三次平均分比前三次平均分多3分,那么第四次比第三次多得几分? 4.小明上学期语文得78分,地理得82分,历史得80分，物理得60分。又知数学成绩比平均分多12分,外语成绩比平均分少4分。小明上学期这六科的平均成绩是多少分? 满分：100分 时间：60分钟 一、填空题。（24分） 1.甲、乙两数的平均数是 240,甲、乙两数的和是丙数的 1.25 倍,甲、乙、丙三数的平均数是 。 2.甲、乙两数的和是60,甲数的小数点左移一位后等于乙数的一半。那么甲数是 。 3.50个数的平均数是38,将其中的两个数55和69去掉,余下的数的平均数是 。 4.7个数的平均数是29,把这7个数排成一列,前3个数的平均数是25,后5个数的平均数是32,第三个数是 。 5.五(2)班40名同学在一次数学考试中,平均分是81.5分(满分100)。若去掉甲、乙、丙三人成绩,其余同学的平均成绩是80分。这次乙得 分。 6.明明4次测验的平均分是68分,要在下次测验后使平均分提高至70分以上,他至少要在第5次测验中得 分。 7.某班40名同学,期中数学考试,有2名同学缺考,全班平均分数是89分,缺考的两名同学补考各得99分。这个班期中考试平均分是 分。 8.五个数的平均数是70,若把其中一个数改为100,这五个数的平均数变为80。这个数原来是 。 二、选择题。（15分） 9.从1～9中,任取三个自然数,使它们的平均数是5,共有( )种不同的取法。 A.12 B.14 C.10 D. 8 10.五个数的平均值是24,前两个数的平均值是23,最后两个数的和是46,那)。 么中间数是（ ） A.24 B.28 C.32 D.36 11.红红这学期共参加五次数学测验,前两次平均分是96分,后三次平均分是86分。红红这五次测验的平均分是( )分。 A.91 B.92 C.90 D.88 12.数字M是介于 11和19之间的数,那么8,12和M这三个数的平均数可能是( )。 A.15或11 B.14或12 C.12或15 D.11或 12 13.某同学前几次数学测验的平均成绩是84分,这一次要考100分,才能把平均成绩提高到86分。这一次是第( )次测验。 A.6 B.7 C.8 D.9 三、解答题。（61分） 14.南京某出版社发行一套书,每隔5年出一本,前5本出版的年代数的和是9795。这套书的第一本是哪年出版的?（6分） 15.实验小学举行数学竞赛,把成绩排名后,前五名平均分比前三名平均分少1分,前七名平均分比前五名平均分少2分。问:第四、第五名得分之和比第六、第七名得分之和多几分? （6分） 16.在一次登山比赛中,小刚上山时每分钟走40米,18分钟到达山顶。然后沿原路下山,每分钟走60米。小刚上、下山平均每分钟走多少米? （6分） 17.三年级同学进行体检,有5名小同学体重都不超过 50千克,但磅秤只能称50千克以上的重量,老师安排他们每两人合称一次,一共称10次,体重记录如下:55。56，56.5，57,57.5，58，58.5，59，60，60.5(单位:千克)。求最轻的那位同学的体重。（8分） 18.甲、乙、丙、丁4位同学,甲比乙重7千克,甲与乙的平均体重比甲、乙、丁三人的 平均体重多1千克,乙、丙、丁三人的平均体重是40.5千克,乙与丙平均体重是41千克。四人中体重最重的同学是多少千克? （6分） 19.有1000人报考的入学考试,录取了150人,录取者的平均成绩比未被录取者的平均成绩相差38分,全体考生的平均成绩是55分,录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分。录取分数线是多少分? （8分） 20.有几位同学一起计算他们语文考试的平均分。赵峰的得分如果再提高13分，他们的平均分就达到90分;如果赵峰的得分降低5分，他们的平均分只有87分。那么这些同学共有多少人? （7分） 　　 21.小明在期末四门功课考试的平均分数是90分，加上历史成绩后，他五门功课的平均分数下降2分。