湖北省2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷

湖北省 2024-2025 学年秋季学期高一期末联考 数 学 试 卷 命题单位：宜昌市教科院 审题单位：随州市教科院 荆门市教研室 2025.1 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．命题“”的否定是 A． B． C． D． 3．截取一块扇形钢板,若扇形钢板的圆心角为 ，面积为 ，则这个扇形钢板的半径约为（参考数据：） A． B． C． D． 4．已知函数，则函数的零点所在区间为 A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 5．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数的图象大致是 A． B． C． D． 7．某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数．如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为 A．19% B．20% C．28% D．81% 8．已知 ,则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知角的终边过，则 A．角为第二象限角 B． C．当时， D． 的值与的正负有关 10．已知函数 的定义域为， ,则 A． B． C．为减函数 D．为奇函数 11．已知 ，函数，若 恒成立，则 A．的最小值为9 B．的最小值为2 C．的最小值为 D． 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数的图象过点，则_____． 13．若 ，且 ,则 _____． 14．给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作 ,即．已知 ． （1） _____； （2）若方程 恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 16．（15 分） 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围． 17．（15 分） 已知，函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：． 18．（17分） 某企业生产一批产品，受工艺和技术水平的限制,在生产中会产生一些次品，其次品率与日产量（单位：千件）之间满足如下关系：（且 ）．每生产1千件合格品企业平均可以获利5万元, 但每生产1千件次品企业平均亏损7万元． （注：次品率，盈利获利总额亏损总额．） （1）求企业日盈利（单位：万元）关于日产量的函数关系式； （2）当日产量为多少时，企业日盈利最大？ 19．（17分） 用表示中的最小值，用表示 中的最大值． （1）已知，求的值； （2）已知，求的最大值； （3）已知，函数 ，试讨论函数 的零点的个数． 高一数学试卷　第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高一数学参考答案 选择题： 题号1 2 3 6 8 9 10 11 答案D D 3 C BC ABD AC 1.【答案】D 2.【答案】D. 【解析】根据全称量词命题“xeM,p(x)”的否定为“3x∈M,一p(x)”知答案为D. 3.【答案】C 【解析】由扇形面积公式可得上×2红×r=942,可得r≈30，故选C. 2 3 4.【答案】C. 【解析】易知函数f(x)在(0，+o)上单调递增，又f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,所 以C正确。 5.【答案】B. 【解析】>2的解集为0，(@s(-,, 故B选项正确， 6.【答案】A. 【解折】易知定义城为钟x≠0。仁-_血-，可知为奇函数，排 -x -x 除D:又当x>1时，f>0,排除C:又f=n2<1,排除B:故选A 2 7.【答案】A 【解析】当1=0时，P=P·ep=P,当1=5时， Be 一=90%，即e5t=0.9 P 所以当1=10时， Be-loa =et=(e5)2=0.92=0.81,即10h后，还剩81%的污染物， B 所以前10h消除的污染物的占比为19%.故选A. 8.【答案】C 【解析】由题意得m=1og4,现采用分析法比较x与0的大小以及x与0的大小： 要比较x与0的大小，即比较2”-3与0的大小一比较2"与3的大小一比较m与 1og,3台比较10g4与10g,3,将比较两个数均乘以4，可得4log4=log,256∈(5.6)， 4log:3=log281∈(6,7)，显然1og3>l0g4,故x<0,同理y>0,故选C 9.【答案】BC 3B项 【解析】由a<0,角0的终边在第四象限，显然A错误：由定义，am0=扣=-4， 正确：当a>0时，r=3a+4a=51a上5a,所以sin0+cos0=4a+-30=:,所以 5a5a5 c项正确：因为sim0.cos0=40.-30=-124=-12。-2,与a的正负无关，所以D项 2 25a2 25 错误，故选BC I0.