9.4.3正方形寒假预习讲义-2024-2025学年苏科版数学八年级下册

终日不倦者，其唯学焉！ 【寒假加油站】中心对称图形 9.4.3正方形 【苏科版】 ( 知识梳理 ) 知识点1：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 细节剖析 既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点2：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 细节剖析 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点3：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点4：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： ( 学以致用 ) 【题型一：正方形的性质】 【例题1】如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HGCE．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】如图，四边形ABCD是边长确定的正方形，点E、F分别在边DC、BC上，∠EAF＝45°，求△AEF的面积，只需要知道（　　） A．△CEF的面积 B．△ADE的面积 C．△ABF的面积 D．△CEF、△ADE、△ABF的面积都必须要知道 【变式1-2】正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直且平分 D．对角线互相垂直 【变式1-3】如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED，连接BE，CE，则∠EBC的度数为（　　） A．15° B．20° C．22.5° D．30° 【题型二：正方形的判定】 【例题2】下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　） A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 【变式2-1】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（　　） A．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 C．当BD平分∠ABC时，四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形 【变式2-2】在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝120°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝20cm，则图1中对角线AC的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF 【题型三：正方形的判定与性质】 【例题3】如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为（　　） A．4 B． C．8 D．16 【变式3-1】如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中任选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　） A．②③ B．①③ C．①② D．③④ 【变式3-2】已知，如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形． 【变式3-3】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M． （1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF； （2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形． ( 课后巩固 ) 一．选择题（共3小题） 1．如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′，边A′D′与AB交于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（　　） ①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形； ③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形． A．3个 B．4个 C．1个 D．2个 3．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是靠近点D的CD的四等分点．已知EF＝a，BE＝b，BF＝c．下列结论：①a2+b2＝c2；②a：b：c＝3：4：5；③∠EBF＝30°；④S△DEF：S△ABE：S△EBF：S△CBF＝1：4：5：6，其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 二．填空题（共3小题） 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 　 　． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件　 　时，四边形DECF是正方形． （要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件） 6．如图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），且∠ABC＝60°，则图2中对角线BD的长为 　 　． 三．解答题（共4小题） 7．在正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF．试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 8．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF、∠CFE外角的平分线交于点A，过点A分别作直线CE、CF的垂线，B、D为垂足． （1）∠EAF＝　 　°（直接写出结果不写解答过程）； （2）求证：四边形ABCD是正方形． 9．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，求证：四边形DEFG是正方形． 10．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　 　°（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求DF的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$终日不倦者，其唯学焉！ 【寒假加油站】中心对称图形 9.4.3正方形 【苏科版】 ( 知识梳理 ) 知识点1：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 细节剖析 既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点2：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 细节剖析 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点3：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点4：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： ( 学以致用 ) 【题型一：正方形的性质】 【例题1】如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HGCE．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG＝AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HGAD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG＝∠DAG．则问题得解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°， ∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点， ∴BE＝CF， 在△BCE与△CDF中， ∴△BCE≌△CDF，（SAS）， ∴∠ECB＝∠CDF， ∵∠BCE+∠ECD＝90°， ∴∠ECD+∠CDF＝90°， ∴∠CGD＝90°， ∴CE⊥DF，故①正确； 在Rt△CGD中，H是CD边的中点， ∴HGCDAD，故④错误； 连接AH， 同理可得：AH⊥DF， ∵HG＝HDCD， ∴DK＝GK， ∴AH垂直平分DG， ∴AG＝AD，故②正确； ∴∠DAG＝2∠DAH， 同理：△ADH≌△DCF， ∴∠DAH＝∠CDF， ∵GH＝DH， ∴∠HDG＝∠HGD， ∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF， ∴∠CHG＝∠DAG．