9.4.2菱形寒假预习讲义-2024-2025学年苏科版数学八年级下册

终日不倦者，其唯学焉！ 【寒假加油站】中心对称图形 9.4.2菱形 【苏科版】 ( 知识梳理 ) 知识点1：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 细节剖析 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点2：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 细节剖析 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点3：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 细节剖析 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. ( 学以致用 ) 【题型一：菱形的性质】 【例题1】在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．70° B．40° C．75° D．30° 【分析】利用菱形的性质和等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°， ∴∠ABD＝40°． ∵BA＝BE，∴∠BAE70°． 故选：A． 【点评】本题运用了菱形的性质和等腰三角形的性质的知识点，运用知识准确计算是解决问题的关键． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 （　　） A． B．（3，0） C．（﹣6，0） D．（6，0） 【分析】由B点坐标求得OB，再解Rt△OAB，求得OA，于是得到结论． 【解答】解：∵点B的坐标为（0，﹣3）， ∴OB＝3， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴∠ABOABC＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴OA＝OB•tan60°＝3， ∴A（﹣3，0）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，解直角三角形，关键是解直角三角形求得对角线的长度． 【变式1-2】如图，四边形ABCD是菱形，AB＝5，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　） A． B． C．5 D．4 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出AC＝8，再利用菱形的面积公式求解即可． 【解答】解：如图所示，设菱形的对角线交于O， ∵四边形ABCD是菱形 DB＝6， ∴， ∴， ∴AC＝2OA＝8， ∵， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式1-3】如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（　　） A．48 B．24 C．12 D．6 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答． 【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8， ∴菱形的面积6×8＝24， ∵O是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积24＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 【题型二：菱形的判定】 【例题2】在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠A＝∠B D．AC⊥BD 【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， A、∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【变式2-1】如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　） A．AC＝AD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AC＝BD 【分析】利用对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证． 【解答】解：对角线垂直的平行四边形为菱形． 要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是AC⊥BD． 故选：C． 【点评】此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键． 【变式2-2】如图，已知▱ABCD，下列不能判断▱ABCD是菱形的条件是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．BD平分∠ABC 【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【解答】解：A、AB＝AD，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项不符合题意； B、AC⊥BD，对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故选项不符合题意； C、AC＝AB，有一边与对角线相等，不能判定其为菱形，故选项符合题意； D、BD平分∠ABC，符合菱形的性质“每条对角线平分一组对角”，故选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查菱形性质和判定、平行四边形的性质．熟练掌握菱形的性质及判定定理．在平行四边形的基础上，能够添加一个条件得到四边形是菱形． 【变式2-3】判断四边形的框架（如图）是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等．其中方法可行的是（　　） A．① B．② C．①③ D．②③ 【分析】因为四条边都相等的四边形是菱形，所以通过检测框架的四条边是不是相等可以判断四边形的框架是不是菱形，可判断方法①可行；因为四边角都相等的四边形是矩形，但不一定是菱形，所以方法②不可行；由对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，可判断方法③不可行，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四条边都相等的四边形是菱形， ∴通过检测框架的四条边是不是相等可以判断四边形的框架是不是菱形， 故方法①可行； ∵四边角都相等的四边形，它的四个角都是直角， ∴这样的四边形是矩形，但不一定是菱形， ∴通过检测框架的四个角是不是相等不能判断四边形的框架是不是菱形， 故方法②不可行； ∵对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形， ∴通过检测框架的对角线是否互相垂直且相等不能判断四边形的框架是不是菱形， 故方法③不可行， 故选：A． 【点评】此题重点考查菱形的判定定理、矩形的判定定理等知识，正确理解菱形的判定定理是解题的关键． 【题型三：菱形的判定与性质】 【例题3】如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE＝AF，∠AEB＝∠AFD＝90°，求出四边形ABCD是平行四边形，证出△AEB≌△AFD，推出AB＝AD，求出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得出AB＝BC，解直角三角形求出AB，根据菱形的面积公式求出即可． 【解答】解： 过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， 则AE＝AF，∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE＝∠ADF＝60°， 在△AEB和△AFD中 ∴△AEB≌△AFD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， 在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE，∠ABE＝60°， ∴BE1，AB2， ∴BC＝AB＝2， ∴重叠部分的面积是BC×AE＝2， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质和判定，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能求出四边形ABCD是菱形是解此题的关键，难度适中． 【变式3-1】如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，AB＝6，则四边形ABCD的周长为 　24　． 【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，可得四边形ABCD是菱形，进而可得结果． 【解答】解：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分， ∴四边形ABCD是菱形， 则四边形ABCD的周长为4AB＝4×6＝24． 故答案为：24． 【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．注意证得四边形ABCD是菱形是解此题的关键． 【变式3-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连结CE． （1）证明：四边形ADCE是菱形； （2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积． 