7.1.3 两条直线被第三条直线所截 课件 2024—2025学年人教版七年级数学下册

第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.3 两条直线被第三条直线所截 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 同位角 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 5. 知识点2 内错角 10. 拓展与延伸 2. 知识回顾 9. 对接中考 6. 知识点3 同旁内角 1. 理解两条直线相交的特征及邻补角与对顶角的概念. 2. 掌握对顶角相等的性质. 3. 运用对顶角与邻补角的性质进行有关的推理或计算. 学习目标 知识回顾 垂线 垂线和垂线段 定义 性质 垂线段 定义 点到直线的距离 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短 新课导入 直线 AB 和 EF 相交，能形成具有什么关系的角？ 邻补角：∠1 与∠2，∠2 与∠3，∠3 与∠4，∠4与∠1. 对顶角： ∠1 与∠3，∠2 与∠4. B A F E 1 4 2 3 新课导入 三条直线相交可以分为哪些情况？ 对三条直线相交按交点的个数分为三种情况： （1）三条直线交点的个数有一个，即三条直线交于一点； （2）三条直线交点的个数有两个，即两条直线平行且被第三条直线所截； （3）三条直线交点的个数有三个，即三条直线两两相交． 新课导入 【探究】同一平面内一条直线与两条直线分别相交的情形. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D E F 形成了几个角呢？ “三线八角” 如图，直线AB，CD与EF相交. 也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截. 被截线 截线 新课讲解 知识点1 同位角 观察图中的 ∠1 和 ∠5 ，它们具有怎样的位置关系？ F A C B D E 1 2 3 4 5 6 7 8 1 5 ①在直线 EF 的同侧(右侧) ②在直线 AB，CD 的同一方(上方) 如图，像∠1和∠5，两角的位置分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线 EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫作同位角. 新课讲解 （1）你能找出图中还有哪几对角构成同位角？ （2）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同位角？ (1) 除了∠1 和∠5是同位角，还有∠2 和∠6，∠3 和∠7， ∠4 和∠8 也构成同位角． (2) 共有 4 对同位角． F A C B D E 1 2 3 4 5 6 7 8 新课讲解 图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角. 变式图形：图中的∠1 与∠2 都是同位角. 1 1 2 1 2 1 2 2 新课讲解 1. 同位角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线，另一对边不共线. 2. “同” 表示“相同”，“位”表示“位置”.“同位角”可理解为“相同位置的两个角”，即如果一个角在左上方，那么另一个角也应在左上方. 3. 同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系； 4. 在“三线八角”中，有4 对同位角. 注意 新课讲解 例 1. 如图，∠ 1 和∠ 2 不是同位角的是( ) B 方法提示：根据同位角的位置特征进行识别. 解析：选项B 中的∠ 1 与∠ 2 由四条线构成，分别为PA，PC，QB，QD，不满足“三线”的条件，故选项B 中的∠ 1与∠ 2 不是同位角；其他A，C，D 三个选项中的∠ 1，∠ 2 均满足同位角的条件. 新课讲解 例 2. 如图，直线 a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是( ) A.∠1与∠2 B. ∠1与∠3 C. ∠2与∠3 D. ∠3与∠4 B 新课讲解 练一练 1. 如图，与∠1是同位角的是( ) A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 D 新课讲解 练一练 A A. (1)(2) B. (3)(4) C. (1)(2)(3) D. (2)(3) (4) 2. 下列图形中，∠1 和∠2 是同位角的有（ ） 新课讲解 知识点2 内错角 观察图中的 ∠3 和 ∠5 ，它们有怎样的位置关系？ 8 A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 3 5 ①分别在直线 EF 的两侧 ②在直线 AB，CD 之间 如图，像∠3和∠5，两角的位置都在直线AB、CD之间，并且分别在直线 EF 的两侧，具有这种位置关系的一对角叫作内错角. 新课讲解 （1）你能找出图中还有哪几对角构成内错角？ （2）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对内错角？ (1) 除了∠3 和∠5是内错角，还有∠4 和∠6 也构成内错角． (2) 共有 2 对内错角． 8 A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 新课讲解 变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角. 