9.4.1矩形寒假预习讲义-2024-2025学年苏科版数学八年级下册

终日不倦者，其唯学焉！ 【寒假加油站】中心对称图形 9.4.1矩形 【苏科版】 ( 知识梳理 ) 知识点1：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 细节剖析 矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点2：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 细节剖析 （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点3：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 细节剖析 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点4：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 细节剖析 （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. ( 学以致用 ) 【题型一：矩形的性质】 【例题1】如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A．3 B． C． D．4 【分析】先求得OB的长度，然后根据矩形的对角线相等求解即可． 【解答】解：连接OB，AC， ∵点B的坐标是（1，3）， ∴， ∵四边形OABC是矩形， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 【变式1-1】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C． D．5 【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，结合题意证明△AOB是等边三角形即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且BD＝8， ∴， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形，OA＝AB＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键． 【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证△AOB是等边三角形，可得∠BAC＝60°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∵AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴AB＝AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴BCAB＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式1-3】在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AB＝BC B．CD＝AB C．∠BAD＝∠BCD D．OB＝OD 【分析】由矩形的性质得CD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，OB＝OD，但AB与BC不一定相等，可判断A符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O， ∴CD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，OB＝OD，但AB与BC不一定相等， ∴A符合题意，而B、C、D不符合题意， 故选：A． 【点评】此题重点考查矩形的定义和性质，正确理解和应用矩形的性质是解题的关键． 【题型二：矩形的判定】 【例题2】依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意； B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D、∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝5， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【变式2-1】如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC 【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠BDC＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意； B、∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意； D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形． 【变式2-2】下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等 【分析】根据矩形的判定即可得到结论． 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形； C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形； D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形； 故选：C． 【点评】本题主要考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件． 【变式2-3】在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列一个条件，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A．AB＝BC B．∠ABC＝∠ADC C．AC＝BD D．AC⊥BD 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、由AB＝BC能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意； B、由∠ABC＝∠ADC不能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； C、由AC＝BD能判定▱ABCD为菱形，故此选项符合题意； D、由AC⊥BD，能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． 【题型三：矩形的判定与性质】 【例题3】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OBA的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【分析】根据矩形的判定得到四边形ABCD是矩形，由矩形的性质求出∠DAB，代入∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝∠OBA，求出数据即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°， ∵∠OAD＝55°， ∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°， ∴∠OBA＝∠OAB＝35°． 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出∠DAB的度数是解此题的关键． 【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　） A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2 【分析】AMEFAP，所以当AP最小时，AM最小，根据垂线段最短解答． 【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形， ∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P， ∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值， 此时AMAP，由勾股定理知BC5， ∵S△ABCAB•ACBC•AP， ∴AP， ∴AMAP1.2， 故选：D． 【点评】本题考查矩形的性质，关键是利用了矩形的性质、勾股定理、垂线段最短求解． 【变式3-2】如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，求出AD＝CE，AD∥CE，AE＝DC，根据矩形的判定得出即可； （2）根据矩形的性质得出OAAE，OCCD，AE＝CD，求出OA＝OC，求出△AOC是等边三角形，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC， ∵CE＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AB＝DC，AE＝AB， ∴AE＝DC， ∴四边形ACED是矩形； （2）∵四边形ACED是矩形， ∴OAAE，OCCD，AE＝CD， ∴OA＝OC， ∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝AC＝4， ∴CD＝8． 