小明历史成绩是多少分？（6分） 22.小英练习跳绳，她已经跳了若干次，准备最后再跳一次，如果最后这次跳48个,那么平均每次跳56个；如果最后这次跳68个,那么平均每次跳60个。小英已经跳了几次? （8分） 【巩固提升】参考答案 1.实验小学五(2)班一小组的期中数学成绩是:得100分的3人，得96分的4人，其余5人共得了372分，第一小组的数学平均成绩是多少分? 【解答】平均数=总数÷总份数 （100×3+96×4+372）÷（3+4+5）=88 2.某工厂一周生产的机器台数的统计表破损了(见下图),根据这张统计表,星期三、星期四的产量各是多少台? 【解答】总数=平均数×份数 星期三与星期四总台数：73×5-81-74-69=141 141-7=134=64+70 答：星期三生产机器64台，星期四生产77台。 3.海尔希望小学有两块白菜地，第一块菜地50平方米，平均每平方米收白菜10 千克;第二块菜地80平方米，共收白菜 800千克。每平方米可收白菜多少干克? 【解答】平均数=总数÷总份数 （50×10+800）÷（50+80）=10（千克） 4.某化肥厂计划用15天生产化肥 4500 吨，前5天平均每天生产340吨，后又提高了产量，结果提前3天就完了任务。求后几天平均每天生产化肥多少吨? 5.聪聪读一本课外书，前6天每天读26页，以后每天多读16页，又经过4天正好读完，聪聪平均每天读多少页? 【解答】平均数=总数÷总份数 后4天每天读的页数：26+16=42（页） （26×6+4×42）÷（6+4）=32.4（页） 6.明明期中考试中语文、数学的平均分是89.5分，如果加上英语成绩，语、数、英的平均分就是85分，明明的英语考了多少分? 【解答】平均数=总数÷总份数 85×3-89.5×2=76（分） 1.甲、乙、丙三人各出同样多的钱合买一箱水果，分水果时，甲和丙都比乙多拿了7.5kg的水果。这样，甲和丙各应给乙3元，问这种水果每千克多少元？ 【解答】分摊多余水果：7.5×2÷3=5（千克） 水果单价：3÷5=0.6（元） 2.甲、乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13 支，乙拿了7支，因此，甲又给了乙6角钱。每支铅笔多少钱? 【解答】分摊铅笔支数：（13+7）÷2=10（支） 甲除了10支外应付给13-10=3（支）铅笔的钱个乙 铅笔单价：6÷3=2（角） 3.家里买来一箱牛奶，约好姐弟三人平均分，结果，大弟、二弟都比姐姐多6瓶，因此每个弟弟给姐姐8元钱，每瓶牛奶多少钱? 【解答】分摊牛奶：6×2÷3=4（瓶） 单价：8÷（6-4）=4（元） 4.甲、乙、丙三个学生各拿出同样多的钱合买同样单价的练习本。买来之后，甲和乙都比丙多要6本，因此甲、乙分别给丙0.96元，求每本练习本单价。 【解答】0.96÷（6-6×2÷3）=0.48（元） 1.五年级一班数学考试平均成绩是91.5分，事后复查发现,计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算后,五年级一班的平均成绩是91.7分。五年级一班有多少名学生? 【解答】（98-89）÷（91.7-91.5）=9÷0.2=45（名） 2.甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试或四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成87分，因此算得的四人平均分为 88分。求甲在这次考试中获得了多少分? 【解答】87+（90-88）×4=95（分） 3.有5个数，平均数是10，如果把期中的一个数改为2，那么这五个数的平均数是9，这个改动的数原来是多少? 【解答】5×10-9×5+2=7 1.小明前五次数学测验的平均成绩是88分。为了使平均成绩达到 92.5分，小明要连续考多少次满分? 