数学（新高考Ⅱ卷02）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，且，则集合B可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， A中集合不合题意； B中集合为或，也不合题意， C中集合为，满足题意， D中集合为，不合题意. 故选：C. 2．已知函数定义域为，则命题：“函数为偶函数”是命题“，满足”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若为偶函数，则有，充分性满足； 若，则有.，即， 而为奇函数，因此必要性不满足. 故命题：“函数为偶函数”是命题“，满足”的充分不必要条件. 故选：A. 3．若，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 即， 所以． 故选：D． 5．已知平面直角坐标系中，，，，若，则的坐标为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， ，所以， 故. 故选：B． 6．2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 【答案】D 【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种， 若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种． 则不同的安排方案共有(种)． 故选：D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，平行四边形的顶点都在上，在轴上且满足，则的离心率为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，设轴，由于， ， 所以，故，所以四边形为菱形. 由于，可设，，， ，，则在中有， 在中有， 又，所以， 整理得到， 又，即, 所以，解得，故， 在中有,则，故， 所以，故，故， 故选：A. 8．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，当时，， 由在区间上恰有5个零点，得，解得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的图象，如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．函数是奇函数 C．的图象关于点对称 D．若在上有且仅有三个零点，则 【答案】BCD 【详解】依题意，， 观察图象可得时，函数取最大值，又， 所以，， 解得，，而，解得， ，的最小正周期为，A错误； 是奇函数，B正确； ， ， 令，，可得，， 因此的对称中心为， 当时，函数的对称中心为，故C正确； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确． 故选：BCD． 10．设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的外接圆的面积是 C．的面积的最大值是 D．的取值范围是 【答案】BCD 【详解】对于A项，因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故A项错误． 对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 则的外接圆的面积是，故B项正确． 对于C项，由余弦定理可得，即①． 因为②，当且仅当时，等号成立， 所以由①②得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，则C项正确． 对于D项，由正弦定理可得，则，， 所以 又因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故D项正确． 故选：BCD. 11．已知函数，则（   ） A．的图象关于轴对称 B．有最大值 C．当时， D．若点分别在函数的图象上，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】因为， 对于选项A：， 且， 可知为偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 对于选项B：， 由对勾函数可知的值域为， 可知的值域为，即没有最大值，故B错误； 对于选项C：因为， 且，则， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项B可知， 即函数的图象没有交点， 由题意可知：的最小值即为点到直线的距离的最小值， 又因为，令，解得， 当时，到直线的距离为； 当时，到直线的距离为； 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 . 【答案】 【详解】的展开式通项是：， 依题意得，，即，所以， 故答案为： 13．抛物线的焦点为，为轴正半轴上的一点,射线与抛物线交于点，与抛物线准线交于点．若成等差数列，则 ． 【答案】10 【详解】由题意可知：，设，准线方程 如图： ∴点为中点，即， 又∵成等差数列，∴， ∴，即， ∴，又∵在抛物线上，∴，∴， ∴. 故答案为：10. 14．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为 ． 【答案】 【详解】过点在平面内作作，垂足点为， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则， 所以，三棱锥的外接球的球心为中点， 因为平面平面，平面平面，， 平面，则平面， 设球的半径为，则， 又，，所以，，，， 所以，， 所以，三棱锥的体积为， 解得，因此，球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率． 【答案】(1)，.(2). 【详解】（1）由题意得，解得. 由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值： . （2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和， 来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为，，和， 从中任取2件，样本空间可记为，，，，，， ，，，，，，，，共15个， 记事件：至少有一件为航天级芯片,则，，，，， ，，，共9个， 所以. 16．（15分）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． (1)当与重合时，证明：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【详解】（1）如图，取中点，连接， 因为侧面为菱形，， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）连接，因为为等边三角形，则， 所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 令三棱柱的棱长为2，所以， 故， ， 又，所以， 设，， 则， 即； 又， 设平面的法向量为， 则则，取，则， 故平面的法向量可为， 又，设直线与平面所成角为， 由题可得，即， 整理得：，解得， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为． 17．（15分）设函数． (1)若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. (2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)①；②证明见解析(2) 【详解】（1）①当时，，可得， 则， 可得曲线在点处的切线方程为，即． ②令， 则， 当时，可得在上单调递减， 又因为，所以，即，即， 即当时，. （2）由函数，可得， 令， 当时，，即在区间上单调递增． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意； 当时，函数的图像开口向上，且对称轴为直线， 由，解得， 当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递减． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意． 综上可得，， 设使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 因为，要使得函数在区间上存在唯一零点， 则满足，解得， 所以实数m的取值范围为． 18．（17分）平面内有一点和直线，动点满足：到点的距离与到直线的距离的比值是.点的运动轨迹是曲线，曲线上有四个动点. (1)求曲线的方程； (2)若在轴上方，，求直线的斜率； (3)若都在轴上方，，直线，求四边形的面积的最大值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意， 两边平方得，化简得， 所以曲线的方程为； （2），即，则直线的斜率是正数， 设，直线的斜率为， 设，联立， 化简得，所以， 由题意知， 代入，消，可得， 解得，所以直线的斜率是； （3）延长，交椭圆于点， ，由对称性可知，和等底等高，， 四边形的面积， 设，由（2）知， 所以，即， 令，所以， 当且仅当即时，取到最大值，此时分别在正上方. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19．（17分）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式； (3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)3；5；9；13(2)(3)存在， 【详解】（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4. 则，，，. （2）由题意，. 当，时， ， 且满足上式，所以当为奇数时，. 当时，. 