☆ 问题解决策略：转化教案- 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

☆ 问题解决策略：转化 教学目标 课题 · 问题解决策略：转化 授课人 素养目标 1.运用转化策略，利用轴对称的特性转化点的位置，从而根据“两点之间线段最短”解决最值问题。 2.在运用转化策略将目标物转化成其他易于分析的等价物的过程中，感悟转化思想，发展应用能力，开拓思维。 教学重点 转化策略在实际问题中的运用。 教学难点 转化策略在不同问题中的灵活运用、转化前的思维建构过程。 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，新课导入 【问题引入】 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。转化是解决数学问题的一种重要策略。 我们学习过平行线的性质，下面这道题如何求解？ 如图，AB∥CD，∠1=50°，∠2=63°，求∠AOC的度数。 作一条辅助线平行于AB，则∠3=∠1，∠4=∠2，从而把已知转化到∠AOC中， 进而得到∠AOC=50°+63°=113°。 这就是转化策略的一种体现。 想进一步了解转化这种解题策略吗？快让我们开始新课吧！ 【教学建议】 让学生自己解答，并询问他们转化的目的，在进入正课前调动学生的学习积极性，并能够在这一活动中对于转化策略有一个初步的体会。 设计意图 在已学过的平行线的相关解题过程中初步感受转化策略。 活动二：交流合作，探究新知 探究点 运用转化策略解决最短距离问题 问题1 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进 入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间。你认为该储物点应建在什么地方， 才能使工作人员所走的路程最短？ 【理解问题】 如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述 问题可以抽象成怎样的数学问题？ 上述问题可以抽象成在已知直线上找寻一点，使得该点到另两个已知点的距离之和 最短的问题。 【教学建议】 本探究活动是解决直线同侧的两点到直线上一点的距离之和最小问题，最终利用对称性将此问题转化为“两点之间线段最短”问题。类似地，其他“最短距离问题”通常以直线、角、等腰(边)三角形等 设计意图 经历“确定最短距离”这类实际问题的解决过程，感受转化策略的必要性和在解题过程中所 教学步骤 师生活动 起到的作用。 【拟定计划】 （1）你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你有哪些认识？ 遇到过。“两点之间线段最短”“垂线段最短”等都是线段最短情形。 （2）相信你能解决以下问题：如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。原问题与这个问题有什么区别和联系？你能将原问题转化为这样的问题吗？说说你的想法。问题3 究竟什么是三角形呢？ 原问题与这个问题都是解决两条线段的长度之和最短的问题，区别在于原问题中抽象后的两个点在直线同侧，而这个问题中点A，B在直线异侧。将原问题转化后如下： 如图，把大门看作点A，车间看作点B，道路看作直线l，储物点看作点C，如何在l上确定一个点C，使AC+CB最短？ 【实施计划】写出你的解决方案，并说明道理。 小明是这样思考的： 如图，作点B关于l的对称点B′，根据轴对称的性质，对于l上任意一点C，都有BC=B′C，因此AC+BC=AC+B′C，问题转化为：在直线l上确定一个点C，使AC+B′C最短。 根据“两点之间线段最短”，连接AB′，与l交于点C，点C就是所要确定的点。 【回顾反思】 (1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 本题是利用轴对称的性质，将一个点转化到直线的另一侧，从而把一条线段长转化为另一条等长的线段，通过构造“两点之间线段最短”模型来解决问题。感悟到可以用转化策略将陌生变为熟悉（答案不唯一）。 (2)利用转化策略解决问题时，需要注意些什么？ ①转化后的情况能利用已学过的知识去处理，或易于进行分析，这是转化的目的； ②一定是等价转化，问题在转化过程中其本质不能发生改变，如果能用数量衡量，必须保证转化前后数量一致。 教师总结 在这个问题中，小明利用轴对称，将两点位于直线l同一侧的问题，转化为两点分别位于直线l两侧的问题，从而使问题得以解决。