【解答】移多补少 需要补分：（92.5-88）×5=22.5（分） 每次可以补分：100-92.5=7.5（分） 满分次数：22.5÷7.5=3（次） 2.六年级一班有50名学生,在数学考试中,成绩排在前10名地同学的平均分比全班的平均分高8分，问:其余同学的平均分比全班平均分低多少? 【解答】 可以补分10×8=80（分） 其余学生人数50-10=40（分） 每人可补分数：80÷40=2（分）低的份数 3.王老师带着几个同学做小红花，王老师做了21朵，同学们平均每人做了5朵，如果师生合起来算，正好平均每人做7朵，有多少个同学在做小红花? 【解答】 王老师可移补朵数：21-7=14（朵） 学生人数：14÷（7-5）=7（个） 4.两组学生进行跳绳比赛、平均每人跳 152下。甲组有6人，平均每人跳 140下，乙组平均每人跳160下，乙组有多少人? 【解答】 乙组人数是甲组人数的倍数：（152-140）÷（160-152）=1.5 乙组人数：6×1.5=9（人） 5.有两组数，第一组9个数的和是63,第二组的平均数是11,两个组中所有数的平均数是8。问:第二组有多少个数? 【解答】 第一组平均数：63÷9=7 9×（8-7）÷（11-8）=3（个） 1.小明去爬山，上山时每小时行 3千米，原路返回时每小时行 5干米，求小明的往返的平均速度? 【解答】平均速度=总路程÷总时间。 设山路长[3, 5]=15（千米） 15×2÷（15÷3+15÷5）=30÷8=3.75（千米/小时） 2.一个运动员跑步从甲地去乙地，两地相距6900米，他先以每分钟290米的速度跑了 10分钟，然后以每分钟200米的速度跑到乙地，这个运动员从甲地到乙地平均每分钟跑多少米? 【解答】平均速度=总路程÷总时间。 后一段所行时间：（6900-290×10）÷200=20（分钟） 6900÷（10+20）=230（米/分钟） 3.一次登山比赛中，张一的爸爸上山时每分钟走 50 米，18分钟到达山顶，然后按原路下山，每分钟走 75 米，张一的爸爸上下山平均每分钟走多少米? 【解答】平均速度=总路程÷总时间。 50×18×2÷（18+50×18÷75）=1800÷30=60（米/分钟） 4.小荣家住山南，小方家住山北。山南的山路长269米，山北的路长370米。小荣从家里出发去小方家，上坡时每分钟走16米，下坡时每分钟走24米。求小荣往返一次的平均速度。    【解析】在同样的路程中，由于是下坡的不同，去时的上坡，返回时变成了下坡；去时的下坡，回来时成了上坡，因此，所用的时间也不同。要求往返一次的平均速度，需要先求得往返的总路程和总时间。  　　 【规范解答】 往返的总路程：(260+370)×2=1260（米）  　　 往返的总时间：(260+370) ÷16+(260+370)÷24=65.625（分）  　　 往返平均速度：1260÷65.625=19.2（米）   综合列式：(260+370)×2÷［(260+370) ÷16+(260+370)÷24］=19.2（米） 1.七个数排成一列，前4个数的平均数是 43,后4个数的平均数是 72。已知七个数的平均数是56，求第四个数是多少? 【解答】4×（43+72）-56×7=68 2.有6个数，平均数为56，已知前4个数的平均数为70，后 3个数的平均数是48，第四个数是多少? 【解答】70×4+48×3-56×6=88 3.有七个排成一列的数,它们的平均数是30，前三个数的平均数是28,后五个数的平均数是33。求第三个数。 【解答】28×3+33×5-30×7=39 1.超市有8千克奶糖,每千克15元，还有每千克24元的水果糖若干千克,把这两种糖混合成每千克20元的什锦糖，水果糖有多少千克? 【解析】由“奶糖每千克15元,水果糖每千克24元,混合成什锦糖每千克20元”可求解。 