辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题

2024-2025学年辽宁省鞍山市普通高中高一上学期质量监测数学试题 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知命题“,”,则为( ) A. , B. , C. , D. , 2.若m为函数的零点,则m所在区间为( ) A. B. C. D. 3.测甲、乙两组各10名学生的身高单位:,所得数据用茎叶图表示如下,则下列结论中正确的是( ) A. 两组学生身高的极差相等 B. 甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大 C. 甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小 D. 甲组学生身高在175cm以上的人数较多 4.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”,在数学学习和研究中,常用函数的图像来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图像特征,如函数的图像大致形状是( ) A. B. C. D. 5.如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,DM与AC交于点N,设,,则( ) A. B. C. D. 6.下图是易书中的八卦图含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦,每一卦由三根线组成表示一根阳线,表示一根阴线,传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦,这两卦中阳线数量之和为4的概率是( ) A. B. C. D. 7.定义在R上的奇函数在上单调递增,且,则不等式解集为( ) A. B. C. D. 8.已知,满足,,其中e是自然对数的底数,则的值为( ) A. e B. C. D. 二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.下列说法正确的是( ) A. 函数的零点是,2 B. 若定义在上的函数满足,则为增函数 C. 函数的定义域为R,则 D. 已知函数,则的值为3 10.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星,是革命和光明的象征.正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中,多边形ABCDE为正五边形,则( ) A. B. C. D. 11.有5个标记数字1,2,3,4,5的小球,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,则( ) A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁互斥 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 12.已知函数,若,且,则下列结论正确的是( ) A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若方程有5个不同的实根,则 D. 若方程有5个不同的实根,则 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知向量,,且,则 . 14.已知函数的单调递增区间为 . 15.已知定义在R上函数满足,,,都有,据此可构造函数 ,且知是 填“奇”或“偶”函数,在上为 填“增”或“减”函数. 16.在荷花池中,有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去每次飞时,均从一叶飞到另一叶,而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍,如图所示.假设现在蜻蜓在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是 . 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 已知全集,集合,集合 若,求, 若是的充分条件,求实数m的取值范围. 18.本小题12分 已知e是自然对数的底数,函数, 求证:是偶函数; 求不等式的解集. 19.本小题12分 如图所示,已知点G是的重心,过点G作直线分别与边AB、AC交于M、N两点点M、N与点B、C不重合,设,, 求的值; 求的最小值,并求此时x,y的值. 20.本小题12分 国务院于2023年开展第五次全国经济普查,为更好地推动第五次全国经济普查工作,某地充分利用信息网络开展普查宣传,向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况,现从参与调查的人群中随机选出200人,并将这200人按年龄单位:岁分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示. 