第04讲 平面向量的应用（5大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第04讲 平面向量的应用 目录 题型归纳 1 题型01 用向量证明线段垂直 4 题型02 用向量解决夹角问题 6 题型03 向量在几何中的其他应用 9 题型04 向量在物理中的应用举例 12 题型05 向量与几何最值 15 题型06 三角形的心的向量表示 19 题型07 正弦定理、余弦定理 22 分层练习 27 夯实基础 27 能力提升 35 知识点01平面向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量解决平面几何的两种经典方法及步骤： 线性运算法 （1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； （2）利用基底表示相关向量； （3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； （4）把计算结果“翻译”为几何问题。 坐标运算法 （1）建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； （2）把相关向量坐标化； （3）用向量的坐标运算找到相应关系； （4）利用向量关系回答几何问题。 3、平面几何中证明问题的具体转化方法 （1）证明线段，可转化为证明； （2）证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； （3）证明两线段，只需证明数量积； （4）证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。 知识点02平面向量最值范围问题的常用方法 1、定义法 第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； 第2步：运用基本不等式求其最值问题； 第3步：得出结论。 2、坐标法 第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第2步：将平面向量的运算坐标化； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。 3、基底法 第1步：利用基底转化向量； 第2步：根据向量运算化简目标； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法 第1步：结合条件进行向量关系推导； 第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹； 第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。 知识点03极化恒等式 1、极化恒等式： （1）平行四边形模式：如下图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （2）三角形模式：如上图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、极化恒等式的作用和使用范围 （1）极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 （2）极化恒等式的适用范围： 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；不共起点和不共终点的数量积问题 可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 3、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。 知识点04三角形的四心 1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 （1） （2） （3）若或，，则一定经过三角形的重心 （4）若或，，则一定经过三角形的重心 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 3、常用外心向量式：是的外心， （1） （2） （3）动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. （4）若，则是的外心. 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定过的垂心 （4）奔驰定理推论，. 知识点05奔驰定理及推论 1、奔驰定理：是内的一点，且，则 2、奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 题型01用向量证明线段垂直 【例1】（21-22高一下·山西运城·期中）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 【答案】C 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解. 【详解】∵，∴AC⊥BD， 所以四边形ABCD面积为：. 故选：C. 【变式1】（2022高一·全国·专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，同理证明即可求解. 【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即，点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，故是的内心. 故选：C. 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】用表示出，，然后求数量积即可证明. 【详解】证明：在等腰三角形ABC中，，， 因为D为底边BC的中点，所以， 所以， 所以，即 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）菱形是四条边都相等的四边形，用向量方法证明菱形的对角线互相垂直． 【答案】证明见解析 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】由题意利用菱形的性质，平面向量的加减法运算及数量积运算证明即可. 【详解】证明：如图，   为菱形，设其对角线与交于点， 则为的中点，， 因为，， 所以， 所以，即， 即菱形的对角线互相垂直. 题型02 用向量解决夹角问题 【例2】（21-22高一下·全国·单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案. 【详解】由题意作图如下，设，    故向量， 因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则 又因为，所以，则， 故向量与的夹角为的夹角，故为. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】用向量解决夹角问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】两向量的夹角为钝角，等价于两向量的数量积小于零且两向量不反向共线，由此可求参数的取值范围. 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以且不反向共线， 由； 由； 所以，的夹角为钝角，可得的取值范围是：. 故答案为： 【变式2】（2023高一·全国·专题练习）已知的三个顶点分别为,求的大小． 【答案】120° 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】由向量的数量积求夹角即可. 【详解】由条件可得：， 所以， 所以，所以. 【变式3】（20-21高一·江苏·课后作业）正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值. 