立体几何中的截面、交线问题专题练——2025届高三数学一轮复习

立体几何中的截面、交线问题 一、单选题 1．正方体中作一截面与垂直，且和正方体所有面相交，如图所示．记截面多边形面积为，周长为，则（    ） A．为定值，不为定值 B．不为定值，为定值 C．和均为定值 D．和均不为定值 2．在正方体中，、分别是棱、靠近下底面的三等分点，平面平面，则下列结论正确的是（    ） A．过点 B． C．过点的截面是三角形 D．过点的截面是四边形 3．在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（    ） A．该截面多边形是四边形 B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点 C．平面 D．平面平面 4．在正方体中，为中点，过的截面与平面 的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（    ）    ①圆的面积为； ②椭圆的长轴长为； ③双曲线两渐近线的夹角正切值为； ④抛物线的焦点到准线的距离为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于、，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球切于、，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是，由、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 7．过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为，这样的截面有（    ） A．6个 B．12个 C．16个 D．18个 8．在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 9．已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 二、多选题 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点．，过作平面的垂线，垂足为，连，，设，的交点为，在中过作直线交，于，两点，，，过作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．的最小值为 11．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不含端点），则（    ） A．存在点，使平面 B．存在点，点到直线的距离等于 C．过四点的球的体积为 D．过三点的平面截正方体所得截面为六边形 12．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是和的中点，则（    ） A． B． C．点F到平面EAC的距离为 D．过E作平面与平面ACE垂直，当与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为 三、填空题 13．如图，已知球的半径为，在球的表面上，，连接球心与，沿半径旋转使得点旋转到球面上的点处，若此时，且球心到所在截面圆的距离为，则球的表面积为 ．    14．已知正方体的外接球的表面积为，点，分别是，的中点，过，，的截面最长边长为，最短边长为，则 .    15．过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若三棱锥与三棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的正切值为 . 16．如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为 ． 17．在棱长均相等的四面体中，为棱（不含端点）上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为 ． 四、解答题 18．如图，已知正方体的棱长为1，分别是线段上靠近的三等分点．过点作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积． 19．在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 参考答案 1．B 解：如图，由正方体的性质得平面， 因为平面，为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可证明， 因为平面，所以平面， 同理可证明平面， 所以，所求截面与平面和平面均平行，如图中的六边形， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，，同理可得，，，，， 设，，则 因为，， 所以，， 因为 所以， 同理， ，， 所以，截面多边形的周长为为（为正方体边长），故为定值； 当时，该截面多边形由六边形变为正三角形，此时面积为； 当时，该截面多边形为正六边形，此时面积为； 所以，该截面多边形的面积在变换，故不为定值. 综上，不为定值，为定值. 2．B 如图取靠近点的三等分点，的另一个三等分点，的中点，的中点， 连接、、、、、、， 依题意可得且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 同理可证、，所以， 又、为的三等分点，所以为的中点，所以，则， 所以、、、四点共面， 又，所以，所以、、、四点共面， 所以、、、、共面， 所以五边形即为过点的截面，平面平面， 所以. 3．B 对于A，将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于， 连分别与棱交于，得到截面多边形是五边形，A错误； 对于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以， 所以，即，点是棱的一个三等分点，B正确； 对于C，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为平面，所以平面， 因为平面与平面相交，所以与平面不垂直，C错误； 对于D，易知，所以， 又，所以平面， 结合C结论，所以平面与平面不平行，D错误. 4．A 取的中点，如下图，连接， 因为，所以四点共面， 所以过的截面即为平面， 截面与平面 的交线为即为， 取的中点，连接，因为， 所以（或其补角）为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为，所以， 所以. 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 5．