通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的。 为背景，借助轴对称及两点之间线段最短来解决。教学时，建议根据左栏讲解这一脉络逐步引导，将这个思维过程完全展示给学生，重点让他们体会到转化思想在这一过程中起到的作用，感悟解决这一类问题的通性通法，看到“两点一线不同侧”即想到转化。 教学步骤 师生活动 活动三：变式训练，思维开拓 例 如图，在△ABC中，AB=AC，AD，BE是△ABC的两条中线，BE=6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，求PC+PE的最小值。 解：如图，作点E关于AD的对称点F，连接CF，PF。 由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的轴对称性，可知点F位于边AB上，且PE=PF， 所以PC+PE=PC+PF。 根据三角形的三边关系可知，PC+PF≥CF，当且仅当C，F，P三点共线时PC+PF取得最小值，为CF的长。 因为E是AC的中点，根据等腰三角形的轴对称性，可知F是AB的中点，所以CF与BE都是△ABC的腰上的中线。 根据等腰三角形的轴对称性，易知CF=BE=6， 所以PC+PE的最小值是6。 【教学建议】 此题还可以作点C关于AD的对称点C′，则根据等腰三角形的轴对称性易知该点与点B重合，则PC+PE=PB+ PE，如图。试着让学生按这种方法自己尝试一下，比较一下与例题中的方法哪个更容易。 设计意图 运用转化策略解决三角形中的线段最短问题，培养学生系统性解决问题的能力，进一步感受转化思想在实际中的运用。 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.运用转化策略解决问题的根本目的是什么？是否所有问题都适合运用这个策略呢？ 2.运用转化策略时有哪些注意事项？你能运用这个解题策略解决实际问题吗？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P137～138第1，3题。 2.相应课时训练。 板书设计 ☆ 问题解决策略：转化。 运用转化策略解决距离最短问题、图形面积问题或其他问题。 教学反思 本节课难度较大，学生在之前的学习中可能运用过转化策略，但没有形成系统性的认识。通过本节课的学习，让学生经历了运用转化策略解决实际问题的全过程，学生对于转化思想有了更深刻的了解，同时发散了学生的思维。在后续学习中，可以给学生展示不同类型的应用场景，让学生进一步巩固解决此类问题的能力。 解题大招 利用转化策略求阴影部分的面积 利用转化策略解决图形面积问题，主要是把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再利用已学过的图形的面积公式求解。 例 （教材P138第2题）如图，四边形ABCD和四边形BEFC都是边长为2的正方形。以点B为圆心、AB的长为半径的圆与正方形ABCD交于A，C两点，连接AF。求图中阴影部分的面积。 解：如图，在图中标出AF与BC的交点M。 因为四边形ABCD和四边形BEFC都是正方形， 所以AB=BC=CF，∠ABC=∠FCB=90°，AE∥DF，所以∠BAM=∠CFM。 在△ABM和△FCM中，因为∠ABM=∠FCM，AB=FC，∠BAM=∠CFM， 所以△ABM≌△FCM（ASA），所以S△ABE=S△FCE，所以阴影部分的面积可以转化为扇形ABC的面积。 因为扇形ABC的面积=×π×22=π，所以图中阴影部分的面积为π。 培优点 利用轴对称性和转化策略解决问题 例 （教材P138第4题）如图，定点P位于∠AOB的内部，在射线OA和OB上分别确定点M，N，使得△PMN的周长最小。 分析：求“一点两线”的三角形周长的最小值，一般是利用轴对称将三边转化到一条直线上解决，依据仍然是“两点之间线段最短”。本题的解题思路是作点P关于OA，OB的对称点，运用两次转化将线段集中到一条直线上。 解：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN。 根据轴对称的性质，对于OA上任意一点M，都有PM=P1M。同理PN=P2N。 因此△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N。 根据“两点之间线段最短”，当P1，M，N，P2四点共线时，△PMN的周长最小，最小值为线段P1P2的长。 所以此时点M，N即为所求。 学科网（北京）股份有限公司 $$