【答案】 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，求出，利用向量关系即可求出. 【详解】以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示， 由题意知：， 故. 题型03 向量在几何中的其他应用 【例3】（2023高一·全国·课后作业）在四边形中，若，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、向量在几何中的其他应用 【分析】根据向量共线即可判断. 【详解】四边形ABCD中，若， 则，且， 所以四边形是梯形. 故选：B 【变式1】（2023高一·全国·专题练习）已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量在几何中的其他应用、向量减法的法则 【分析】由题意可得，平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，从而即可得答案. 【详解】解：因为 ， 根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上， 而向量与共线， 点的轨迹过的内心. 故选：． 【变式2】（24-25高一·上海·随堂练习）已知平行四边形中，A、B、C的坐标分别为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【知识点】向量在几何中的其他应用、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设，由题意可得，列出关于的方程组可求得答案. 【详解】设，则，， 因为四边形是平行四边形， 所以，则， 解得，，所以， 故答案为：． 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 【答案】证明见解析 【知识点】向量在几何中的其他应用、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】法一：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质可得为的重心，即与重合，即可证明；法二：由平面向量线性运算及三角形重心的性质证明即可． 【详解】方法一： 证明：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，如图所示， 因为为直径， 所以，则， 又因为点为的垂心， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为是中点，是中点， 所以，， 所以，， 所以，则， 又为的中线， 所以点是的重心，即点和点重合， 所以、、三点共线． 方法二： 由法一得，四边形为平行四边形， 所以， 所以， 因为点为的重心， 所以， 所以，即， 由，，得， 所以、、三点共线． 题型04 向量在物理中的应用举例 【例4】（2022高一·全国·专题练习）如果表示“向南走”， 表示“向北走”， 表示“向东走”， 表示“向西走”，那么下列向量中表示“向北走”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】速度、位移的合成 【分析】根据向量的加法的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量表示向北走，所以A 不符合题意； 向量表示向东走，所以B不符合题意； 向量表示向北走，所以C符合题意； 向量表示向南走，所以D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（23-24高一上·浙江金华·期末）哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（    ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】C 【知识点】力的合成 【分析】结合物理相关知识，利用三角形和向量夹角的知识即可解答. 【详解】根据力的平衡，的合力为，如图所示： 由于，且的夹角为， 则为等边三角形，则， 则与重物重力之间的夹角为. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，作用于同一质点，由移动到点，合力对质点所做的功为 . 【答案】111 【知识点】功、动量的计算 【分析】由合力对质点所做的功为：求解即可． 【详解】解：合力， ， 合力对质点所做的功为：． 故答案为：111 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知两个力（单位：）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点（单位：）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、功、动量的计算、数量积的坐标表示 【分析】（1）设，，由题意得，列出方程组求解即可； （2）由代入计算即可． 【详解】（1）由，与的夹角为，可设，则， 因为质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点， 所以，即， 即，解得， 所以． （2）与的合力对质点所做的功为： 题型05 向量与几何最值 【例5】（20-21高一上·贵州安顺·期末）中，，是中点，是线段上任意一点，且，则的最小值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】C 【知识点】向量与几何最值 【解析】根据向量求和的平行四边形法则可以得出，再利用向量的数量积的运算可以得到，因为，代入计算可求出最小值. 【详解】解：在直角三角形中，，则，因为M为BC的中点，所以.设， 所以当，即时，原式取得最小值为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍； （2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可. 【变式1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、向量与几何最值、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解即可． 【详解】等腰梯形ABCD中，，，， 故梯形的高为， 根据题意，以为坐标原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 则，，设，其中， ， 则， 则， 则当时，取得最小值27， 则的最小值． 故答案为：． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）求函数的值域. 【答案】 【知识点】向量与几何最值 【分析】设，，，则进行求解即可． 【详解】解：由题意，. 设，，， 则，. ∴. 显然，P、A、B三点能构成一个三角形，由三角形三边的关系（任意两边之差小于第三边）知. 又∵， ∴，即， 故函数的值域为. 【变式3】（21-22高一上·辽宁·期末）如图，在中，，，AD与BC相交于点M，设，. (1)试用，表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用基底表示向量、向量与几何最值 【分析】（1）利用三点共线求得. （2）先求得的等量关系式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】（1）设， ， 由于三点共线，所以. 所以. （2）依题意，， 由于过点，而，，所以， 由（1）得， 所以, 由于三点共线，所以， ， 当且仅当，时等号成立. 