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得ADBC，然后再证明AD＝DC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论； （3）根据菱形的性质可得S△ADC＝S△AEC，根据D是BC的中点，可得S△ADC＝S△ABD，所以菱形ADCE的面积＝三角形ABC的面积，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，且D是BC中点， ∴ADBC，BD＝CDBC， ∵AE＝BD， ∴AE＝DC， ∵AE∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AD＝DC， ∴平行四边形ADCE是菱形； （2）解：∵平行四边形ADCE是菱形， ∴S△ADC＝S△AEC， ∵D是BC的中点， ∴S△ADC＝S△ABD， ∴菱形ADCE的面积＝三角形ABC的面积AC•AB6×8＝24． 【点评】此题主要考查了菱形、平行四边形的判定，以及直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 【变式3-3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积． 【分析】（1）证四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED，再证∠AED＝∠ADE，则AD＝AE，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，再求出AC＝16，则OA＝OC＝8，然后由勾股定理得OD＝6，则DE＝2OD＝12，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE， ∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∴∠AED＝∠ADE， ∴AD＝AE， ∴平行四边形AECD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形AECD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE， ∵△ACD的周长为36， ∴AC＝36﹣AD﹣CD＝36﹣10﹣10＝16， ∴OA＝OC＝8， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD6， ∴DE＝2OD＝12， ∴菱形AECD的面积AC•DE16×12＝96． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． ( 课后巩固 ) 一．选择题（共3小题） 1．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3） 【分析】首先连接AB交OC于点D，由四边形OACB是菱形，可得AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3，易得点B的坐标是（3，﹣1）． 【解答】解：连接AB交OC于点D， ∵四边形OACB是菱形， ∴AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3， ∴点B的坐标是（3，﹣1）． 故选：B． 【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直．解此题注意数形结合思想的应用． 2．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（　　） A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 【分析】由菱形的判定可直接求解． 【解答】解：当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，掌握菱形的判定是解题的关键． 3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【分析】根据DE∥AC、DF∥AB即可得出四边形AEDF为平行四边形，再根据AD平分∠BAC即可得出∠FAD＝∠FDA，即FA＝FD，从而得出平行四边形AEDF为菱形，根据菱形的性质结合AF＝6即可求出四边形AEDF的周长． 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA． ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA， ∴FA＝FD， ∴平行四边形AEDF为菱形． ∵AF＝6， ∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24． 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，解题的关键是证出四边形AEDF是菱形．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟记菱形的判定与性质是关键． 二．填空题（共3小题） 4．菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形ABCD的面积为　24cm2　；周长为　20cm　． 【分析】菱形的面积等于对角线积的一半；菱形的对角线互相垂直且平分，构建直角三角形后，用勾股定理求． 【解答】解：根据题意得：菱形的面积为6×8＝24（cm2）； 菱形的周长为44×5＝20（cm）． 故答案为24cm2；20cm． 【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键要明确：菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的面积等于对角线积的一半，菱形中常常根据对角线的性质构造直角三角形，用勾股定理求线段的长． 5．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC，若△ADB是边长为3的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，则PM+PN的最小值为 　　． 【分析】根据四边形ABCD为平行四边形，得到AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，结合BE⊥DC，得到∠EBA＝90°，根据△ADB是边长为3的等边三角形，得到AD＝DB＝AB，∠A＝60°，得到四边形ABCD是菱形，结合DE＝AD得到AD＝DB＝AB＝ED＝BC，得到四边形BCED是菱形，作点M关于直线BE得对称点Q，则Q一定在BD上，根据垂线段最短，过点Q作QG⊥EC于点G，交BE于点R，当P与R重合，点N与点G重合时，PM+PN取得最小值，即菱形BCED的高，过点C作CF⊥BD于点F，计算CF即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC， ∵BE⊥DC， ∴∠EBA＝90°， ∵△ADB是边长为3的等边三角形， ∴AD＝DB＝AB＝3，∠A＝60°， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DB＝AB＝BC＝3，∠BCD＝60°， ∴△CDB是边长为3的等边三角形， ∵DE＝AD， ∴AD＝DB＝AB＝ED＝BC， ∴四边形BCED是菱形， 作点M关于直线BE得对称点Q，则Q一定在BD上，根据垂线段最短，过点Q作QG⊥EC于点G，交BE于点R，当P与R重合，点N与点G重合时，PM+PN取得最小值，即菱形BCED的高， 过点C作CF⊥BD于点F， ∴， ∴， 故PM+PN的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，线段和最小，垂线段最短，正确构造最短线段是解题的关键． 6．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为　　． 【分析】由题意得出∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，证四边形BGDH是菱形，得出BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，即可得出答案． 【解答】解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF， ∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11， ∴四边形BGDH是平行四边形， ∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE， ∴BG＝BH， ∴四边形BGDH是菱形， ∴BH＝DH＝DG＝BG， 设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x， 在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴BH， ∴四边形BGDH的周长＝4BH， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形BGDH为菱形是解题的关键． 三．解答题（共4小题） 7．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小． 【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证； （2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解． 【解答】（1）证明：∵菱形ABCD， ∴AB＝CD，AB∥CD， 又∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BD＝EC； （2）解：∵平行四边形BECD， ∴BD∥CE， ∴∠ABO＝∠E＝50°， 又∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键． 8．