黄金卷01（全国通用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（全国通用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B D C A C B B A 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11． 12． 7 13． 14． 42° 15． 16或 三、解答题：（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分）解：（1） ………………………………………… 2分 ．………………………………………… 4分 （2） ………………………………………… 6分 当时， 原式 ．…………………………………………8 分 18．（8分）解：（1） ………………………………………… 2分 ； 当，时，原式；…………………………………………4 分 （2）， 方程两边同乘，得，， 去括号，得：，………………………………………… 6分 移项、合并得，， 解得，， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：．………………………………………… 8分 19．（8分）解：（1）解：∵（人）， ∴， ∴“网购”：（人）， “支付宝”：（人）， ∵， ∴， 故答案为：；；…………………………………………4 分 （2）补全条形统计图如图所示： ………………………………………… 6分 20．（8分）解：（1）解：如图1，过点A作于点N， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， ∴， ∵，米， ∴，米， ∴米，…………………………………………2 分 设与地面的交点为G， 则米，四边形是矩形， ∴， ∵米， ∴米， ∴米．…………………………………………4 分 （2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P， 过点O作于点K， 则米，四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米，………………………………………… 6分 根据（1）得（米）， ∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米．……………………8分 （3）∵（人）， 答：全校名学生中，最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物的大约有人．…………………………………………8 分 21．（8分）解：（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 将点，代入中， 得， 解得 ， 一次函数的解析式为；………………………………………… 2分 （2）解：点，， 由图象可得不等式的解集为或；………………………………………… 4分 （3）解：四边形为菱形．理由如下： 如图，连接，，    由向右平移 3 个单位长度得直线， ∴的函数解析式为：， 当，则，当，则， ∴，，………………………………………… 6分 同理可得：，， ∴，， ∵， ∴四边形为菱形．………………………………………… 8分 22．（10分）解：（1）证明： ∵ 为的直径，， ∴， ， 又∵， ∴，…………………………………………2 分 ∴， 又∵平分， ∴．………………………………………… 分5 （2）解：∵，由（1）得， ∴， 又∵， ∴在中， ∴，…………………………………………6 分 ， ∴， 又∵是的切线， ∴即， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ，………………………………………… 8分 ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：．………………………………………… 10分 23．（10分） 解：（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件．…………………………………………2 分 （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：；……………………………4 分 （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）；………………………………………… 5分 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）．………………………………………… 6分 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元．………………………………………… 8分 ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元．…………………………………………10 分 24．（12分）解：（1）∵绕点A顺时针旋转得到，如图， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即，………………………………………… 2分 又∵， ∴， ∴， ∴，………………………………………… 4分 （2）①延长到G，使得，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴．………………………………………… 5分 过点F作，交的延长线于点N， ∴，． ∵， ∴．………………………………………… 6分 ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．………………………………………… 8分 （3）延长到G，使得，连接 ∴， ∵矩形ABCD中，，，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴，．………………………………………9 分 过点F作，交的延长线于点N， ∴，． ∵， ∴．， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴．…………………………………………10 分 延长交于点K， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 整理，得， 解方程，得（不合题意舍去）， 综上所述，的长为．…………………………………………12 分 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（全国通用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．四大名著相关读书视频总播放量中，《西游记》的播放量为，请将这个数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列几何体均是由若干个大小相同的小正方体搭建而成的，其三视图都相同的是（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6.《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（    ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确 8．在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（   ） A． B． C． D． 9．如图，平行四边形对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于点，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 10．如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（     ） A．B．C．D． 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11．因式分解： ． 12．满足不等式组的所有正整数解的和为 ． 13．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 14．如图，点是外一点，分别以、为圆心，大于长为半径画弧交于点、，连接交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接交于点，连接、，若，则 ． 15．如图，，点在射线上，且，过点作交射线于点，在射线上截取，使得；过点作交射线于点，在射线上截取，使得；；按照此规律进行下去，则长为 ． 16．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点、的线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为 ． 三、解答题：（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18．（8分）（1）先化简，再求值：．其中，； （2）解方程：． 19．（8分）目前“微信”“支付宝”“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如图不完整的统计图． (1)根据图中信息求出 ， ． (2)请把图中的条形统计图补充完整． (3)根据抽样调查的结果，请估算全校名学生中，大约有多少人最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物？ 20．（8分）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 21．（8分）如图，直线 的图象与反比例函数 的图象交于，两点．    (1)求一次函数的解析式； (2)请写出不等式的解集： ； (3)将直线 向右平移 3 个单位长度得直线，顺次连接两直线与坐标轴的交点得到四边形，请判断它的形状，并说明理由． 22．（10分）如图， 为的外接圆，直径 于 E ，过点 A 作 的切线 与的平分线交于点 F，交于点 G ，交于点 H，交 于点 M，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ，，求 的长． 23．（10分）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 24．（12分）【操作与思考】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明； 【尝试与应用】 （2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证； 【拓展与创新】 （3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（全国通用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，， ∴， ∴最小， 故选D． 2．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、图形绕正方形的中心旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．四大名著相关读书视频总播放量中，《西游记》的播放量为，请将这个数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 4．