【答案】ABD 【解析】因为x,y∈R,f(y)+y=fy)+(x),令x=y=1, 可得f)+1=f0)+f0,则f)=1,令x=y=-1, 可得f)+1=-f(-1)-f(-1),则f(-)=-1. 对于A选项：令x=y=0,可得f(O)=0,所以A正确： 对于B选项：令y=(x≠0)可得f0+1=白)+∫)=2，所以B正确： 对于C选项：因为f(-I)=-1、f)=1,所以f(x)不可能为R上减函数，故C错误： 对于D选项：令y=-1,可得f(-x)-x=xf(-l)-f(x),所以f(-x)=-f(x),所以f(x) 为奇函数，所以D正确.故选：ABD. IL.【答案】AC 【解析】易知A(x)=x-a-b单调递增，B(x)=ln(x-ab+4)单调递增，要使f(x)≥0恒成 立，结合图象可知A(x)与B(x)共零点，所以a+b=1+ab-4,变形可得ab=a+b+3 对于A选项：ab=a+b+3≥2Wab+3,可知(ab-3)(ab+1)≥0，故√ab≥3，所以ab≥9， 当且仅当 ab=a+h+3,即a=3取等号，所以A正确： a=b b=3 对于B选项：a+b=ab-3,可知a6-)=b+3,即a=+3,显然b>1, b-1 所以1+1=1+1=6-+1 b-11 a-1b-6+31b-14+6-22 4b- =1,当且仅当a=3 b=31 b-1 故B错误： 对于C选项：由ab=a+b+3可知(a-)(b-1)=4,易知a>1,b>1,故(a-1)2b-2)=8, 所以(a-1)+(2b-2)22Va-12b-2)=2W8=42,故a+2b23+42,当且仅当 ab=a+6+3,即a=l+2W5取等号，所以c正确 a-1=2h-2b=1+√2 对于D选顶：由ab=a+b+3可知，1+}=a+b=b-3=1-3 ,由A选项可知ab29, a b ab ab ab 所以S1-3<,当且仅当取最小值子，所以D错误.故选AC 3 ab b=3 注：利用a-b+3进行消元，或者由a-6-)=4,双换元ma-亦可完成解答。 b-1 n=b-1 填空题： 12.【答案】8 【解析】由题意得，(2P=2V5,解得a=3,f(2)=23=8. 1B【省案】 【解析】解法1：2sina-1=c0s,与sin2a+cos2a=1联立可得 sin'a+2sma-f=l,故5sn2a-4sina=0,所以sina= 4 解法2：由sin2a+cos2a=1可知sin2a=1-cosa=(1+cosa1-cosa),由已知条件可 得-oa=分na,与2sna=co+1相加可得ma=2,即na-号 解法3：由2sina-cosa=l,构造对偶式，令2cosa+sina=m,两式平方相加可m2+1=5, 即m=2或m=-2(舍)，从而解得sima=4 3 5 14.【答案】-：916) 【解标1孕-子份-子2=-子：面出)-到的图象，要俊方程/以-gx+宁拾 a>1 有5个实数根，分析可知， log,3<,解得ae9,16. 2 log.4 解答题： 15.【详解】 sin(2+0)+cos(-0) (1)f0= sin0+sin0 2sin0 =-tan …5分 m--0+sm受-0 -cos0-cos0 -2cos0 所以孕=-好=1· 6分 评分说明：Sm2r+0.co号0.c0m--0月sm子每化筒正境一个得1分. 2sin8化简正确得1分. -2c0s0 (2)若f(0)=2,即-an0=2,即an0=-2, …7分 sin20+sin0.cos0-cos0 sin0+sin0-cos0-cos0 …10分 sin0+cos"0 tan'0+tan0-1 …12分 tan+1 =4-2-11 4+15 …13分 16.【详解】 (1)由x2-6x-720,可得x≤-1或x27, 即集合B={xx≤-1或x27}: …3分 由AsB,得a+3≤-1或a-3≥7， …5分 解得a≤-4或a≥10. …7分 (2)易知集合A的区间长度为6，故A中最少有5个整数，而集合B中端点“-1”与“7” 相距8个单位，故要使集合A∩B中恰有3个整数，则有两种情形： ①当a-3<-1即a<2,要使集合AnB中恰有3个整数，三个整数应为-3，-2，-1， 则45a-3K-3,可知-1sa<0. *…11分 a+3>-1 ②当a+3>7即a>4时，要使集合A∩B中恰有3个整数，三个整数应为7,89， 则，/9<a+3s10 可知6<a≤7. **+14分 a-3<7 综上可知ae[1,0)U(6,7 …15分 说明：①②中将不等式组分别写成-4≤a-3<-3和9<a+3≤10也可. 17.【详解】 (1)解法一：因为f(x)为奇函数，所以f-x)+f(x)=0, …1分 即21. 2*-1 2+1 +a)+( +0=0,亦即}-2+2-+2a=0, …2分 2*+1 1+22+1 解得a=0 …4分 解法二：因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0,即f(0) 2°-1 2”+i+a=0, …l分 解得a=0. …2分 此时)=所以+八1212-上29 212+++2=0 所以a=0符合题意，故a=0. …4分 (2)f(x)为增函数. …5分 证明如下：设%，x∈（一，+0）且x1<x· …6分 则f(x)-f)= 25-125-1222(25-2) …8分 2+12+12+12+1(2+0(2+1) 因为1<x2,所以2<2，即2-2<0， …9分 故fx)<f(x),所以f(x)为增函数. …10分 (3)原不等式即为f(x+)>-f八-3x2+x) …11分 又由(1)可知f(x)为奇函数，所以(x+)>f(3x2-x). …12分 又由(2)可知f(x)为增函数，所以x+1>3x2-x,即3x2-2x-1<0,13分 得<1 …14分 所以照不等式解集为写。 …15分 18.【详解】 (1)由题意得y=5(1-p)x-7px=(5-12p)x. …2分 当0<x51时p5放y=6-125')x=-+63r …4分 15-x 15-x 当x>1时.p=音故y=6-12×岛=0， 6分 所以日盈利y关于日产量x的函数关系式为y= -5x2+63x0<x≤1 15-x …7分 0, X>I (2)由(1)知，当x>1时，企业不盈利，故只需考虑0<x≤1时的情况. …8分 设u=15-x,0<x≤1，则x=15-u,且M∈15-1,15)， …9分 则y=-505-wy+6305-0=-50+87u-180=u+3 6 87, …10分 0当6-156即9≤1≤10时，y=-50u+6+87s-5×2×36+87=27, ,1≤10 36 当且仅当M=36,即u=65-1.15)时，y取最大值27万元，此时x=9千件.…13分 ②当{6-16”甲0<1<9时，令侧=m+6 1s10 设4,4∈6，+o)且4<4，则 fm)-4,)=m+39-u+9=w-4+(366=m-40-6. 44 4出 因为4,4e6切)且4<4·所以4-4<0且1-6>0，故4)<0， 移 即f(4)<f(山)，所以函数f()=u+ 6 在[6，+)上单调递增. 故y=-5u+36)+87在5-15上单调递减 …15分 所以当u=15-1,即x=1千件时，y取最大值，最大值为y=-5+6万元.…16分 15- 综上所述，当0<t<9,1eN"时，日产量x=1(千件)时，企业盈利最大： 当9≤1≤10,1∈N”时，日产量x=9(千件)时，企业盈利最大 …17分 说明： (1)不证明函数/仙=u+6的单调性扣1分 (ⅱ)能得到“当日产量x=9(千件)时，企业盈利最大”这一结论，但没有对15-1与6的 大小分两种情况讨论者扣4分 19.【详解】 (1)由对数函数性质知1g0.6<lg1=0,即1g0.6<0. 又由指数函数性质知0.95<0.9°=1，即0<0.95<1. 又因为an花=5>1 …2分 所以mxe06095,m学=m号=5，即s=5. …3分 3 a+√3b、 a+6,可得 t≤a (2)解法一：由1=min{a 1sa+36 …4分 a+b 则rs02+56。+g+63女动 3 -S- 0+62 …7分 a2+b2 a2+b2 所以1sV6 a+√3b 当且仅当a= 6巨时取等号， +6F即a=6 2 a=3b 所以1的最大值为5 …9分 ≤a 解法二：由1=min{a, a+√36 2+61，可得 sa+v3h. …4分 a+b2 则f≤+5ab-,d+5abS+5ab=3,所以1≤6 口+62= …7分 2 3 -ab 3 _a+v3b 当且仅当 +6即a=6 a=- ),b=2时取等号，所以1的最大值为V6 …9分 2 2 a=√3b a+V36, ≤a 解法三：由1=mna,合2，可得 s+3s+ab a2+b21 …4分 a2+b2 下面研究a+v5ab的最大值： a2+b2 a+b1+5 a2+b2 5a,令m=么，y=t5m0,则有m-5m+y-1=0. 1+ a 1+m a 由△=3-4心-20及y>0可得0<ys多，故y的最大值为3 …7分 接下来验证取等号的条件， 当y=时，m= 3 3 所以取等号的条件为 a 3 即a= 6b- a+√3b 2 时取等号， 4= a+b2 所以？s号，故1的最大值为 …9分 2 2 (3)hx)=x2-ar+2a-3,g(x)=x|-1,由|x|-1=0可得x=1. 对x)=0,则△=a2-8a+12=(a-2)(a-6) …10分 ①当△<0，即2<a<6时，Mx)>0恒成立，f(x)有2个零点： …12分 ②当△=0，即a=2或a=6. (1)当a=2时，h(x)=x2-2x+1=(x-1)220,此时g(±1)=0，x=±1是f(x)的 2个零点， …13分 (i)当a=6时，h(x)=x2-6x+9=(x-3)}≥0，此时f(x)=min{lx-1,(x-3)3, f(x)有3个零点，x=士1和x=3. …14分 ②当△>0，即a<2或a>6,x)=0有2个零点，记为x,x2(x<x). (i)当a<2时，)=a-2<0,h-1)=3知-2，且(x)关于x=9<1对称， 又0<0，则必有号<0，此时无论(-)取何值，f)=min{g),h(x 必有2个零点. …15分 (i)当a>6时，x)关于x=9>3对称，且0=a-2>0, 则当x≤1时，h(x)>0,此时f(±1)=0，当x>1时，h(x)有2个零点，这2个零点且也 是(x)的零点，此时函数f(x)有4个零点. …16分 综上所述：当a<6时，f(x)有2个零点：当a=6时，f(x)有3个零点：当a>6时，f(x) 有4个零点. …17分湖北省2024一2025学年秋季学期高一期末联考 数学试卷 命题单位：宜昌市数科院 审题单位：随州市教科院荆门市教研室 2025.1 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟 ★祝考试烦利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘粘在答题卡上的指定位置 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效： 4.