B 对于①，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的，    即截面圆半径为2，则圆的面积为，故①正确； 对于②，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C， 由题意可得M为母线的中点，则,    故椭圆的长轴长为,②正确； 对于③，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点P到底面距离相等，    则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为， 则设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程，得， 设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则， 故双曲线两渐近线的夹角正切值为，③错误； 对于④，如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线与底面圆的一个交点为H，    则，则, 设抛物线方程为，则， 即抛物线的焦点到准线的距离为，④错误， 故正确的命题有2个， 6．A 图2中，设球心为，球与相切于点，作出截面如图所示， 由题意知：， ， , 又，，则， 又，则， 则椭圆的离心率为. 7．D 如图，在正四面体ABCD中，因为过点A的截面是等腰三角形， 若，则截面与底面BCD所成的角为有如下情形， 如图所示： 在高线的两侧的截面、截面与底面BCD所成的角为（，与BC平行）， 同理截面的一边与CD平行也有2个，与BD平行也有2个，共有6个． 若，同理也有6个； 若，同理也有6个． 综上所述，满足题意的截面共有18个， 8．D 取中点，连接， 由题意知：为等边三角形，则为等边三角形，， 平面，平面平面，平面， 又平面，， 平面，平面， 不妨设，则，，， ，， ，， ，即截面分棱柱的两部分的体积比为. 9．C 如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点， 过点作交于点，连接， 则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形. 其中因为，，， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 则， 显然，则，所以. 10．ABD 由题意可知，四棱锥为正四棱锥， 过作平面的垂线，垂足为，则O为底面中心，连接、、， 设、的交点为，在中，过作直线交，于，， 由相交直线确定平面，得到四边形是过的截面， 由题意得，是等边三角形，是的重心， 则，故A正确； 又设，，，， ，由三点共线得，解得，故B正确； 易知平面,故平面， 则E到平面的距离为，同理G到平面的距离为2, 又为的中点，则到平面的距离为1， ， ，故C错误; 易知， 故， ， ，，， 当且仅当．取等号， ， ．故D正确. 故选：ABD      11．ACD 对于A，当是的中点时，由于是的中点，故. 而，且，故四边形是平行四边形，所以，从而. 而在平面内，不在平面内，所以平面，故A正确； 对于B，设，则，，. 所以， 这就得到. 故点到直线的距离，故B错误； 对于C，设的中点为，过四点的球的球心为，在平面上的投影为，则. 由可知平面，再由可知是的中点. 所以球的半径. 从而球的体积，故C正确； 对于D，分别在上取点，使得. 则过三点的平面截正方体所得截面为六边形，故D正确. 12．BCD 在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，显然与不共线，即与不平行，A错误； 对于B，，，因此，B正确； 对于C，，设平面的法向量， 则，令，得，而， 点F到平面的距离为，C正确； 对于D，过点垂直于平面的直线与平面相交，令交点为， 则，点，由，得，即， 当平面经过直线并绕着直线旋转时，平面与平面的交线绕着点旋转， 当交线与线段，都相交时，与正方体所成截面为三角形， 令平面与平面的交线交于点G，交于点H，设，， ，，由， 得，，斜边上的高， 则截面边上的高， 截面的面积 ， 当时，，， 所以，D正确. 13．/ 依题意，在中，，，则， 因此的外接圆半径， 由球心到所在截面圆的距离为，得，则， 所以球的表面积为. 故答案为： 14．    如图，延长，交于点，连接交于点， 延长，交于点，连接交于点， 连接，，则过，，的截面为五边形， 设正方体的棱长为， 由正方体外接球的表面积为， 可得其外接球的半径为，直径为体对角线， 则，故， 在中，由勾股定理得， 易得，， 故，，， 故，故，， 所以最长边为，最短边为，故. 故答案为： 15． 依题意过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面， 则为中点，为中点，为中点，设的边长为，， 则，，， 所以，， 所以三棱锥的表面积， 三棱台的表面积， 依题意，所以，取BC的中点D，则， 因为为正三棱锥的高，所以平面ABC，且， 则与底面所成角为，所以， 所以，故直线与底面所成角的正切值为. 故答案为： 16． 在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图， 由分别为棱的中点，得， 而平面， 则平面，又平面，于是平面平面， 而平面平面， 因此平面，而，，，则， 球半径，，从而， 球被平面截得的截面圆半径， 所以球被平面截得的截面周长. 又为正四面体，所以球被正四面体的每个面截得的截面都为圆， 且圆的半径为， 所以球被正四面体表面截得的截面周长为. 故答案为： 17．/ 连接，由题意知过点的平面与平面平行， 平面与平面、平面的交线分别为， 由于平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 所以或其补角即为所成的平面角， 设正四棱锥的棱长为1，，则， 在中，由余弦定理得 ， 同理求得， 故在中， ， 由于，则， 进而， 当时取等号，故的最小值为， 进而，故的最大值为. 故答案为：．    18．周长，面积. 在棱长为1的正方体中，延长交直线于，延长交延长线于， 连接交于，交于，连接，则五边形是过点的该正方体的截面， 平面平面，平面平面，平面平面， 则，， 同理，，因此， ，， ， 所以截面周长为； 等腰底边上的高为， 则的面积， 显然∽，，同理， 所以截面面积. 19．(1)周长为，面积为； (2) (3)存在，或 （1）作图：取中点，连接这六个点即可得到截面， 由图可知截面是边长为的正六边形， ∴周长为，面积为； （2）分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示： 情况①         ∵为中点，∴，即， ∵， ∴， 情况② ∵为中点，∴，即， ∵， ∵，即 ∴， 故 （3）（1）如图，截面与相较于点，延长相较于点，连接交与点， 设（），∵，∴， ∵为中点，∴， 延长相交于点，延长相交于点， ∵为中点，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 正方体被截得的其中一个多面体体积为， 则， ， 整理得，解得， ∵，∴， 即， （2）如图： ∵点为中点，∴， ∵点G为中点，∴， 设（），则， 又∵，即，∴， ∵，即，∴， ∵，即，∴ 其中一个多面体体积为 则 化简得，即 ∴或，∵， ∴， 即 综上所述，这样的点存在，或 学科网（北京）股份有限公司 $$