求a值,并求这组数据的分位数精确到; 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.抽取结果中来自第2组和第3组中的所有人的年龄的平均数和方差分别为37和已知第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6,据此估计第3组所有人的年龄的方差. 21.本小题12分 某社区举办“趣味智力挑战赛”,旨在促进社区邻里关系,鼓励居民参与公益活动.本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题,参赛选手需依次回答这4道题目,任何一道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前两道题都没有答对,而后续还需要答题,则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动,若4道题目都没有答对,则被淘汰.根据大数据统计,年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为,已知甲岁、乙岁两人都参与了该“趣味智力挑战赛”,他们每道题是否答对相互独立. 甲热爱公益活动,若需要答题机会,他愿意参与社区组织的公益活动,求甲通过第一轮挑战赛的概率; 求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率; 求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率. 22.本小题12分 已知函数,函数, 若关于x的方程在区间上有实数根,求实数m的取值范围; 设的反函数为,且,,若对任意的,均存在,满足,求实数的取值范围. 答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查存在量词命题的否定,属于基础题. 更改量词再否定结论即可. 【解答】 解:命题 p:, 则 为, 2.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查判断函数零点所在区间,属于中档题. 判断函数的单调性,再结合函数零点存在定理即可判断出答案. 【解答】 解:由于 在 上均单调递增, 故 在 上单调递增, 又 , 故 在 上有唯一零点,即 . 3.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查茎叶图的应用,考查平均数,中位数以及极差的计算,属于基础题. 分别根据极差,平均数和中位数的定义计算,结合选项得出答案. 【解答】 解:选项A,甲组学生身高的极差为,乙组学生身高的极差为, 则两组学生身高的极差不相等,A错误; 选项B,甲组学生身高的平均值为, 乙组学生身高的平均值为, 则甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值小,B错误; 选项C,甲组学生身高的中位数为, 乙组学生身高的中位数为, 甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小,C正确; 选项D,甲组学生身高在175cm以上的有3人, 乙组学生身高在175cm以上的有4人, 甲组学生身高在175cm以上的人数较少,D错误. 4.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查函数的图象的判断,属于基础题. 根据函数的奇偶性可排除D,根据,,,,即可排除 【解答】 解:由于的定义域为,且, 故为奇函数,图象关于原点对称,此时可排除 CD, 且当,,,,此时可排除B, 故选: 5.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了向量的加法、减法、数乘运算,属于简单题. 由三角形相似可得,再根据平面向量的线性运算法则得到,化简求出向量 【解答】 解:依题意在平行四边形 ABCD中,, 又M是AB的中点,DM与AC交于点N,所以∽,所以, 所以, 所以 故答案选 6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查概率的求法,考查运算求解能力,属于基础题. 首先得到0根阳线的有一卦,1根阳线的有三卦,2根阳线的有三卦,3根阳线的有一卦,再求出基本事件总数,与满足条件的事件数,再利用古典概型的概率公式计算可得. 【解答】 解:由图可知有0根阳线的有一卦,1根阳线的有三卦,2根阳线的有三卦,3根阳线的有一卦, 记1根阳线的分别为a、b、c,2根阳线的分别为A、B、C,3根阳线的为3, 从八卦中任取两卦,一共有种, 其中满足阳线之和为4的有,,,,,共6种, 故两卦中阳线之和为4的概率 故选: 7.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式,属于中档题. 首先根据函数的奇偶性、单调性,判断,在上单调递增,且,再结合函数的单调性解不等式即可. 【解答】解:由题意可得,,在上单调递增,且, 由,得或, 时,或, 又即或, 故解得, 时,或,又即, 故,解得或, 则不等式的解集为: 8.