图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角. 1 2 1 1 1 2 2 2 新课讲解 1. 内错角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线，另一对边不共线. 2.“内”可理解为夹在两直线之间，“错”可理解为交错，即位于第三条直线的两侧. 内错角的位置关系具有“同内、异侧 ”的特征. 3. 内错角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系； 4. 在“三线八角”中，有2 对内错角. 注意 新课讲解 例 3. 如图下列各组角中，是内错角的是( ) A.∠1和∠2 B. ∠2和∠3 C.∠1和∠3 D. ∠2和∠5 B 分析：判定内错角的前提条件是看这两个角是不是由两条直线被第三条直线所截形成的（也就是有没有边在同一条直线上)，如果不是，那么它们不是内错角：如果是，再观察这两个角是否在被截直线之间，且在截线的两侧. 新课讲解 例 4. 如图，试找出图中与∠ 2 是同位角、内错角的角. 方法提示：根据同位角及内错角的位置特征进行识别. 解：在AF 和AG 被DE 所截的这个基本图形中，可以看出∠ 6 和∠ 2 处于“同一个位置”，因此∠ 2 的同位角为∠ 6. 根据内错角的特征可知∠ 2 和∠ 8 是内错角.故∠ 2 的同位角为∠ 6，∠ 2 的内错角为∠ 8. 新课讲解 练一练 1. 如图，与∠1是内错角的是（ ） A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 C 新课讲解 练一练 2. 下列图形中，∠ 1和∠ 2 不是内错角的是( ) C 新课讲解 知识点3 同旁内角 如图，我们称∠4 和∠5为同旁内角，你能根据两个角的特征，描述一下同旁内角的定义吗？ 4 5 8 A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 ①在直线 EF 的同一旁(右侧) ②在直线 AB，CD 之间 如图，像∠4和∠5，两角的位置都在直线AB、CD之间，并且都在直线 EF 的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角. 新课讲解 (1) 除了∠3 和∠6是同旁内角，还有∠4 和∠5 也构成同旁内角． (2) 共有 2 对同旁内角． （1）你能找出图中还有哪几对角构成同旁内角？ （2）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同旁内角？ 8 A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 新课讲解 变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角. 图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.　 1 1 1 1 2 2 2 2 新课讲解 1. 同旁内角是成对出现的，并且是由三条直线组成的，即一对边共线，另一对边不共线. 2. “同旁”可理解第三条直线的同一旁，“内”可理解为夹在两直线之间. 同旁内角的位置关系具有“同内、同侧 ”的特征. 3. 同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系； 4. 在“三线八角”中，有2 对同旁内角. 注意 新课讲解 例 5. 如图，∠ B 与图中哪些角是同旁内角？分别指出它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同旁内角. 方法提示：先画出∠ B 的两边，然后按照同旁内角的位置关系找出另一条直线，再确定另一个角. 解：∠B与∠EAB，∠CAB，∠ACB是同旁内角. ∠ B 与∠EAB 是直线DE，BC被直线AB所截形成的同旁内角；∠B与∠CAB 是直线AC，BC被直线AB所截形成的同旁内角；∠B与∠ACB是直线AB，AC被直线BC所截形成的同旁内角. 新课讲解 例 6. 如图，∠C与哪个角是同旁内角? 解：∠C与∠EDC， ∠C与∠ADC， ∠C与∠DFC， ∠C与∠ABC是同旁内角. 新课讲解 练一练 1. 如图，下列两个角是同旁内角的是（ ） A. ∠1与∠2 B. ∠1与∠3 C. ∠1与∠4 D. ∠2与∠4 B 新课讲解 练一练 2. 下列图形中，∠1 和∠2 是同旁内角的是（ ） A C D A B 新课讲解 归纳 同位角、内错角、同旁内角的结构特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，两条被截直线同一方. 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转). 内错角 在截线两侧，两条被截直线之间. 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转). 同旁内角 在截线同侧，两条被截直线之间. 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转). 新课讲解 1. 同位角、内错角、同旁内角都是指两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系都是不确定的. 2. 同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，它们都没有公共顶点，但都有一条边共线. 