题型06 三角形的心的向量表示 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【知识点】三角形的心的向量表示、向量加法法则的几何应用 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 【变式1】（高一上·重庆北碚·期末）设为的外心，若，则是的（    ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 【答案】C 【知识点】三角形的心的向量表示 【分析】设的中点为，根据题意可得，由题中向量的等式化简得，即在边的高线上．同理可证出在边的高线上，故可得是三角形的垂心． 【详解】在中，为外心，可得， ∵， ∴， 设的中点为，则，， ∴，可得在边的高线上． 同理可证，在边的高线上， 故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心， 故选：C    【点睛】本题给出三角形中的向量等式，判断点是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示、向量数乘的有关计算 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得，再由重心的性质得到，从而得解. 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 【变式3】（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 【答案】(1) (2)，时，最小值为． 【知识点】三角形的心的向量表示、基本不等式“1”的妙用求最值、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由三角形重心性质可得，结合三点共线性质即可求得结果. （2）运用“1”的代换及基本不等式求解即可. 【详解】（1）如图所示， 因为G为重心，所以， 所以， 因为M，G，N三点共线，所以，即． （2）由题意可知，且， 所以 当且仅当，即时取等号， 又∵，∴，时，取得最小值为． 题型07 正弦定理、余弦定理 【例7】（23-24高一上·北京顺义·期中）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的坐标表示、余弦定理解三角形 【分析】由题得为直角三角形，建立平面直角坐标系，将问题转化为求与夹角的余弦即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理得，， 得到，又，所以为直角三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则有，又分别为中点， 所以，故， 所以， 故选：D. 【变式1】（2024高一上·江苏·专题练习）已知，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据已知条件利用正弦定理可将化简为，从而可得到，即，再结合及余弦定理可得，再利用二次函数求最值即可求解面积最大值，从而可求解. 【详解】中，因为，所以， 则，即， 又，则，即，则， 所以，所以， 所以， 当时，面积取得最大值为，故A正确. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在中，在的三边上运动，是外接圆的直径，若，，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量加法的法则、数量积的运算律、正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】设外接圆圆心为，半径为，利用平面向量的线性运算与数量积可得，再结合圆的几何性质确定其最大最小值可得结论. 【详解】设外接圆圆心为，半径为， 由余弦定理有，所以， 由正弦定理有，即， ， 设到三边，，的距离分别为，则 ，， . 所以的最小值为，最大值为， 即的最小值为，最大值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知在中，、、的长分别为a、b、c，试用向量方法证明： (1)（射影定理）； (2)（余弦定理）. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】向量在几何中的其他应用、用定义求向量的数量积、证明三角形中的恒等式或不等式、余弦定理及辨析 【分析】（1）利用平面向量余弦夹角公式得到证明； （2）两边平方得，从而得到. 【详解】（1）如图， ∵，， ∴ ， ∴. （2）在中，∵， ∴ . ∵、、的长分别为a、b、c， ∴，，， ∴. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一·全国·随堂练习）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（    ）． A．N B．5N C．10N D．N 【答案】B 【分析】作图，根据已知，在直角三角形中，求解即可得出答案. 【详解】    如图，，，，，. 在中，有， 所以，的大小为5N. 故选：B. 2．（20-21高一·江苏·课后作业）在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】利用向量的减法可得，从而可得为斜边的中线，即可求解． 【详解】解：， ，， 为斜边的中线，． 故选：B． 3．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    4．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可. 【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 二、多选题 5．（21-22高一下·江苏徐州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．在 中，若，则 B．在中，若，则 C．在中，若，则是等腰三角形或直角三角形 D．等边边长为1，若，则 【答案】ACD 【分析】对于A,B,C选项，结合正弦定理，对选项逐一判断即可，对于D选项，弄清向量夹角的定义以及向量数量积的计算即可 【详解】对于A， , ， 由正弦定理得：（为的外接圆半径），即 故A正确； 对于B， ，由正弦定理得， ， 得 ，或 ，故B错误； 对于C，，由正弦定理得， ，即 或 ，即 或 ，所以是等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，由题意 ， ，同理可得 ， ，故D正确 故选：ACD 6．（21-22高一·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则；若，则 D．在中， 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理，逐项判断，即可得出结果. 【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理得． 对于A，，正确； 对于B，由二倍角公式得， 则，即， 整理得，即， 则或，所以或，错误； 对于C，（大边对大角），正确； 对于D，，正确． 故选：ACD. 三、填空题 7．（24-25高一上·上海·单元测试）在中，，，则的面积是 . 【答案】14 【分析】先得到，进而由同角三角函数关系得到，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】，， ， 因为， 所以， 故的面积为. 故答案为：14 8．（23-24高一上·辽宁大连·期末）平面向量两两不共线，满足，且．