【规范解答】 奶糖每千克盈了:20-15=5(元) 水果糖每千克亏了:24-20=4(元) 奶糖共盈了:5×8=40(元) 水果糖亏的总数等于奶糖盈的总数水果糖有:40÷4=10(千克) 列式:(20-15)×8÷(24-20)=10(千克) 2.有水果糖5千克，每千克2.4元；奶糖4千克，每千克3.2元；软糖11千克，每千克4.2元。将这些糖混合成什锦糖。这种糖每千克多少元？  　　 【解析】要求什锦糖每千克多少元，要先出这几种糖的总价和总重量最后求得平均数，即每千克什锦糖的价钱。   【规范解答】 (2.4×5+3.2×4+4.2×11)÷(5+4+11)=3.55（元） 2.用6元1千克的甲级糖，3.5元1千克的乙级糖，3元1千克的丙级糖，混合成为每千克4元的什锦糖。如果甲级糖1千克，丙级糖1千克，应放入乙级糖多少千克? 【解析】可以用方程解答　 【规范解答】 解：设乙放x千克。. 6+3.5X+3=4×(1+X+1) 9+3.5X=4X+8 0.5X=1 X=2 1.一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？ 　【规范解答】 ①甲+乙+丙=平均分×人数=91×3=273（分） 　　②乙+丙+丁=89×3=267（分） 　　③甲+丁=95×2=190（分） 　　④甲比丁多：273－267=6（分） 　　⑤甲：92+6=98(分） 　　⑥丁：（190－6）÷2=92（分）　 2.甲、乙、丙三个数的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁? 【解答】 （18+25）×2-22×3=20 3.甲、乙、丙、丁四人做纸花，甲、乙、丙三人平均每人做了24朵，乙、丙、丁三人平均每人做了26朵。已知丁做了28朵，求甲做了多少朵? 【解答】丁-甲=26×3-24×3=6（朵） 甲：28-6=22（朵） 4.有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？ 【解答】 　①1箱苹果+1箱犁+1箱橘子=42×3=126（个） 　②1箱梨+1箱橘子+1箱桃=36×3=108（个） 　③1箱苹果+1箱桃=37×2=74（个） 　④梨：108－74=34（个） 　⑤苹果比桃多：126－108=18（个） 　⑥桃：（74－18）÷2=28（个） 　⑦苹果：28+18=46（个） 　 1.8个互不相同的自然数的总和是56，如果去掉最大的数及最小的数,那么剩下的数总和是44。问:剩下的数中最小的数是多少? 【解答】通过分析最大数和最小数只能是11和1，去掉最大和最小数后剩下6个互不相同的自然数在2到10之间，且总和为44，这六个数只能是4，6，7，8，9，10. 故答案为： 4 【点评】先通过总和为56求出这8个自然数，再去寻找最小的自然数. 要对自然数和整数有清楚的认识.先从总和为56入手，再根据去掉最大的数及最小的数，那么剩下的数的总和是44，即可解出答案。 2.有若干个自然数,平均值是10。若从这些数中去掉最大的一个，则余下的平均9;若去掉最小的一个,则余下的平均值为11。问: (1)这些数最多有几个? (2)这些数中最大的数最大能是几? 【解析】 设有x个，那么他们的和是10x，去掉最大的一个，则余下的平均数为9，那么最大的那个数是10x-9×（x-1）=x+9，去掉最小的一个，则余下的算术平均数为11，那么最小的数是10x-11×（x-1）=11-x，因为是自然数，所以11-x≥0，则x≤11．所以这些数最多有11个，这些数中最大的是9+11=20，最小的为11-11=0。 【规范解答】 根据新课标教材，0是最小的自然数．由于去掉最小数后，算术平均数是11，所以，这些数最多有10÷（11-10）+1=11个．所以，最大的数最大值是11-1+10=20。 答：这些数最多有11个，这些数中最大的数最大能是20． 【本题考点】平均数问题。 【考点点评】此题主要利用平均数的定义，运用逐步探讨找出问题的答案。 3.