下列几何体均是由若干个大小相同的小正方体搭建而成的，其三视图都相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：选项A的三视图为，三视图不相同，故该选项不符合题意； 选项B的三视图为，三视图不相同，故该选项不符合题意； 选项C的三视图为，三视图不相同，故该选项不符合题意； 选项C的三视图为，三视图相同，故该选项符合题意； 故选：D 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 6.《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：本题考查二元一次方程组的应用，根据走路快的人走的路程等于走路慢的人走的路程加上先走的路程，走路快的人走x步和走路慢的人走y步所用时间相同，列出方程组即可． 由题意，可得：； 故选A． 7．如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（    ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确 【答案】C 【详解】解：正六边形的一个内角为， ， 为正n边形的一个内角的度数， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 故n的值为3或4或5或6．故选C． 8．在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下： 共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况， ∴； 故选B． 9．如图，平行四边形对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于点，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作的中点G，连接， 四边形是平行四边形，且，， ，，， ， 点G为的中点，， ， ， ， ， ， 故选：B． 10．如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11．因式分解： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： 12．满足不等式组的所有正整数解的和为 ． 【答案】7 【详解】解：由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的正整数解为：3，4， ∴所有正整数解的和为3+4=7． 故答案为：7. 13．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得， 即的值为． 故答案为：． 14．如图，点是外一点，分别以、为圆心，大于长为半径画弧交于点、，连接交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接交于点，连接、，若，则 ． 【答案】42°#42度 【详解】解：如图，连接CA， ∵MN是OP的垂直平分线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ 故答案为：42° 15．如图，，点在射线上，且，过点作交射线于点，在射线上截取，使得；过点作交射线于点，在射线上截取，使得；；按照此规律进行下去，则长为 ． 【答案】 【详解】解：在中， ，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， 由此规律可知， 故答案为：． 16．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点、的线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查“友好点”的新定义，函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键．设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“友好该二次函数”的解析式为，确定，当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， 【详解】解：设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在直线上运动， 设直线与“友好二次函数”交于点， 当时，， ∴， ∵二次函数的顶点为， ∵， ∴当点的坐标为时，此时点、与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点，即； 当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点，即； ∴当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【详解】解：（1） ． （2） 当时， 原式 ． 18．（8分）（1）先化简，再求值：．其中，； （2）解方程：． 【答案】（1），11；（2） 【详解】解：（1） ； 当，时，原式； （2）， 方程两边同乘，得，， 去括号，得：， 移项、合并得，， 解得，， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：． 19．（8分）目前“微信”“支付宝”“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如图不完整的统计图． (1)根据图中信息求出 ， ． (2)请把图中的条形统计图补充完整． (3)根据抽样调查的结果，请估算全校名学生中，大约有多少人最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物？ 【答案】(1)； (2)作图见解析 (3)人 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义， （1）样本中，认可“共享单车”的有人，占调查人数的，可求出调查人数，即的值，进而求出“网购”的人数，“支付宝”的人数和所占的百分比，确定的值； （2）求出“支付宝”“网购”人数即可补全条形统计图； （3）样本中，“微信”和“支付宝”占调查人数的，因此估计总体人中微信”和“支付宝”也占，进而求出相应的人数； 掌握两个统计图中数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵（人）， ∴， ∴“网购”：（人）， “支付宝”：（人）， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）补全条形统计图如图所示： （3）∵（人）， 答：全校名学生中，最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物的大约有人． 20．（8分）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点N， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， ∴， ∵，米， ∴，米， ∴米， 设与地面的交点为G， 则米，四边形是矩形， ∴， ∵米， ∴米， ∴米． （2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P， 过点O作于点K， 则米，四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 根据（1）得（米）， ∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米． 【点睛】本题考查了余切函数，余弦函数，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 21．（8分）如图，直线 的图象与反比例函数 的图象交于，两点．    (1)求一次函数的解析式； (2)请写出不等式的解集： ； (3)将直线 向右平移 3 个单位长度得直线，顺次连接两直线与坐标轴的交点得到四边形，请判断它的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)四边形是菱形，见解析 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式可求m的值，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象的交点坐标可求得不等式的解集； （3）先求解平移后的解析式为，再分别求解两个一次函数与坐标轴的交点坐标，再结合菱形的判定可得结论． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 将点，代入中， 得， 解得 ， 一次函数的解析式为； （2）解：点，， 由图象可得不等式的解集为或； （3）解：四边形为菱形．理由如下： 如图，连接，，    由向右平移 3 个单位长度得直线， ∴的函数解析式为：， 当，则，当，则， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∵， ∴四边形为菱形． 22．（10分）如图， 为的外接圆，直径 于 E ，过点 A 作 的切线 与的平分线交于点 F，交于点 G ，交于点 H，交 于点 M，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ，，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明： ∵ 为的直径，， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． （2）解：∵，由（1）得， ∴， 又∵， ∴在中， ∴， ， ∴， 又∵是的切线， ∴即， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，垂径定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 23．（10分）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 24．（12分）【操作与思考】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明； 【尝试与应用】 （2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证； 【拓展与创新】 （3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）∵绕点A顺时针旋转得到，如图， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， （2）①延长到G，使得，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 过点F作，交的延长线于点N， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （3）延长到G，使得，连接 ∴， ∵矩形ABCD中，，，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴，． 过点F作，交的延长线于点N， ∴，． ∵， ∴．， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 延长交于点K， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 整理，得， 解方程，得（不合题意舍去）， 综上所述，的长为． 【点睛】本题考查了四边形与全等三角形、相似三角形的综合，解题关键是通过旋转构造全等三角形或相似三角形，转化线段关系． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$