9.1图形的旋转寒假预习讲义-2024-2025学年苏科版数学八年级下册

终日不倦者，其唯学焉！ 【寒假加油站】中心对称图形 9.1图形的旋转 【苏科版】 ( 知识梳理 ) 知识点1：旋转的概念 将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角. 细节剖析 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度； 图形的旋转不改变图形的形状、大小. 知识点2：旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得到的图形中： (1)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.　 细节剖析 图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 知识点3：旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 细节剖析　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点 ( 学以致用 ) 【题型一：生活中的旋转现象】 【例题1】将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】下列运动属于数学上的旋转的有（　　） A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车 C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 【变式1-3】在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（　　） A．先逆时针旋转90°，再向左平移 B．先顺时针旋转90°，再向左平移 C．先逆时针旋转90°，再向右平移 D．先顺时针旋转90°，再向右平移 【题型二：旋转的性质】 【例题2】如图，等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．75° 【变式2-1】在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【变式2-2】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【变式2-3】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝5，AC＝4，BC＝2，则BE的长为（　　） A．5 B．4 C．2 D．3 【题型三：旋转对称图形】 【例题3】等边三角形绕中心旋转与自身重合，至少需要旋转（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【变式3-1】如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　 　度． 【变式3-2】如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针方向旋转的度数至少为　 　°． 【变式3-3】镇江市一座底蕴深厚、人文荟萃的历史文化古城，如图是镇江的一个古建筑的装饰物（里面是一个个小等边三角形），该图形绕旋转中心（点O）至少旋转 　 　度后可以和自身完全重合． 【题型四：作图-旋转变换】 【例题4】如图所示，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣2）、C（﹣3，﹣1），请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题： （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1． （2）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． （3）若△A2B2C2可看作是由△AB1C1旋转得来，则旋转中心坐标为 　 　． 【变式4-1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，2），C（﹣3，4）． （1）画出△ABC向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点对称后得到的△A2B2C2； （3）已知△DEF的三个顶点的坐标分别为D（1，0），E（2，﹣3），F（4，﹣2），△DEF可以由△ABC变换得到，试写出一种具体的变换过程． 【变式4-2】如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（4，﹣1）． （1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）以点C为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°得到的△A2B2C； （3）若△A2B2C绕某点顺时针旋转一定角度得到△A1B1C1，请确定旋转中心D的坐标以及旋转角度． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△AA1C1是由△ABC经过顺时针旋转变换得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是 　 　，旋转角的大小是 　 　． （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出△A1B1C1按顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标． ( 课后巩固 ) 一．选择题（共4小题） 1．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4．将△AOB绕点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则B1D的长为（　　） A． B．3 C．5 D． 2．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转43°得△A'CB'，若AC⊥A'B'，则∠BAC等于（　　） A．43° B．45° C．47° D．50° 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'刚好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（　　） A．16° B．15° C．14° D．13° 4．如图，△DBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°得到的．若AB⊥DE，则∠A的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．无法确定 二．填空题（共4小题） 5．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，则∠BAB′等于　 　． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，若P为边AB上一动点，旋转后点P的对应点为点P′，则线段PP′长度的取值范围是 　 　． 7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转100°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝35°，∠ADC的度数为 　 　． 8．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是　 　． 三．解答题（共2小题） 9．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，求∠C的度数． 10．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$终日不倦者，其唯学焉！ 【寒假加油站】中心对称图形 9.1图形的旋转 【苏科版】 ( 知识梳理 ) 知识点1：旋转的概念 将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角. 细节剖析 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度； 图形的旋转不改变图形的形状、大小. 知识点2：旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得到的图形中： (1)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.　 细节剖析 图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 知识点3：旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 细节剖析　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点 ( 学以致用 ) 【题型一：生活中的旋转现象】 【例题1】将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据旋转的意义，找出图中阴影三角形3个关键处按顺时针方向旋转60°后的形状即可选择答案． 【解答】解：将图绕中心按顺时针方向旋转60°后得到的图形是． 故选：A． 【点评】考查了生活中的旋转现象，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错． 【变式1-1】下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：B． 【点评】本题考查了生活中的旋转现象，是基础题，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键． 【变式1-2】下列运动属于数学上的旋转的有（　　） A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车 C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 【分析】根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案． 【解答】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项正确； B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项错误； C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项错误； D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项错误； 故选：A． 