洋洋参加童声独唱比赛，5名评委参加评分，去掉一个最高分和一个最低分，平均得分是9.66分;只去掉一个最高分，平均得分是9.46分:只去掉一个最低分，平均得分是9.71分，你知道最高分和最低分各是多少吗? 【解答】 最低分：9.46×4-9.58×3=9.1(分) 最高分：9.66×4-9.58×3=9.9(分) 答：最高分是9.9分，最低分是9.1分。 1.有5个连续单数，其总和是895,这5个连续单数各是多少? 【解答】中间数=和÷份数 中间数：895÷5=179 依次为179-4=175,179-2=177,179,179+2=181,179+4=183 2.前37个自然数的和加上999,所得的结果等于另外37个连续自然数的和,这37个自然数中最小的是几? 【解答】因为999=37×27 显然,当前37个自然数确定时,这37个自然数每个数加27,形成的新的37个连续自然数的和,就等于原来各数的和+999。所以X可取非零自然数的任何值，因此X最小为1。 999÷37+1=28 3.下面三个数的平均数是140,请将○内的数字填上: ○, ○8, ○27. 【解答】 140×3-8-27=385=5+80+300 根据数的特点，这三个数依次为5,88,327. 答案为：5，8，3。 4.□,□6,□28 分别是一位数、两位数和三位数,并且中间的数是前后两个数的平均数,求这三个数。 【解答】 因为中间的数是前后两个数的平均数，而中间的数乘2的积的末尾肯定是2，则前后两个数的和的末尾是2，则一位数肯定是4，三位数肯定是128。 (4+128)÷2 =132÷2 =66 答:一位数是4，两位数是66，三位数是128。 1.已知甲、乙两个数的平均数是45，其中甲数是乙数的。求甲数和乙数。 【解答】和比问题 45×2÷（4+5）=10 甲数=10×4=40 乙数=10×5=50 2.已知甲、乙、丙三个数的平均数是170，其中甲数是乙数的，乙数是丙数的，求甲乙丙三个数各是多少？ 【解答】甲数：乙数=3:4 乙数：丙数=2:5=4:10 甲：乙：丙=3:4:10 170×3÷（3+4+10）=30 甲数：30×3=90 乙数：30×4=120 丙数：30×10=300 3.有两组数，第一组数的平均数是12.8，第二组数的平均数是10.2，而这两组数总的平均数是12.02，那么第一组数的个数和第二组数个数的比值是多少? 【规范解答】(12.02-10.2)÷(12.8-12.02)= 1.期中考试有几名同学因参加艺术节比赛而缺考，四(1)班只有45人参加考试，平均分为88分。后来缺考的这几名同学参加了补考，这几名同学的平均分是78分，这时全班的平均分是87分。问这次缺考的有几人? 【解答】 （88-87）×45÷（87-78）=5（人） 2.在语文知识素养知识竞答中,男选手的平均得分为80分,女选手的平均得分为65分,全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间,则全部选手人数为( B )。 A.48 B.45 C.43 D.40  【解答】男：女=（72-65）：（80-72）=7:8 7+8=15 15×3=45（人）（35＜45＜50） 3.有两个小组加工同样一种零件，平均每人加工120个。已知第一小组有15人，平均每人加工128个;第二小组平均每人加工115个，问第二小组有多少人? 【解答】15×（128-120）÷（120-115）=24（人） 1.数 N 是一个位于 15 与 25 之间的整数,已知 7,8,11和N四个数的平均值X是整数。求X的所有可能取值的乘积。 【解析】 7.8.11.N，4个数的平均数是整数，则7+8+11+N可以被4整除，即N+26可以被4整除，N除以4的余数为2，在15与25之间满足的数有1822，x为11，12. 完成这样的解决实际问题的题目，我们可以从问题入手，看看让我们求什么，需要哪些条件才能解答此问题，然后认真审题，从题目中想办法找到这些条件，然后进行解答即可。 