【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【变式3-3】如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE＝OB，DE⊥ON于E，AD＝AO，DC⊥OM于C． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若DE＝3，OE＝9，求AD的长． 【分析】（1）证明Rt△ABO≌Rt△DEA，然后根据矩形的判定解答即可； （2）利用全等得到AB＝DE＝3，设AD＝x，则OA＝x，AE＝OE﹣OA＝9﹣x．利用勾股定理列式解答即可． 【解答】（1）证明：∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E， ∴∠ABO＝∠DEA＝90°． 在Rt△ABO与Rt△DEA中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△DEA（HL） ∴∠AOB＝∠DAE． ∴AD∥BC． 又∵AB⊥OM，DC⊥OM， ∴AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA， ∴AB＝DE＝3， 设AD＝x，则OA＝x，AE＝OE﹣OA＝9﹣x． 在Rt△DEA中，由AE2+DE2＝AD2得：（9﹣x）2+32＝x2， 解得x＝5． ∴AD＝5．即AD的长为5． 【点评】此题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到Rt△ABO≌Rt△DEA． 【题型四：直角三角形斜边上的中线】 【例题4】如图所示，在四边形中，，于点，点是的中点，连接，，则与的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，点是的中点， ， ， ， ， ． 故选：． 【变式4-1】如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为　　 A． B． C． D． 【解答】解：在中，点是的中点， ， 故选：． 【变式4-2】如图，在中，，，垂足为，是的中点．若，则的长为　 　． 【解答】解：在中，，垂足为， 是直角三角形； 是的中点． （直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）， 又，， ， 故答案为：6． 【变式4-3】如图，在四边形中，，点，分别是，的中点，连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； 【解答】解：（1）． 理由：连接，． ，是的中点， ，， ， 又是的中点， ． ( 课后巩固 ) 一．选择题（共3小题） 1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解． 【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO4， 即△OAB为等腰三角形， 又∠AOB＝60°， ∴△OAB为等边三角形． 故AB＝BO＝4， ∴DC＝AB＝4． 故选：B． 【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，得出△OAB为等边三角形是解题关键． 2．要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　） A．测量两组对边是否相等 B．测量对角线是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项A不符合题意； B、测量对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意； C、测量对角线是否互相平分，可以判定为平行四边形，故选项C不符合题意； D、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键． 3．如图．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4 【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8， ∴， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，， ∴， ∴MN的最小值为4.8， 故选：A． 【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二．填空题（共3小题） 4．如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝4cm，AB＝3cm，将纸片沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G，则AG的长为 　　． 【分析】由矩形的性质和勾股定理可求BD的长，BG的长，即可求AG的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵AD＝4cm，AB＝3cm， ∴BD5（cm）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CB， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵将纸片沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置， ∴∠CBD＝∠GBD， ∴∠BDG＝∠DBG， ∴BG＝DG， ∵BG2＝AB2+AG2， ∴BG2＝9+（4﹣BG）2， ∴BG， ∴DG＝BG， ∴AGcm． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列条件①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB⊥BC，④∠ABD＝∠CBD，⑤∠ODC＝∠OCD中能判定四边形ABCD是矩形的是 　①③⑤　． 【分析】根据给定的条件加上平行四边形条件，对每个选项进行分析证明，从而可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故①符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故②不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形，故③符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形，故④不符合题意； ∵∠ODC＝∠OCD， ∴OD＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故⑤符合题意； 故答案为：①③⑤． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形的判定，熟记矩形的判定方法是解本题的关键． 6．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　4　s后，四边形ABPQ成为矩形． 【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案． 【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得 3x＝20﹣2x． 解得x＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 三．解答题（共4小题） 7．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证： （1）△ABE≌△DCE； （2）∠EAD＝∠EDA． 【分析】（1）根据矩形的性质得出AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，再根据中点的定义得出BE＝CE，即可根据SAS求证△ABE≌△DCE； （2）根据全等的性质得出AE＝DE，根据等边对等角即可求证． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS） （2）证明：∵△ABE≌△DCE， ∴AE＝DE， ∴∠EAD＝∠EDA． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F． （1）求证：DE＝BF； （2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠ADB＝∠CBD，由角平分线的定义得出∠EDB＝∠DBF，则DE∥BF，可证出结论； （2）由等腰三角形的性质得出DE⊥AB，则可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD， ∴∠EDB∠ADB，∠DBF∠CBD， ∴∠EDB＝∠DBF， ∴DE∥BF， 又∵AB∥CD， ∴四边形DEBF是平行四边形． ∴DE＝BF． （2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB， ∴DE⊥AB， 又∵四边形DEBF是平行四边形， ∴四边形DEBF是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）DE⊥AC垂足为点E，交BC于点F，若∠ADF：∠FDC＝2：1，则∠BDF的度数是多少？ 