考试结来后，请将本诚卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A=x0<x<3.B=10,1,2,3引.则A∩B= A.{0,1,2,3} B.10,1,2 C.1,2,3 D.11,2 2命题“HmeN,√m+1N”的否定是 A.HmgN,√m+I∈N B.3mgN,Vm2 +leN C.3meN,√m+1gN D.3meN,√m+IeN 3.截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为942cm',则这个扇形钢板的半 3 径约为（参考数据：π=3.14） A.10 cm B.20 em C.30 em D.40 em 高一数学试卷第1页（共4页） 4.已知函数f八x)=lnx+2x-6,则函数f八x)的零点所在区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 5a<宁是>2的 a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数代x)的图象大致是 54-3-21d 2345 -5-4-3-2 2345 2 -3 A. B 2 5-4-3-2-】 234 5-4-3-2-10 2 2 3 C. D. 7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时 间t(单位：h)间的关系为P=Pe“,其中P。,k是正的常数.如果前5h消除了10%的 污染物，那么前10h消除的污染物的占比为 A.19% B.20% C.28% D.81% 8.已知3"=4,2"=x+3,4"=y+5,则 A.0<x<y B.y<x<0 C.x<0<y D.y<0<x 高一数学试卷第2页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知角0的终边过(-3a,4a)(a≠0)，则 A.角0为第二象限角 Ban0=-专 C当a>0时，n0+o0=号 D.sindcos0的值与a的正负有关 10.已知函数x)的定义域为R,Hx,yeR,f八y)+y=y)+x),则 A.f0)=0 B)+)=2(x0) Cf代x)为减函数 D.f八x)为奇函数 11.已知a>0,b>0,函数f代x)=(x-a-b)n(x-ab+4),若f八x)≥0恒成立，则 A.ab的最小值为9 B点+的最小值为2 C.a+2b的最小值为3+42 .。+名的最小值为号 a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知幂函数f代x)=x”的图象过点(2,22)，则f2)= 13.若ae(0,牙)，且2sina=cosa+l,则ina= 4给出定义：若m一了<x≤m+(其中m为整数)，则m叫傲离实数x最近的整数，记 作(x),即(x）=m.已知代x)=x-〈x 1)子)= (2)若方程x)=1g(x+)恰有5个实数根，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) in(2m+60)+cos(受-0) 已知f八0)= os(-r-0)+sm(-0叭 (1)求牙)的值： (2)若f八0)=2，求sin20+sindcos0-cos20的值. 高一数学试卷第3页（共4页） 16.(15分) 已知集合A={xa-3<x<a+3,B={xx2-6x-7≥0|. (1)若ACB,求实数a的取值范围： (2)若集合A∩B中恰有3个整数，求实数a的取值范围 17.(15分) 已知aeR,函数fx)=-l 2+1 +a为奇函数 (1)求a的值； (2)判断f八x)的单调性，并用定义证明： (3)解不等式：八x+1)+八-3x2+x)>0. 18.(17分)》 某企业生产一批产品，受工艺和技术水平的限制，在生产中会产生一些次品，其次品 15-x0<x≤ 率p与日产量x(单位：千件)之间满足如下关系：p= (t≤10且teN"). 12*>1 每生产1千件合格品企业平均可以获利5万元，但每生产1千件次品企业平均亏损7 万元 (注：次品率=次品量，盈利=获利总额-亏损总额) Γ日产量 (1)求企业日盈利y(单位：万元)关于日产量x的函数关系式： (2)当日产量x为多少时，企业日盈利y最大？ 19.(17分)》 用min,,…,x}表示x1,x2,…,x。中的最小值，用maxx1,2,…,x}表示x1,为2， …,x。中的最大值。 (1)已知=mxg0.6,0.95,am号，求s的值： 2)已知4>0，b>0m}求：的最大值： (3)已知aeR,函数g(x)=lxl-1,h(x)=x2-ax+2a-3,试讨论函数 (x)=ming(x),h(x)}的零点的个数 高一数学试卷第4页（共4页）