故③正确． 故选：C． 【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【变式1-1】如图，四边形ABCD是边长确定的正方形，点E、F分别在边DC、BC上，∠EAF＝45°，求△AEF的面积，只需要知道（　　） A．△CEF的面积 B．△ADE的面积 C．△ABF的面积 D．△CEF、△ADE、△ABF的面积都必须要知道 【分析】将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，故AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，证明△AEF≌△AEH（SAS），可得S△AEF＝S△AHF＝S△ABF+S△ABH＝S△ABF+S△ADE＝（S正方形ABCD﹣S△ECF）÷2，即可得到答案． 【解答】解：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图： 由旋转的性质得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠DAE+∠BAF＝45°， ∴∠BAH+∠BAF＝45°， ∴∠FAH＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEH中， ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴S△AEF＝S△AHF＝S△ABF+S△ABH＝S△ABF+S△ADE＝（S正方形ABCD﹣S△ECF）÷2， ∵四边形ABCD是边长确定的正方形， ∴只需要知道△CEF的面积即可求出△AEF的面积， 故选：A． 【点评】本题考查正方形性质，涉及全等三角形判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． 【变式1-2】正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直且平分 D．对角线互相垂直 【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断． 【解答】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分； 菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方形与菱形的性质，正确对特殊四边形的各种性质的理解记忆是解题的关键． 【变式1-3】如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED，连接BE，CE，则∠EBC的度数为（　　） A．15° B．20° C．22.5° D．30° 【分析】如图，求出∠BAE＝30°；证明AB＝AE；求出∠ABE，即可解决问题． 【解答】解：如图，∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°； ∵△ADE为等边三角形， ∴AE＝AD，∠EAD＝60°； ∴AB＝AE，∠BAE＝30°， ∴∠ABE＝∠AEB75°， ∴∠EBC＝90°﹣75°＝15°， 故选：A． 【点评】该题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握正方形、等边三角形等几何知识点，并能灵活运用． 【题型二：正方形的判定】 【例题2】下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　） A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 【分析】根据有一个角是90°的菱形是正方形，以及对角线相等的菱形是正方形进行判断即可． 【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． 即∠ABC＝90°或AC＝BD． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键． 【变式2-1】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（　　） A．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 C．当BD平分∠ABC时，四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， 当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， 当BD平分∠ABC时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键． 【变式2-2】在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝120°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝20cm，则图1中对角线AC的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图1中连接BD，AC，如图2中，连接AC．在图2中，利用勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题． 【解答】解：如图1中连接BD，AC，如图2中，连接AC． 在图2中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵AC＝20cm，AB2+BC2＝AC2， ∴， 在图1中，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝120°， ∴AB∥DC，CD＝BC，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴∠C＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键定灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF 【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可． 【解答】解：∵EF垂直平分BC， ∴BE＝EC，BF＝CF， ∵BF＝BE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形； 当BC＝AC时， ∵∠ACB＝90°， 则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形． ∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝45°， ∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°， ∴菱形BECF是正方形． 故选项A正确，但不符合题意； 当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意； 当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项C错误，符合题意； 当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项D正确，但不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关定理是解题关键． 【题型三：正方形的判定与性质】 【例题3】如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为（　　） A．4 B． C．8 D．16 【分析】先证四边形BEOH与四边形DFOG为正方形，再根据勾股定理即可求出它们的面积之和． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD， ∵EF⊥AB，GH⊥BC， ∴∠AEF＝∠BEF＝90°，∠BHO＝∠CHO＝90°， ∴∠B＝∠BEO＝∠BHO＝90°， ∴四边形BEOH是矩形， ∵BE＝BH， ∴四边形BEOH是正方形， ∵∠BAC＝∠B＝∠BHO＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴AG＝BH， ∵AD∥BC，GH⊥BC， ∴GH⊥AD， ∴∠DGO＝∠AGO＝90°， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴∠DFO＝∠CFO＝90°， ∴∠DGO＝∠DFO＝∠D＝90°， ∴四边形DFOG是矩形， ∵∠B＝∠BEO＝∠C＝90°， ∴四边形BEFC是矩形， ∴CF＝BE， ∴AG＝CF， ∵AD＝CD， ∴DG＝DF， ∴四边形DFOG是正方形， ∴S正方形BEOH+S正方形DFOG＝BH2+OG2＝AG2+OG2， 在Rt△AOG中，由勾股定理得，OA2＝AG2+OG2＝42＝16， ∴四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为16， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【变式3-1】如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中任选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　） A．