【分析】（1）证四边形ABCD是平行四边形，得∠ABC＝∠ADC，再证∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论； （2）证∠FDC＝30°，则∠DCO＝60°，再由矩形的性质得OC＝OD，则∠ODC＝∠DCO＝60°，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：由（1）得：∠ADC＝90°，四边形ABCD是矩形， ∵∠ADF：∠FDC＝2：1，AC＝BD， ∴∠FDC＝30°， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°， ∵AO＝CO，BO＝DO， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠DCO＝60°， ∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）取AB中点F，作GF⊥AB，交EB于点G，若AD＝8，BD＝4，求EG的长． 【分析】（1）先由已知条件证得四边形AEBD是平行四边形，再根据等腰三角形的性质证得∠ADB＝90°，即可得到四边形AEBD是矩形； （2）连接AG，由线段垂直平分线的性质得到GA＝GB，设EG＝x，则GA＝8﹣x，在Rt△AEG中，根据勾股定理求出x，即可得到EG． 【解答】（1）证明：AE∥BC，AE＝BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形AEBD是矩形； （2）解：连接AG， ∵F是AB的中点，GF⊥AB， ∴GA＝GB， ∵四边形AEBD是矩形，AD＝8，BD＝4， ∴EB＝AD＝8，EA＝BD＝4， 设EG＝x，则GB＝GA＝8﹣x， ∵四边形AEBD是矩形， ∴∠E＝90°， 在Rt△AEG中， ∵EA2+EG2＝AG2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3， 即EG＝3． 【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造出Rt△AEG是解决问题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$终日不倦者，其唯学焉！ 【寒假加油站】中心对称图形 9.4.1矩形 【苏科版】 ( 知识梳理 ) 知识点1：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 细节剖析 矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点2：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 细节剖析 （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点3：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 细节剖析 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点4：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 细节剖析 （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. ( 学以致用 ) 【题型一：矩形的性质】 【例题1】如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A．3 B． C． D．4 【变式1-1】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C． D．5 【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【变式1-3】在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AB＝BC B．CD＝AB C．∠BAD＝∠BCD D．OB＝OD 【题型二：矩形的判定】 【例题2】依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC 【变式2-2】下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等 【变式2-3】在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列一个条件，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A．AB＝BC B．∠ABC＝∠ADC C．AC＝BD D．AC⊥BD 【题型三：矩形的判定与性质】 【例题3】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OBA的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　） A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2 【变式3-2】如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 【变式3-3】如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE＝OB，DE⊥ON于E，AD＝AO，DC⊥OM于C． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若DE＝3，OE＝9，求AD的长． 【题型四：直角三角形斜边上的中线】 【例题4】如图所示，在四边形中，，于点，点是的中点，连接，，则与的大小关系是　　 A． B． C． D． 【变式4-1】如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为　　 A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，，，垂足为，是的中点．若，则的长为　 　． 【变式4-3】如图，在四边形中，，点，分别是，的中点，连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； ( 课后巩固 ) 一．选择题（共3小题） 1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 2．要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　） A．测量两组对边是否相等 B．测量对角线是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 3．如图．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4 二．填空题（共3小题） 4．如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝4cm，AB＝3cm，将纸片沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G，则AG的长为 　 　． 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列条件①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB⊥BC，④∠ABD＝∠CBD，⑤∠ODC＝∠OCD中能判定四边形ABCD是矩形的是 　 　． 6．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　s后，四边形ABPQ成为矩形． 三．解答题（共4小题） 7．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证： （1）△ABE≌△DCE； （2）∠EAD＝∠EDA． 8．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F． （1）求证：DE＝BF； （2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形． 9．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）DE⊥AC垂足为点E，交BC于点F，若∠ADF：∠FDC＝2：1，则∠BDF的度数是多少？ 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）取AB中点F，作GF⊥AB，交EB于点G，若AD＝8，BD＝4，求EG的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$