【规范解答】 7，8，11，N，4个数的平均数是整数，则7+8+11+N可以被4整除， 即N+26可以被4整除， N除以4的余数为2， 在15与25之间满足的数有18，22，x为11，12. 11×12=132 答:乘积为132。 2.六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数,最高的99分,最低的76分,那么按分数从高到低居第三位的同学至少得了多少分? 【解析】 用这六位同学的平均分乘6就是这六位同学的总分数，用这六位同学的部分数减去最高分、最低分就是中间四位同学的总分数．假设这四名同学的最后成绩（即第二名）为98分，即可求其余三名同学的总分数，让这三名同学的成绩最接近，相差1分，即求出这三名同学的平均成绩，为第四名同学的成绩，再加1分、减1分就是第三名、第五名同学的成绩。 【规范解答】 92.5×6-99-76 =555-99-76 =380(分) 由于最高分是99分，所以第二个的最好成绩最多是98分 剩余三人成绩和为:380-98=282(分) 第3个同学成绩最少，第4、5个同学的成绩尽可能接近第三个同学的成绩，则这3个数相差为1， 282÷3=94(分) 则第三位同学至少是:94+1=95(分) 答:第三名至少得95分。 1.一桶水需要2个小和尚一起抬。如果3个小和尚轮换着把一桶水抬到离山脚 330米远的山上的寺庙里，平均每个小和尚要抬多少米? 【解答】330×2÷3=220（米） 答：平均每个小和尚要抬220米。 2.一个大西瓜，需要2只小猴一起抬，三只小猴要把西瓜从离家 600米远的地方抬回家，平均每只小猴要抬多少米? 【解析】 三只小猴抬西瓜的过程，将西瓜从离家600米远的地方抬回家，因为需要2只小猴一起抬，所以总共走的路程是600×2=1200米。 计算平均每只小猴抬的路程，这1200米的路程是由3只小猴共同完成的，那么平均每只小猴要抬的路程为1200÷3=400米。 【规范解答】 600×2÷3 =1200÷3 =400（米） 答：平均每只小猴要抬400米。 3.小明参加了六次测验，第三、第四次的平均分比前两次的平均分多2分,比后两次的平均分少2分。如果后三次平均分比前三次平均分多3分,那么第四次比第三次多得几分? 【解析】 根据题设可知：第三、四次的总分比前两次的总分多4分、比后两次的总分少4分，所以后两次的总分比前两次的总分多8分，又根据条件可知，后三次比前三次的总分多3×3=9分，所以第四次比第三次多得1分。 【规范解答】 3×3-（4+4）=1（分）； 答：第四次比第三次多得1分。 【考点点评】解答此题的关键是通过题意，进行分析，列出数量间的关系，进而解答即可。 4.小明上学期语文得78分,地理得82分,历史得80分，物理得60分。又知数学成绩比平均分多12分,外语成绩比平均分少4分。小明上学期这六科的平均成绩是多少分? 【解析】这是一类有关于平均分的题目，做这道题目，设未知数比较好解决，列方程中，把6科的平均分设为x,6科成绩的实际分数相加，与平均分的6倍相等，列出方程，再解方程就可以了。 【规范解答】 解：设六科的平均分是x分，根据题意得 6x=78+82+80+60+(12+x)+(x-4) 6x-2x=308 4x=308 x=77 答：小明上学期这六科的平均分是77分。 参考答案 满分：100分 时间：60分钟 一、填空题 1.甲、乙两数的平均数是 240,甲、乙两数的和是丙数的 1.25 倍,甲、乙、丙三数的平均数是 。 【解答】（240×2÷1.25+240×2）÷3=288 2.甲、乙两数的和是60,甲数的小数点左移一位后等于乙数的一半。那么甲数是 。 【解答】由“甲数的小数点左移一位后等于乙数的一半”,可得甲=5乙。甲:60÷ (5+1)×5=50。 3.50个数的平均数是38,将其中的两个数55和69去掉,余下的数的平均数是 。 【解答】(38×50-55-69)-48=37。 