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查函数与方程、对数运算,考查数学运算能力,属于中档题. 先对函数进行变换,得到和是方程的根,由方程的根唯一,得到,求解即可. 【解答】 解:实数,满足,, ,, 即,, 和是方程的根, 设, ,,, 又在上单调递增, 方程的根唯一, 所以,,整理得, 所以 故选: 9.【答案】AC 【解析】【分析】 本题考查判断或证明函数的单调性,具体函数的定义域求函数的零点,求分段函数的函数值,一元二次不等式存在性或恒成立问题,属于一般题. A选项,令,即可求得零点;B选项,由函数单调性的定义即可判断;C选项,根据函数有意义的条件,分母不为0,对参数进行分类讨论;D选项,由分段函数的定义即可求解. 【解答】 解:A选项,令,解得, 所以函数的零点是,故A选项正确; B选项,根据增函数的定义可知,若定义在上的函数满足, 则不一定为增函数,故B选项错误; C选项,函数的定义域为R,,当时,符合题意,当时,,解得,综上,,故C选项正确; D选项,,则,故D选项错误. 10.【答案】AD 【解析】【分析】本题主要考查的是平面向量的线性运算,相等向量,属于中档题. 直接利用平面向量线性运算逐项检查即可. 【解答】解:由图可知,,A正确; ,故B错误; ,故C错误; ,故D正确; 故选 11.【答案】BC 【解析】解:由题意可知:两点数和为6的所有可能是,,,,, 两点数和为5的所有可能是,,,, 可得:,,, 对于A,甲与乙可以同时发生,例如,故甲与乙不互斥,A选项错误; 对于B,因为丙与丁不可能同时发生,所以丙与丁互斥,B选项正确; 对于C,甲丙甲丙,可知甲与丙相互独立,故C选项正确; 对于D,乙丁乙丁,可知乙与丁不相互独立,故D选项错误. 故选: 根据题意,直接由互斥事件的概念判断A、B两项的正误;计算出甲、乙、丙、丁各事件的概率,再根据独立事件的概率乘法公式,判断C、D两项的正误,即可得到本题的答案. 本题主要考查事件与样本空间、独立事件与互斥事件及其应用,考查了计算能力、逻辑推理能力,属于基础题. 12.【答案】BCD 【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程的根之间的关系,数形结合及转化思想的应用,属于较难题. 作出的图像,结合图象可判断A,B,利用函数零点结合图像判断C,D 【解答】 解:根据解析式可得函数大致图象如下, 令,则, 所以且,故,A错,B对; 由,可得或, 由图知,对应有2个不同解,故对应必有3个不同解,所以,C对; 由图,当时原方程无解;当时,,此时原方程只有1个解,不符; 当时,且,此时原方程有1或2或3个解,不符; 令,得或或, 当时,或或, 若,原方程无解; 若,原方程有2个解; 若,原方程有1个解,故原方程共有3个不同解,不符; 当时,或或,原方程共有4个解,不符; 当时,或或, 若,原方程有2个解; 若,原方程有2个解; 若,原方程有1个解,故原方程共5个不同解,符合; 当时,有1个解或有2个解,原方程共3个解,不符; 当时,,原方程只有1个解,不符; 综上,满足题设,D对. 故选: 13.【答案】 【解析】【分析】 本题考查向量平行和模的坐标表示,属于基础题. 由向量平行求出m,由向量模的坐标表示即可求解. 【解答】 解:由题意,得,, 因为, 则,解得, 则, 则 14.【答案】 【解析】【分析】 本题考查对数型复合函数单调区间的求解,解题时应先求出函数的定义域,考查计算能力,属于中等题. 求出函数的定义域,然后利用复合函数同增异减法则可求出函数的单调递增区间. 【解答】解:不等式,可得或, 所以函数的定义域为 内层函数在区间上为减函数,在区间上为增函数, 外层函数在上为减函数, 由复合函数同增异减法则可知,函数的单调递增区间为 15.【答案】 ; 奇 ; 减 【解析】【分析】【分析】本题主要考查了单调性及奇偶性在求解不等式中的应用,体现了转化思想的应用,属于中档题. 设 ,由 ,化简得到 是奇函数,根据 化简可得 在 上单调递减. 【解答】 解:因为定义在 R 上的函数 满足 , 所以 , 设 ,则 , 所以 为奇函数. 因为对任意的 ,都有 , 不妨设 ,则 , 即 ,所以 , 所以 在 上单调递减. 16.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查概率的计算,利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键. 根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率,然后根据跳3次回到A,则应满足3次逆时针或者3次顺时针,根据概率公式即可得到结论. 【解答】 解:设按照顺时针跳的概率为p,则逆时针方向跳的概率为3p,则, 解得,即按照顺时针跳的概率为,则逆时针方向跳的概率为, 若青蛙在A叶上,则跳3次之后停在A叶上, 则满足3次逆时针或者3次顺时针, ①若先按逆时针开始从,则对应的概率为, ②若先按顺时针开始从,则对应的概率为, 则概率为, 故答案为: 17.【答案】解:若,则, 因为,所以, 或 若是的充分条件,则, 则,所以, 即实数m的取值范围为 【解析】本题考查了充分条件与集合关系中的参数取值问题,还考查了交集,补集的计算,是中档题. 