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】 根据重心的性质可得,,即可根据余弦定理可求解长度，根据三角函数的性质即可求解. 【详解】不妨设由, 由可得是的重心， 由可得, 由重心的性质可得,, 不妨设,则， 故由余弦定理可得， , 所以 记，平方可得, 由于，所以，此时取最大值4，故的最大值为2， 因此的最大值为， 故答案为： 四、解答题 9．（22-23高一·全国·随堂练习）在中，已知，，，试判断的形状． 【答案】直角三角形 【分析】根据已知求出的坐标，进而得出，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，，， 所以有， 所以有， 所以，. 又，， 所以，为直角三角形. 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知在中，，，试证明三角形的面积. 【答案】证明见解析. 【分析】根据数量积定义和同角三角函数的平方关系化简可得. 【详解】证明：因为， 所以 . 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 【答案】所用的时间是3.1min 【分析】作出示意图，设该船航行时的速度为，水流的速度为，合速度为，由题意可得，进而求得航程最短时，所需时间. 【详解】若行驶航程最短，则航行方向与河岸垂直，如图所示， 设该船航行时的速度为，水流的速度为，合速度为， 已知，，    则， 所以. 所以行驶航程最短时，所用的时间是3.1min. 12．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）    (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 【答案】(1)位移大小为，方向为正前方 (2)相等 【分析】（1）解直角三角形求出，再根据即可得解； （2）根据向量加法得几何意义即可得解. 【详解】（1）由题意，为直角三角形， 由，， 得， 又， 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为，方向为正前方； （2）因为， 所以中场队员的位移与球的位移相等. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为（    ） A．37 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】利用物体处于平衡状态得到，同时结合力和向量的关系求出即可. 【详解】由题意可知，所以 所以 故，则力的大小为. 故选：D. 2．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案. 【详解】设的中点为，由为的外心可得，， ， 又， 所以， 又，可得， 故， 则的面积为. 故选：D. 3．（21-22高一·全国·课后作业）已知向量表示“向东航行”，向量表示“向南航行”，则表示（    ） A．向东南航行 B．向东南航行 C．向东北航行 D．向东北航行 【答案】B 【分析】如图，设，，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形法则可知，根据，可得平行四边形是正方形，从而得到答案． 【详解】如图，设，，则，，以，为邻边作平行四边形， 由平行四边形法则可知．∵，，∴平行四边形是正方形，∴方向为东南方向． ∵，∴． 故选：B． 4．（21-22高一下·甘肃白银·期中）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量数量积定义可求得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，，将表示为关于的三角函数的形式，结合三角恒等变换知识可求得最大值. 【详解】，， ； 以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，    则，，设，， 由得：，， ，其中，， ，，当时，. 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【答案】ACD 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 6．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，是边上的一点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若是的平分线，则 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积公式，判断A，根据余弦定理求，判断B，根据向量的转化，判断C，根据三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】对于选项A ：，故选项 A 错误； 对于选项B：由余弦定理，得，解得，故选项B正确； 对于选项C：因为，所以，所以，故选项C正确； 对于选项D：由等面积法，得 ， 即，解得，故选项D错误； 故选：BC 三、填空题 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知平面向量满足， ，与的夹角为，，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由题意结合向量的加减可构造适当的图形，利用正弦定理表示出，，，进而可表示出，结合三角变换即可求得答案；另解，可用极化恒等式求解, 【详解】由知， 作，，， 则，，， 所以四点共圆，设圆心为，半径为， 设，， 在中由正弦定理得， 则，，， 要使取最大值，则为锐角，所以， 则 ，（为辅助角，）， 当且仅当时取等号， 即的最大值是. 另解：极化恒等式：同方法1构图，取的中点，连接， 由极化恒等式有，， 由于，， 所以， 则， 当且仅当三点共线时，取“=”. 即的最大值是. 故答案为： 【点睛】关键点睛： 解答本题的关键在于要结合题意，构造出恰当的图形，进行结合正弦定理表示出响亮的数量积，再集合三角恒等变换，求出答案. 8．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设外接圆的圆心为，半径为，利用平面向量的线性运算与数量积可得，再结合圆的几何性质确定其最大最小值即可得结论. 【详解】如图，设外接圆的圆心为，半径为， 可得 因为为三边上的动点，可知的最大值为到三角形顶点的距离，即为半径，且的最小值为到边的距离， 过作，垂足为，则， 所以的最大值为，最小值为， 故的取值范围是. 故答案为：． 四、解答题 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【答案】（1）处受力的大小为，处受力的大小为；（2）位移，功 【分析】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则，以点为、的始点，作平行四边形，使为对角线，再由锐角三角函数计算可得； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、、，再求出其合力，则位移，所做的功为. 【详解】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则. 以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线， 则，，，则，， ∴，∴四边形为矩形. ∴，. ∴处受力的大小为，处受力的大小为. （2）如图，以物体初始位置为原点，以正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 依题意可得，，， 设合力为，所以， 则， 则， 所以位移， 所做的功为. 