【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确把握定义是解题关键． 【变式1-3】在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（　　） A．先逆时针旋转90°，再向左平移 B．先顺时针旋转90°，再向左平移 C．先逆时针旋转90°，再向右平移 D．先顺时针旋转90°，再向右平移 【分析】根据旋转和平移的性质即可解答． 【解答】解：屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移． 故选：A． 【点评】本题结合游戏，考查了旋转和平移的性质： （1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． （2）平移的性质：①对应点之间的连线平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等；②平移方向为前后对应点射线的方向，距离为对应点之间线段的长度；③平移前后图形的形状与大小都没有发生变化，即为全等形． 【题型二：旋转的性质】 【例题2】如图，等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．75° 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得∠ABC＝∠ACB＝30°，根据旋转的性质，得BC＝CE，∠DCE＝∠DEC＝∠ABC＝∠ACB＝30°，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得∠BED＝∠BEC﹣∠CED． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣120°）60°＝30°， ∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△CDE， ∴BC＝CE，∠DCE＝∠DEC＝∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴， ∴∠BED＝∠BEC﹣∠CED＝75°﹣30°＝45°， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-1】在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【分析】连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交点M为旋转中心． 【解答】解： 连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M． 故选：A． 【点评】本题主要考查了旋转的性质以及学生的理解能力和观察图形的能力．注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上． 【变式2-2】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝80°，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE， ∴AB＝AD，∠BAD＝80°， ∴∠B＝∠ADB（180°﹣∠BAD）＝50°， 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 【变式2-3】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝5，AC＝4，BC＝2，则BE的长为（　　） A．5 B．4 C．2 D．3 【分析】根据旋转的性质可得AB＝AE，∠BAE＝60°可得△ABE是等边三角形．可得BE的长 【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED， ∴∠BAE＝60°，BA＝AE， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝5， 故选：A． 【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，本题关键是熟练掌握旋转图形的性质． 【题型三：旋转对称图形】 【例题3】等边三角形绕中心旋转与自身重合，至少需要旋转（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【分析】确定图形绕自己的中心最少旋转多少度可与自身重合，就是观察图形，可以被从中心发出的射线平分成几部分，则旋转的最小角度即可求解． 【解答】解：等边三角形绕中心旋转与自身重合，至少需要旋转360÷3＝120°． 故选：A． 【点评】本题考查了旋转对称图形的概念，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式3-1】如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　72　度． 【分析】观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成， 故最小旋转角为． 故答案为：72． 【点评】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 【变式3-2】如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针方向旋转的度数至少为　60　°． 【分析】观察图形，最外边为正六边形，所以，旋转360°的的整数倍即可与原图形重合，然后求解即可． 【解答】解：∵图形为正六边形， ∴360°÷6＝60°， ∴绕中心逆时针方向旋转的60°的整数倍即可与原图形重合， ∴最小旋转角为60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【变式3-3】镇江市一座底蕴深厚、人文荟萃的历史文化古城，如图是镇江的一个古建筑的装饰物（里面是一个个小等边三角形），该图形绕旋转中心（点O）至少旋转 　60　度后可以和自身完全重合． 【分析】根据旋转的性质可进行求解． 【解答】解：由题意可知该六边形是正六边形， 则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°， 所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合． 故答案为：60． 【点评】本题主要考查旋转的性质及正多边形，熟练掌握旋转的性质及正多边形是解题的关键． 【题型四：作图-旋转变换】 【例题4】如图所示，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣2）、C（﹣3，﹣1），请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题： （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1． （2）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． （3）若△A2B2C2可看作是由△AB1C1旋转得来，则旋转中心坐标为 　（0，﹣1）　． 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）连接AA2，B1B2，C1C2，分别作线段AA2，B1B2，C1C2的垂直平分线，相交于点P，则点P为旋转中心，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）连接AA2，B1B2，C1C2，分别作线段AA2，B1B2，C1C2的垂直平分线，相交于点P， 则△A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得来， 由图可知，旋转中心P的坐标为（0，﹣1）． 故答案为：（0，﹣1）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【变式4-1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，2），C（﹣3，4）． （1）画出△ABC向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点对称后得到的△A2B2C2； （3）已知△DEF的三个顶点的坐标分别为D（1，0），E（2，﹣3），F（4，﹣2），△DEF可以由△ABC变换得到，试写出一种具体的变换过程． 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律描出点A1、B1、C1，然后顺次连接即可； （2）利用关于x轴对称的特征描出点A2、B2、C2，然后顺次连接即可； （3）把△ABC向右平移1个单位，再关于直线y＝x对称可以得到△DEF． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1就是所画的三角形； （2）如图2，△A2B2C2就是所画的三角形； （3）如图3， 由图可知，把△ABC向右平移1个单位，再关于直线y＝x对称可以得到△DEF． 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，几何变换的类型，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质以及平移的性质． 【变式4-2】如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（4，﹣1）． （1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）以点C为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°得到的△A2B2C； （3）若△A2B2C绕某点顺时针旋转一定角度得到△A1B1C1，请确定旋转中心D的坐标以及旋转角度． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）连接A1A2，B1B2，C1C，分别作线段A1A2，B1B2，C1C的垂直平分线，相交于点D，则△A2B2C绕点D顺时针旋转90°得到△A1B1C1，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C即为所求． （3）连接A1A2，B1B2，C1C，分别作线段A1A2，B1B2，C1C的垂直平分线，相交于点D， 则△A2B2C绕点D顺时针旋转90°得到△A1B1C1， ∴点D的坐标为（1，4），旋转角度为90°． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△AA1C1是由△ABC经过顺时针旋转变换得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是 　O（0，0）　，旋转角的大小是 　90°　． （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出△A1B1C1按顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标． 【分析】（1）对应点连线段的垂直平分线的交点，即为旋转中心． （2）分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可． 【解答】解：（1）观察图象可知，旋转中心的坐标是O（0，0），旋转角为90°． 故答案为：O（0，0），90°． （2）如图，△A2B2C2即为所求作．A2（1，﹣3），B2（3，1），C2（3，﹣3）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． ( 课后巩固 ) 一．选择题（共4小题） 1．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4．将△AOB绕点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则B1D的长为（　　） A． B．3 C．5 D． 【分析】由勾股定理可得AB＝5，由直角三角形的性质可求OD的长，即可求解． 【解答】解：在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4， ∴AB5， ∵将△AOB绕点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处， ∴OB1＝OB＝4， ∵点D是AB的中点，∠AOB＝90°， ∴ODAB， ∴B1D＝OB1﹣OD， 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 2．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转43°得△A'CB'，若AC⊥A'B'，则∠BAC等于（　　） A．43° B．45° C．47° D．50° 【分析】先利用旋转的性质得到∠ACA′＝43°，∠A＝∠A′，则根据AC⊥A′B′，利用互余可计算出∠A′＝43°，从而得到∠BAC的度数． 【解答】解：∵△ABC绕点C顺时针方向旋转43°得到△A′CB′， ∴∠ACA′＝43°，∠A＝∠A′， ∵AC⊥A′B′， ∴∠A′＝90°﹣43°＝47°， ∴∠BAC＝47°． 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'刚好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（　　） A．16° B．15° C．14° D．13° 【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解． 【解答】解：∵AB'＝CB'， ∴∠C＝∠CAB'， ∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C， ∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'， ∴∠C＝∠C'，AB＝AB'， ∴∠B＝∠AB'B＝2∠C， ∵∠B+∠C+∠CAB＝180°， ∴3∠C＝180°﹣138°， ∴∠C＝14°， ∴∠C'＝∠C＝14°， 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键． 4．如图，△DBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°得到的．若AB⊥DE，则∠A的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．无法确定 【分析】先由旋转得△DBE≌△ABC，∠DBA＝∠CBE＝40°，则∠A＝∠D，因为AB⊥DE，所以∠DBA+∠D＝90°，代入计算，即可作答． 【解答】解：∵△DBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°得到的．AB⊥DE， 由旋转的性质得：△DBE≌△ABC， ∴∠DBA＝∠CBE＝40°， 由全等的性质可知，∠A＝∠D， ∴∠DBA+∠D＝90°， ∴∠A＝∠D＝90°﹣40°＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 5．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，则∠BAB′等于　40°　． 【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′． 【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°， ∴∠C′CA＝∠CAB＝70°， 又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心， ∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形， ∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°． 故答案为：40° 【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，若P为边AB上一动点，旋转后点P的对应点为点P′，则线段PP′长度的取值范围是 　PP'≤4　． 【分析】过点C作CH⊥AB于H，由勾股定理可求AB的长，由三角形面积公式可求CH的长，由旋转的性质可得PC＝P'C，∠PCP'＝90°，可得PP'CP，则当点P与点B重合时，CP有最大值为4，当点P与点H重合时，CP有最小值为，即可求解． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵S△ABC3×45×CH， ∴CH， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C， ∴PC＝P'C，∠PCP'＝90°， ∴PP'CP， ∵P为边AB上一动点， ∴当点P与点B重合时，CP有最大值为4，当点P与点H重合时，CP有最小值为， ∴PP'≤4， 故答案为：PP'≤4． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转100°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝35°，∠ADC的度数为 　75°　． 【分析】根据旋转的性质可得AC＝AE，∠ACE＝100°，∠ACB＝∠ECD＝35°，即可求出∠E，再根据外角的性质即可求出∠ADC． 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转100°得到△EDC． ∴AC＝AE，∠ACE＝100°，∠ACB＝∠ECD＝35°， ∴∠CAE＝∠E＝40°， ∴∠ADC＝∠E+∠ECD＝40°+35°＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 8．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是　57°　． 【分析】已知△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，可得△COD≌△AOB，旋转角为38°，由点C恰好在AB上，可得△AOC为等腰三角形，可结合三角形的内角和定理求∠B的度数． 【解答】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB， ∴CO＝AO， 由旋转角为38°， 可得∠AOC＝∠BOD＝38°， ∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝71°， ∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD＝14°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝52°， 在△AOB中，由内角和定理得∠B＝180°﹣∠OAC﹣∠AOB＝180°﹣71°﹣52°＝57°． 答：∠B的度数为57°． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应角分别相等，同时要充分运用内角和定理求角． 三．解答题（共2小题） 9．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，求∠C的度数． 【分析】先由旋转的性质得到OA＝OD，∠AOD＝∠BOC＝40°，∠C＝∠B，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠A＝70°，进一步求出∠AOB＝65°，则由三角形内角和定理可得∠C＝∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝45°． 【解答】解：由旋转的性质可得OA＝OD，∠AOD＝∠BOC＝40°，∠C＝∠B， ∴， ∵∠AOC＝105°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝65°， ∴∠C＝∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝45°． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 10．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长． 【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案； ②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案． 【解答】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵DC+CE＝DE， ∴AD+BE＝DE； （2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE＝5﹣2＝3． 【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$