若,先得出集合B,再由集合的运算可得结果; 由“”是“”的充分条件,则,可得,解出即可. 18.【答案】证明:因为是定义域为R关于原点对称, 又,,所以为偶数; 解:因为函数是定义域为R上的偶函数, 所以只需判断上单调性即可;易知, 任取,,, 因为,所以,,,,,得,即, 所以在上是单调增函数,由偶函数性质可得在上单调递减, 因此可得在上单调递减,在上单调递增; 由是偶函数得对函数来说,距离其对称轴y轴越近,函数值越小, 因此不等式等价于,即,也即, 整理可得,解得或; 所以不等式的解集为 【解析】本题考查了函数的奇偶性,利用函数的单调性解不等式,属于中档题. 根据函数的定义域,及可得函数是偶函数; 首先判断出函数的单调性,再根据函数是偶函数可得等价于,即,整理可求解集. 19.【答案】解:如图所示, 因为G为 重心, 所以 , 所以 , 因为M,G,N三点共线, 所以 ,即 . 由题意可知 ,且 , 所以 , 当且仅当,即时取等号, 又因为,所以,时,的最小值 【解析】本题考查平面向量的线性运算,平面向量基本定理,三点共线,基本不等式求最值,属于中档题. 由三角形重心的性质,以及平面向量的线性运算得 ,由M,G,N三点共线,得 ,化简得结论; 由题意可知 ,且 , 由基本不等式求最值. 20.【答案】解由表中数据可得,解得, 设第40百分位数为m,因为前2组频率, 前3组频率, 所以m位于第三组:内即, 由题意得,第2组和第5组的频率分别为,, 故第2组和第5组所抽取的人数分别为,, 设第2组的宣传使者的年龄平均数分为,方差为,第2组人数3人, 设第3组的宣传使者的年龄平均数为,方差为, 第3组人数7人第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为,方差为, 则,求得, 即第3组所有宣传使者的年龄平均数为40, 解得即第3组所有宣传使者的年龄方差为6 【解析】本题考查频率分布直方图、百分位数、平均数、方差等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 根据频率分布直方囷求出a,再根据面积坟解第40百分位数. 由平均数、方差的计算公式能求出这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差. 21.【答案】解:设甲、乙两人第i次答对题目分别记为事件,, 则, 甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为, 则甲通过第一轮挑战赛的概率为 设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件A, 乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件B, 则, 故所求概率为 甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为 乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为 故所求概率为 【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式,考查对立事件的概率公式,属于中档题. 计算甲第一轮挑战赛被淘汰的概率,再根据对立事件的概率,即可求解; 分别计算甲、乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛,再根据独立事件概率乘法公式,即可求解; 分别计算甲、乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率,由的结论结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式,即可求解. 22.【答案】解:由 ,可得: ,设 , 则 , 又 ,故 , 因此当 时, m 取得最小值为 ; 当 时, m 取得最大值为 12 ,故 . 所以实数 m 的取值范围为 ; 的反函数为 , 则, 若对任意的 ,均存在 ,满足 , 则只需 恒成立即可. 设 ,因为 ,故 . 设 ,分如下情形讨论: ①当 时, , 此时 ,,不满足 恒成立. ②当 时, 在单调递减, ,此时只需 在 上恒成立, 则只需: 在 上恒成立, 因为 是开口向上的抛物线, 对称轴为时单调递增, 故只需: 时,不等式 成立即可, 即, 解得: ,与 矛盾; ③当 时, 在单调递增, , 命题成立必须 在 上恒成立, 即 在 上恒成立; , 当 时, 时,取最小值, 故 成立 整理得 , 解得: , 又因为 故 ; 当 时,在 上单调递减, 故当 时, 成立即可, 解得 , 又 可得 ; 综上 时, . 综上所述,实数 的取值范围为 . 【解析】本题主要考查函数的性质,方程有解问题,不等式恒成立与存在性问题,指数函数与对数函数的性质,属于较难题. 由 ,可得: ,设 ,则 结合二次函数的性质求得最值,即可得到结果; 的反函数为 ,若对任意的 ,均存在 ,满足 ,则只需 恒成立即可.对分类讨论,列出不等式求解即可. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$