10．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； （2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果. 【详解】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得 11．（24-25高一下·全国·课后作业）记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)若点在边上，且，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）根据余弦定理先求，再求，或者应用向量关系平方计算即可. 【详解】（1）如图，在中，因为，，， 所以． （2）方法一   因为点在边上，且， 所以，， 又因为， 所以在中，由余弦定理得，可得． 方法二   ， ， ， ，即． 12．（22-23高一下·福建泉州·期中）记锐角的内角的对边分别为.已知，. (1)求b的值； (2)若，求. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据余弦定理解得或，再结合锐角三角形分析取舍； （2）根据向量可得，两边同时平方结合数量积求模长. 【详解】（1）在中，因为，， 由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或， 此时边为最大边，即角为最大角， 若为锐角三角形，则，解得， 所以. （2）由（1）可知：，则， 因为，则，可得， 则， 所以． 13．（24-25高一上·全国·期中）在中，角所对的边分别是，． (1)求角B的大小； (2)若，且边上的两条中线相交于点G，求的余弦值； (3)若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解， （2）根据余弦定理得,进而利用向量的夹角公式求解， （3）先证明垂心的性质，利用，即可利用向量模长公式，结合二倍角以及余弦定理求解. 【详解】（1）由可得,故， 由于,故，所以, 由于,故 （2）由余弦定理可得， 解得（负值舍去）， 因为即为向量与的夹角， 设，， 则， 因为，， 所以，， 故，， 所以， 故． （3）先证明：设的外心为（三角形外接圆的圆心），以线段、为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以，为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．若，则点为的垂心； 证明：由题意可知 则 因为为外心，所以 则，即 同理可得： 所以，点为的垂心得证， 因此由于为的垂心，为的外心， 故，其中， 设外接圆半径为，则, , 由于， 故由于，故 【点睛】关键点点睛：由于为的垂心，为的外心，根据欧拉定理可得，即可利用向量模长公式，结合二倍角以及余弦定理求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平面向量的应用 目录 题型归纳 1 题型01 用向量证明线段垂直 4 题型02 用向量解决夹角问题 6 题型03 向量在几何中的其他应用 9 题型04 向量在物理中的应用举例 12 题型05 向量与几何最值 15 题型06 三角形的心的向量表示 19 题型07 正弦定理、余弦定理 22 分层练习 27 夯实基础 27 能力提升 35 知识点01平面向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量解决平面几何的两种经典方法及步骤： 线性运算法 （1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； （2）利用基底表示相关向量； （3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； （4）把计算结果“翻译”为几何问题。 坐标运算法 （1）建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； （2）把相关向量坐标化； （3）用向量的坐标运算找到相应关系； （4）利用向量关系回答几何问题。 3、平面几何中证明问题的具体转化方法 （1）证明线段，可转化为证明； （2）证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； （3）证明两线段，只需证明数量积； （4）证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。 知识点02平面向量最值范围问题的常用方法 1、定义法 第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； 第2步：运用基本不等式求其最值问题； 第3步：得出结论。 2、坐标法 第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第2步：将平面向量的运算坐标化； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。 3、基底法 第1步：利用基底转化向量； 第2步：根据向量运算化简目标； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法 第1步：结合条件进行向量关系推导； 第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹； 第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。 知识点03极化恒等式 1、极化恒等式： （1）平行四边形模式：如下图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （2）三角形模式：如上图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、极化恒等式的作用和使用范围 （1）极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 （2）极化恒等式的适用范围： 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；不共起点和不共终点的数量积问题 可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 3、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。 知识点04三角形的四心 1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 （1） （2） （3）若或，，则一定经过三角形的重心 （4）若或，，则一定经过三角形的重心 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 3、常用外心向量式：是的外心， （1） （2） （3）动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. （4）若，则是的外心. 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定过的垂心 （4）奔驰定理推论，. 知识点05奔驰定理及推论 1、奔驰定理：是内的一点，且，则 2、奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 题型01用向量证明线段垂直 【例1】（21-22高一下·山西运城·期中）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 【变式1】（2022高一·全国·专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）菱形是四条边都相等的四边形，用向量方法证明菱形的对角线互相垂直． 