4.7个数的平均数是29,把这7个数排成一列,前3个数的平均数是25,后5个数的平均数是32,第三个数是 。 【解答】25×3+32×5-29×7=32。 5.五(2)班40名同学在一次数学考试中,平均分是81.5分(满分100)。若去掉甲、乙、丙三人成绩,其余同学的平均成绩是80分。这次乙得 分。 【解答】甲、乙、丙三人总分:81.5×40-80×37=300(分)。 乙的得分为100分。 6.明明4次测验的平均分是68分,要在下次测验后使平均分提高至70分以上,他至少要在第5次测验中得 分。 【解答】70×5-68×4=78(分) 至少需得79分。 7.某班40名同学,期中数学考试,有2名同学缺考,全班平均分数是89分,缺考的两名同学补考各得99分。这个班期中考试平均分是 分。 【解答】(89×38+99×2)÷40=89.5(分)。 8.五个数的平均数是70,若把其中一个数改为100,这五个数的平均数变为80。这个数原来是 。 【解答】100-(80×5-70×5)=50。 二、选择题 9.从1～9中,任取三个自然数,使它们的平均数是5,共有( )种不同的取法。 A.12 B.14 C.10 D. 8 【解答】D 只要三个数的和为3×5=15即可,有如下8种取法: ①1+5+9=15; ②1+6+8=15; ③2+4+9=15; ④2+5+8=15; ⑤2+6+7=15; ⑥3+4+8=15 ⑦3+5+7=15; ⑧4+5+6=15。 10.五个数的平均值是24,前两个数的平均值是23,最后两个数的和是46,那)。 么中间数是（ ） A.24 B.28 C.32 D.36 【解答】B。24×5-23×2-46=28。 11.红红这学期共参加五次数学测验,前两次平均分是96分,后三次平均分是86分。红红这五次测验的平均分是( )分。 A.91 B.92 C.90 D.88 【解答】C (96×2+86×3)÷5=90(分)。 12.数字M是介于 11和19之间的数,那么8,12和M这三个数的平均数可能是( )。 A.15或11 B.14或12 C.12或15 D.11或 12 【解答】D (8+12+11)÷3≈10.3, (8+12+19)÷3=13,所以所求平均数可能是11或12。 13.某同学前几次数学测验的平均成绩是84分,这一次要考100分,才能把平均成绩提高到86分。这一次是第( )次测验。 A.6 B.7 C.8 D.9 【解答】B (100-86)÷(86-84)=7(次)。 三、解答题 14.南京某出版社发行一套书,每隔5年出一本,前5本出版的年代数的和是9795。这套书的第一本是哪年出版的? 【解答】1949年出版的 9795÷5-5×2=1949(年) 15.实验小学举行数学竞赛,把成绩排名后,前五名平均分比前三名平均分少1分,前七名平均分比前五名平均分少2分。问:第四、第五名得分之和比第六、第七名得分之和多几分? 【解答】 若前五名平均分为A,则前三名平均分为(A+1),前七名平均分为(A-2), 故第四、五名总分=5A-3(A+1)=2A-3, 第六、七名总分=7(A-2)-5A=2A-14, 故第四、五名总分一第六、七名总分=2A-3-(2A-14)=11(分)。 16.在一次登山比赛中,小刚上山时每分钟走40米,18分钟到达山顶。然后沿原路下山,每分钟走60米。小刚上、下山平均每分钟走多少米? 【解答】 每分钟48米总路程:40×18=720(米), 下山时间:720÷60=12(分)， 上山平均每分钟走的距离:(2×720)÷(18+12)=48(米/分) 17.三年级同学进行体检,有5名小同学体重都不超过 50千克,但磅秤只能称50千克以上的重量,老师安排他们每两人合称一次,一共称10次,体重记录如下:55。56，56.5，57,57.5，58，58.5，59，60，60.5(单位:千克)。求最轻的那位同学的体重。 【解答】 10次，表示每两个人都称过了。 