所以 （3）存在时，使得，，，成等比数列 证明如下： 由（2）可得，，， 假设，，成等比数列， 则， 化简得，所以，即， 此时，所以当时，，，，成等比数列. 16 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ___ _________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，且，则集合B可以是(    ) A． B． C． D． 2．已知函数定义域为，则命题：“函数为偶函数”是命题“，满足”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，则（   ） A．1 B． C． D．3 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知平面直角坐标系中，，，，若，则的坐标为：（     ）. A． B． C． D． 6．2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，平行四边形的顶点都在上，在轴上且满足，则的离心率为：（     ）. A． B． C． D． 8．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的图象，如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．函数是奇函数 C．的图象关于点对称 D．若在上有且仅有三个零点，则 10．设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的外接圆的面积是 C．的面积的最大值是 D．的取值范围是 11．已知函数，则（   ） A．的图象关于轴对称 B．有最大值 C．当时， D．若点分别在函数的图象上，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 . 13．抛物线的焦点为，为轴正半轴上的一点,射线与抛物线交于点，与抛物线准线交于点．若成等差数列，则 ． 14．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率． 16．（15分）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． (1)当与重合时，证明：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分）设函数． (1)若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. (2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 18．（17分）平面内有一点和直线，动点满足：到点的距离与到直线的距离的比值是.点的运动轨迹是曲线，曲线上有四个动点. (1)求曲线的方程； (2)若在轴上方，，求直线的斜率； (3)若都在轴上方，，直线，求四边形的面积的最大值. 19．（17分）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式； (3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2 / 5 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C D B D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．-10 13．10 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）由题意得，解得.（5分） 由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值： .（6分） （2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和， 来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为，，和，（7分） 从中任取2件，样本空间可记为，，，，，， ，，，，，，，，共15个，（10分） 记事件：至少有一件为航天级芯片,则，，，，， ，，，共9个， 所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）如图，取中点，连接，（2分） 因为侧面为菱形，， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，（5分） 又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面；（7分） （2）连接，因为为等边三角形，则， 所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 令三棱柱的棱长为2，所以， 故， ，（8分） 又，所以， 设，， 则， 即；（10分） 又， 设平面的法向量为， 则则，取，则， 故平面的法向量可为，（13分） 又，设直线与平面所成角为， 由题可得，即， 整理得：，解得， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）①当时，，可得， 则， 可得曲线在点处的切线方程为，即．（2分） ②令， 则， 当时，可得在上单调递减， 又因为，所以，即，即， 即当时，.（6分） （2）由函数，可得，（7分） 令， 当时，，即在区间上单调递增． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意；（9分） 当时，函数的图像开口向上，且对称轴为直线， 由，解得，（11分） 当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递减． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意． 综上可得，，（13分） 设使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 因为，要使得函数在区间上存在唯一零点， 则满足，解得， 所以实数m的取值范围为．（15分） 18．（17分) 【详解】（1）由题意， 两边平方得，化简得， 所以曲线的方程为；（4分） （2），即，则直线的斜率是正数， 设，直线的斜率为， 设，联立， 化简得，所以，（6分） 由题意知， 代入，消，可得， 解得，所以直线的斜率是；（10分） （3）延长，交椭圆于点， ，由对称性可知，和等底等高，， 四边形的面积，（13分） 设，由（2）知， 所以，即， 令，所以， 当且仅当即时，取到最大值，此时分别在正上方.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4. 则，，，.（4分） （2）由题意，. 当，时， ， 且满足上式，所以当为奇数时，.（7分） 当时，. 所以（10分） （3）存在时，使得，，，成等比数列 证明如下： 由（2）可得，，， 假设，，成等比数列， 则， 化简得，所以，即， 此时，所以当时，，，，成等比数列.（17分） 6 / 6 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… ……………… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，且，则集合B可以是(    ) A． B． C． D． 2．已知函数定义域为，则命题：“函数为偶函数”是命题“，满足”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，则（   ） A．1 B． C． D．3 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知平面直角坐标系中，，，，若，则的坐标为：（     ）. A． B． C． D． 6．2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，平行四边形的顶点都在上，在轴上且满足，则的离心率为：（     ）. A． B． C． D． 8．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的图象，如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．函数是奇函数 C．的图象关于点对称 D．若在上有且仅有三个零点，则 10．设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的外接圆的面积是 C．的面积的最大值是 D．的取值范围是 11．已知函数，则（   ） A．的图象关于轴对称 B．有最大值 C．当时， D．若点分别在函数的图象上，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 . 13．抛物线的焦点为，为轴正半轴上的一点,射线与抛物线交于点，与抛物线准线交于点．若成等差数列，则 ． 14．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率． 16．（15分）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． (1)当与重合时，证明：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分）设函数． (1)若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. (2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 18．（17分）平面内有一点和直线，动点满足：到点的距离与到直线的距离的比值是.点的运动轨迹是曲线，曲线上有四个动点. (1)求曲线的方程； (2)若在轴上方，，求直线的斜率； (3)若都在轴上方，，直线，求四边形的面积的最大值. 19．（17分）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式； (3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$