题型02 用向量解决夹角问题 【例2】（21-22高一下·全国·单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．. 【变式3】（20-21高一·江苏·课后作业）正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值. 题型03 向量在几何中的其他应用 【例3】（2023高一·全国·课后作业）在四边形中，若，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【变式1】（2023高一·全国·专题练习）已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 题型04 向量在物理中的应用举例 【例4】（2022高一·全国·专题练习）如果表示“向南走”， 表示“向北走”， 表示“向东走”， 表示“向西走”，那么下列向量中表示“向北走”的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·浙江金华·期末）哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（    ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，作用于同一质点，由移动到点，合力对质点所做的功为 . 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知两个力（单位：）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点（单位：）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 题型05 向量与几何最值 【例5】（20-21高一上·贵州安顺·期末）中，，是中点，是线段上任意一点，且，则的最小值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【变式1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）求函数的值域. 【变式3】（21-22高一上·辽宁·期末）如图，在中，，，AD与BC相交于点M，设，. (1)试用，表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设，，求的最小值. 题型06 三角形的心的向量表示 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【变式1】（高一上·重庆北碚·期末）设为的外心，若，则是的（    ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【变式3】（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 题型07 正弦定理、余弦定理 【例7】（23-24高一上·北京顺义·期中）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024高一上·江苏·专题练习）已知，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在中，在的三边上运动，是外接圆的直径，若，，，则的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知在中，、、的长分别为a、b、c，试用向量方法证明： (1)（射影定理）； (2)（余弦定理）. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一·全国·随堂练习）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（    ）． A．N B．5N C．10N D．N 2．（20-21高一·江苏·课后作业）在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（    ） A．2 B．1 C． D．4 3．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 二、多选题 5．（21-22高一下·江苏徐州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．在 中，若，则 B．在中，若，则 C．在中，若，则是等腰三角形或直角三角形 D．等边边长为1，若，则 6．（21-22高一·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则；若，则 D．在中， 三、填空题 7．（24-25高一上·上海·单元测试）在中，，，则的面积是 . 8．（23-24高一上·辽宁大连·期末）平面向量两两不共线，满足，且．若，则的最大值为 ． 四、解答题 9．（22-23高一·全国·随堂练习）在中，已知，，，试判断的形状． 10． （24-25高一上·上海·课后作业）已知在中，，，试证明三角形的面积. 11． （24-25高一上·上海·课堂例题）一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 12．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）    (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为（    ） A．37 B． C．13 D． 2．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 3．（21-22高一·全国·课后作业）已知向量表示“向东航行”，向量表示“向南航行”，则表示（    ） A．向东南航行 B．向东南航行 C．向东北航行 D．向东北航行 4．（21-22高一下·甘肃白银·期中）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 6．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，是边上的一点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若是的平分线，则 三、填空题 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知平面向量满足， ，与的夹角为，，则的最大值是 . 8．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是 . 四、解答题 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 10．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 11．（24-25高一下·全国·课后作业）记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)若点在边上，且，求． 12．（22-23高一下·福建泉州·期中）记锐角的内角的对边分别为.已知，. (1)求b的值； (2)若，求. 13．（24-25高一上·全国·期中）在中，角所对的边分别是，． (1)求角B的大小； (2)若，且边上的两条中线相交于点G，求的余弦值； (3)若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$