因此最重的两个加起来60.5，最轻的两个加起来55。 10次都加起来，就是每个人都称过了4次以后的综合，也就是说等于5个人的体重总合÷4。 所以5人总体重=都加起来÷4=144.5。 所以体重第三的那个人体重=144.5-60.5-55=29。 把这些人从轻到重编号，1～5号，则3号为29。1+2号为55，4+5号为60.5。 那么56必然是由3号和1号组合成的(除了1+2以外的其他组合都无法超越)。因此1号，也就是最轻的，体重=56-29=27。 答：最轻的那位同学的体重是27千克。 18.甲、乙、丙、丁4位同学,甲比乙重7千克,甲与乙的平均体重比甲、乙、丁三人的 平均体重多1千克,乙、丙、丁三人的平均体重是40.5千克,乙与丙平均体重是41千克。四人中体重最重的同学是多少千克? 【解答】甲与乙的平均体重比甲、乙、丁三人的平均体重多1千克,由此可知，=，转化得:3甲+3乙=2甲+2乙+2丁+6,整理得甲+乙=2丁+6。 又因为:乙+丙=41×2=82(千克),乙+丙+丁=40.5×3=121.5(千克), 所以,丁:121.5-82=39.5(千克),甲+乙=39.5×2+6=85(千克)。 所以,甲:(85+7)÷2=46(千克), 乙:46-7=39(千克), 丙:41×2-39=43(千克) 19.有1000人报考的入学考试,录取了150人,录取者的平均成绩比未被录取者的平均成绩相差38分,全体考生的平均成绩是55分,录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分。录取分数线是多少分? 【解答】 1000人总分是55000,如果录取的150人每人减少38分，总分变成55×1000-38×150=49300(分),被1000人平均，即49300÷1000=49.3(分),就是未被录取者的平均成绩,被录取者的平均成绩是49.3+38=87.3(分),录取分数线是:87.3-6.3=81(分)。 20.有几位同学一起计算他们语文考试的平均分。赵峰的得分如果再提高13分，他们的平均分就达到90分;如果赵峰的得分降低5分，他们的平均分只有87分。那么这些同学共有多少人? 【解答】(13+5)÷(90-87)=6 21.小明在期末四门功课考试的平均分数是90分，加上历史成绩后，他五门功课的平均分数下降2分。小明历史成绩是多少分？ 【解析】 解法一：小明四门功课平均数可以求出四门功课总分数，五门功课平均分下降2分即五门功课平均分是（90-2）=88分，那么五门功课总分为88×5=440分。五门比四门总分多的分数就是历史成绩。 　　（90-2）×5-90×4 =440-360 　　=80（分） 　　答：小明历史成绩80分。 　　解法二：由于平均分降2分，即每门成绩降低2分，原四门成绩一共降低8分，这8分补给历史成绩才达到平均分数88分。这样就能求出原历史成绩比五科平均分少8分。 　　90-2-2×4=88-8 　　=80（分） 　　答：小明历史成绩80分。 22.小英练习跳绳，她已经跳了若干次，准备最后再跳一次，如果最后这次跳48个,那么平均每次跳56个；如果最后这次跳68个,那么平均每次跳60个。小英已经跳了几次? 【解析】 根据题意：设小英前面已经跳了x次；若跳48次，则前面跳的四次的次数总和为：56（x+1）-48；若跳68次，则前面跳的四次的次数总和为：60（x+1）-68；两个方程式相等，列方程求解即可。 【规范解答】 根据题意设小英前面已经跳了x次； 56（x+1）-48=60（x+1）-68    56x+56-48=60x+60-68       56x+8=60x-8         4x=16         x=4 答：小英已经跳了4次。 【点评】本题主要考查解方程及方程的解，对问题的量列方程，根据两次前面跳的总次数不变列方程求解。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$