如图，△ABC是等边三角形，∠DCE＝60°，CD＝CE，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：四边形ABCF是菱形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠ACB＝60°，根据平行线的性质得到∠ACF＝∠BAC＝60°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论， （2）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，∠BAC＝∠B＝60°，根据全等三角形的性质得到∠CAE＝∠B＝60°，根据平行线的判定定理得到BC∥AF，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∵CF∥AB， ∴∠ACF＝∠BAC＝60°， ∵∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠BAC＝∠B＝60°， ∵△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠B＝60°， ∴∠B+∠BAF＝60°+60°+60°＝180°， ∴BC∥AF， ∵AB∥CF， ∴四边形ABCF是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCF是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，切线三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 9．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AE＝6，BF＝8，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出答案； （2）作FG⊥BC于点G，根据S菱形ABEFAE•BF＝BE•FG，先求出FG，再根据S平行四边形ABCD＝BC•FG，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， 同理可得AB＝AF， ∴AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF． ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：作FG⊥BC于G， ∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8， ∴AE⊥BF，OEAE＝3，OBBF＝4， ∴BE5， ∵S菱形ABEFAE•BF＝BE•FG， ∴即， 解得FG， ∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+EC）•GF＝（5+2）． 【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，利用面积法求出高FG是解题的关键． 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【分析】（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60﹣4t＝2t，解方程即可解决问题； （2）分三种情形讨论即可． 【解答】（1）证明：能． 理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t， ∴DF＝2t， 又∵AE＝2t， ∴AE＝DF， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF， 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， 当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形， 即60﹣4t＝2t，解得t＝10． ∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形． （2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形， ∴EF∥AD， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠AED＝30°， ∴ADAE＝t， 又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12； ②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t． ③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在． 综上所述，当t或12秒时，△DEF为直角三角形． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$终日不倦者，其唯学焉！ 【寒假加油站】中心对称图形 9.4.2菱形 【苏科版】 ( 知识梳理 ) 知识点1：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 细节剖析 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点2：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 细节剖析 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点3：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 细节剖析 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. ( 学以致用 ) 【题型一：菱形的性质】 【例题1】在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．70° B．40° C．75° D．30° 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 （　　） A． B．（3，0） C．（﹣6，0） D．（6，0） 【变式1-2】如图，四边形ABCD是菱形，AB＝5，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　） A． B． C．5 D．4 【变式1-3】如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（　　） A．48 B．24 C．12 D．6 【题型二：菱形的判定】 【例题2】在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠A＝∠B D．AC⊥BD 【变式2-1】如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　） A．AC＝AD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AC＝BD 【变式2-2】如图，已知▱ABCD，下列不能判断▱ABCD是菱形的条件是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．BD平分∠ABC 【变式2-3】判断四边形的框架（如图）是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等．其中方法可行的是（　　） A．① B．② C．①③ D．②③ 【题型三：菱形的判定与性质】 【例题3】如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【变式3-1】如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，AB＝6，则四边形ABCD的周长为 　 　． 【变式3-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连结CE． （1）证明：四边形ADCE是菱形； （2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积． 【变式3-3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积． ( 课后巩固 ) 一．选择题（共3小题） 1．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3） 2．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（　　） A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 二．填空题（共3小题） 4．菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形ABCD的面积为　 　；周长为　 　． 5．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC，若△ADB是边长为3的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，则PM+PN的最小值为 　 　． 6．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为　 　． 三．解答题（共4小题） 7．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小． 8．如图，△ABC是等边三角形，∠DCE＝60°，CD＝CE，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：四边形ABCF是菱形． 9．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AE＝6，BF＝8，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积． 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$