②③ B．①③ C．①② D．③④ 【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形， 当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， 当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， 当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当③AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形， 当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键． 【变式3-2】已知，如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形． 【分析】先由正方形的性质得到AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠D＝90°，再证明AD′＝DC′，进而证明△A′AD′≌△D′DC′（SAS）得到A′D′＝D′C′，∠2＝∠DC′D′，进一步证明∠A′D′C′＝90°，同理可证明A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′，由此即可证明结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠D＝90°， ∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′， ∴AD﹣DD′＝CD﹣CC′，即AD′＝DC′， ∴△A′AD′≌△D′DC′（SAS）， ∴A′D′＝D′C′，∠2＝∠DC′D′， ∵∠2+∠CD′D＝∠DC′D′++∠CD′D＝90°， ∴∠A′D′C′＝90°， 同理可证明A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′， ∴四边形A′B′C′D′是正方形． 【点评】本题主要考查了正方形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式3-3】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M． （1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF； （2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形． 【分析】（1）根据∠ABF+∠CBF＝90°，∠BAE+∠ABF＝90°，推出∠BAE＝∠CBF，进而证明△ABE≌△BCF，从而得出结论； （2）同（1）推出∠BAE＝∠CBF，进而证明△ABE≌△BCF，从而得出AB＝BC，进一步得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC， ∴∠ABF+∠CBF＝90°， 又∵AE⊥BF， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠ABF+∠CBF＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AB＝BC， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形． 【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是根据角的数量关系推出角相等． ( 课后巩固 ) 一．选择题（共3小题） 1．如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′，边A′D′与AB交于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接A′C，证明A′，B，C三点共线，勾股定理求出A′C的长，进而求出A′B的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【解答】解：连接A′C， ∵边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′， ∴BC＝1，∠BCD＝90°，∠DCD′＝45°，∠A′CD′＝∠D′A′C＝45°，A′D′＝CD′＝1， ∴∠BCD′＝∠BCD﹣∠DCD′＝45°，， ∵∠BCD′＝∠A′CD′＝45°， ∴A′，B，C三点共线， ∴，∠A′BE＝90°， ∵∠D′A′B＝45°， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握这些知识点是解题的关键． 2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（　　） ①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形； ③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形． A．3个 B．4个 C．1个 D．2个 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AB＝BC时，它是菱形，故①正确， 当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确， 当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确， 当AC＝BD时，它是矩形，故④错误， 故选：A． 【点评】本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们的判定的内容． 3．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是靠近点D的CD的四等分点．已知EF＝a，BE＝b，BF＝c．下列结论：①a2+b2＝c2；②a：b：c＝3：4：5；③∠EBF＝30°；④S△DEF：S△ABE：S△EBF：S△CBF＝1：4：5：6，其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【分析】设正方形的边长为4m，则AE＝DE＝2m，DF＝m，FC＝3m，由勾股定理以及逆定理可判断△BEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理得到①正确；求出a、b、c的值，从而对②作出判断；由锐角三角函数的定义求出sin∠EBF的值，对③作出判断，分别用含有m的代数式表示4个三角形面积，对④作出判断即可． 【解答】解：设正方形的边长为4m，则AE＝DE＝2m，DF＝m，FC＝3m， ∵BE2＝AE2+AB2＝4m2+16m2＝20m2，EF2＝DE2+DF2＝4m2+m2＝5m2，BF2＝BC2+FC2＝16m2+9m2＝25m2， ∴BE2+EF2＝BF2， 即a2+b2＝c2， 因此①正确； ∵am，b2m，c5m， ∴a：b：cm：2m：5m＝1：2：， 因此②不正确； 在Rt△BEF中， ∵sin∠EBF， ∴∠EBF≠30°， 因此③不正确； ∵S△DEFDF•DEm×2m＝m2， S△ABE：AE•AB2m×4m＝4m2， S△EBFEF•BE2mm＝5m2， S△CBFBC•CF4m×3m＝6m2， ∴S△DEF：S△ABE：S△EBF：S△CBF＝1：4：5：6， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有①④， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性质，掌握勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性质以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 二．填空题（共3小题） 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 　（﹣2，﹣1）　． 【分析】围绕正方形性质：点A和点C关于原点对称，得点C的坐标． 【解答】解：过点A，C分别作x轴的垂线AE，CF，如图， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OC， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF，AE＝CF， ∵点A的坐标是（2，1）， ∴OE＝OF＝2，AE＝CF＝1， ∴点C的坐标为：（﹣2，﹣1）， 故答案为：（﹣2，﹣1）． 【点评】本题考查正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件　AC＝BC　时，四边形DECF是正方形． （要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件） 【分析】由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出． 【解答】解：设AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形， ∵∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC， ∴∠C＝∠CED＝∠EDF＝∠DFC＝90°， DFAC＝CE， DEBC＝CF， ∴DF＝CE＝DE＝CF， ∴四边形DECF是正方形， 故答案为：AC＝BC． 【点评】此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件． 6．如图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），且∠ABC＝60°，则图2中对角线BD的长为 　10cm　． 【分析】先利用正方形的性质得到AB＝AD＝10cm，在图2中，连接AC交BD于O，证明△ABC是等边三角形得AC＝10cm，再根据菱形的性质和勾股定理求得BO的长即可求． 【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，， ∴， 在图2中，连接AC交BD于O， ∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm， ∴△ABC是等边三角形，则AC＝10cm， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，BO＝DO，AC⊥BD， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键． 三．解答题（共4小题） 7．在正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF．试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【分析】根据正方形的性质，得到AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，由BE＝DF，得到OE＝OF，即可得到四边形ABCD为菱形． 【解答】证明：四边形AECF是菱形； 理由如下：连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD， 又∵BE＝DF， ∴OB＝BE＝OD＝DF， 即OE＝OF， ∴AC与EF相互垂直平分， ∴四边形AECF为菱形． 【点评】本题考查了正方形的性质，以及菱形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和菱形的判定进行解题． 8．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF、∠CFE外角的平分线交于点A，过点A分别作直线CE、CF的垂线，B、D为垂足． （1）∠EAF＝　45　°（直接写出结果不写解答过程）； （2）求证：四边形ABCD是正方形． 【分析】（1）由两个平角的和为360°减去∠CFE+∠CEF，剩下∠DFE+∠BEF，再由角平分线求出∠AEF+∠AFE，利用三角形的内角和即可求解； （2）作AG⊥EF于G，如图所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形． 【解答】（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CFE+∠CEF＝90°， ∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AFEDFE，∠AEF∠BEF， ∴∠AEF+∠AFE（∠DFE+∠BEF）270°＝135°， ∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°， ∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°， 故答案为：45°； （2）证明：作AG⊥EF于G，如图1所示： ∴∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AEB＝∠AEG，∠AFG＝∠AFD， 在△AEB和△AEG中， ， ∴△AEB≌△AEG（AAS）， ∴AB＝AG， 同理可证明：△AFG≌△AFD（AAS）， ∴AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定，掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，求证：四边形DEFG是正方形． 【分析】过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，证明四边形EMCN为正方形，则EM＝EN，∠MEN＝90°，证明△DEN≌△FEM（ASA），得到ED＝EF，即可得到结论． 【解答】证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝∠ECM＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN，∠MEN＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°， ∴∠DEN+∠NEF＝∠FEM+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠FEM， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形． 【点评】此题考查了正方形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，证明△DEN≌△FEM（ASA）是解题的关键． 10．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　45　°（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求DF的长． 【分析】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE∠DFE，∠AEF∠BEF，求得∠AEF+∠AFE（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形； ②设DF＝x，根据已知条件得到BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC＝CD＝4，根据全等三角形的性质得到BE＝EG＝2，同理，GF＝DF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CFE+∠CEF＝90°， ∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AFEDFE，∠AEFBEF， ∴∠AEF+∠AFE（∠DFE+∠BEF）270°＝135°， ∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°， 故答案为：45； （2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示： 则∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A， ∴AB＝AG，AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形； ②解：设DF＝x， ∵BE＝EC＝3， ∴BC＝6， 由①得四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝6， 在Rt△ABE与Rt△AGE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴BE＝EG＝6， 同理，GF＝DF＝x， 在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2， 即32+（6﹣x）2＝（x+3）2， 解得：x＝2， ∴DF的长为2． 【点评】本题考查了正方形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$