注意 判断三线八角的方法 1. 把两个角在图中描画出来； 2. 找到两个角的公共直线； 3. 观察所描的角，判断所属“字母”类型，同位角为“F”型，内错角为“Z”型，同旁内角为“U”型，注意图形的变式情况(旋转、对称). 新课讲解 三线八角手势记忆法 同位角 内错角 同旁内角 新课讲解 例 7. 如图，直线DE，BC被直线AB所截. (1)∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？ (2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？ 解：(1)∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角， ∠1和∠4是同位角. A B C D E 4 3 2 1 (2)如果∠1=∠4，又由对顶角相等， 可得∠2=∠4，因此∠1=∠2. 因为∠4和∠3互补， 所以∠4+∠3=180°. 又因为∠1=∠4， 所以∠1十∠3=180°，即∠1和∠3互补. 新课讲解 练一练 如图，填空： (1)∠1和∠B是直线_____，_____被直线________________所截形成的_____角； (2)∠2和∠A是直线______，______被直线______所截形成的______角； (3)∠B和∠ECB是直线______，______被 直线_______________所截形成的_______角. EC AB BD(或BC或CD) 同位 EC AB AC 内错 AB EC 同旁内 BD(或BC或CD) 课堂小结 图中判断三线八角(描图法) 结构特征 两条直线被第三条直线所截 同位角： “ F ”型 同旁内角：“U”型 把两个角描出来 内错角： “Z”型 找到两个角的公共直线 观察判断两个角的类型 当堂小练 1. 如图，∠DAB 和∠ABC 的位置关系是( ) A.同位角 B.同旁内角 C.内错角 D.以上结论都不对 C A D B C E 截线：AB 被截线：DE，BC 当堂小练 2. 指出图中各对角的位置关系: (1)∠C和∠D是____________角； (2)∠B和∠GEF是____________角； (3)∠A和∠D是____________角； (4)∠AGE和∠BGE是____________角； (5)∠CFD和∠AFB是____________角. 同旁内 同位 内错 邻补 对顶 当堂小练 3. 如图，下列说法不正确的是（ ） A.∠1与∠3是对顶角 B.∠2与∠6是同位角 C.∠3与∠4是内错角 D.∠3与∠5是同旁内角 B 当堂小练 4. 下列图形中，∠ 1与∠ 2 是同旁内角的是( ) A 当堂小练 5. 如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（ ） A. 1，1，4 B. 1，2，4 C. 2，1，4 D. 1，1，5 A 当堂小练 6. 如图，射线 AB，AC 被射线 DE 所截，图中的∠1 与∠2 是( ) A.内错角 B.对顶角 C.同位角 D.同旁内角 A A D B C E 2 1 当堂小练 7. 如图，下列说法错误的是 ( ) A. ∠2 和 ∠6 是同位角 B. ∠3 和 ∠4 是内错角 C. ∠1 和 ∠3 是对顶角 D. ∠3 和 ∠5 是同旁内角 A 当堂小练 8. 如图，∠1 和∠2，∠3 和∠4 是由哪两条直线被一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？ （1） （2） 解：（1）∠1 和 ∠2 是由直线 DC、AB 被 BD 所截形成的内错角， ∠3 和∠4 是由直线 AD、BC 被 BD 所截形成的内错角. （2）∠1 和 ∠2 是由直线 AB、CD 被 BC 所截形成的同旁内角. ∠3 和 ∠4 是由直线 AD、BC 被 AE 所截形成的同位角. 当堂小练 9. 如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠B中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？ 解：∠1与∠B，∠4与∠B是同位角； ∠3与∠4，∠2与∠5是内错角； ∠2与∠4，∠3与∠5，∠3与∠B，∠B与∠5是同旁内角. 当堂小练 10. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角． 同位角：∠2 与∠6，∠4 与∠8，∠3 与∠7，∠1 与∠5 内错角：∠3 与∠6，∠4 与∠5 同旁内角：∠3 与∠5，∠4 与∠6 同位角：∠1 与∠3，∠2 与∠4． 内错角：无． 同旁内角：∠2 与 ∠3． 当堂小练 11. 如图，∠B 与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？对∠C 进行同样的讨论. 解：∠B 与∠DAB 是内错角，与∠BAE 是同旁内角，它们都是由 DE 与 BC 被 AB 所截形成的；还与∠BAC 是同旁内角，它们是由 AC、BC 被 BA 所截形成的. ∠C 与∠EAC 是内错角，与∠DAC 是同旁内角，它们都是由 DE 与 BC 被 AC 所截形成的；还与∠BAC 是同旁内角，它们是由 AB、BC 被 AC 所截形成的. 当堂小练 12. 如图，在用数字标出的八个角中，指出所有的同位角、内错角、同旁内角. 解：同位角：∠3 和∠7，∠2 和∠8，∠4 和∠6； 内错角:∠1 和∠4，∠3 和∠5，∠2 和∠6，∠4 和∠8； 同旁内角：∠3 和∠6，∠2 和∠4，∠2和∠5，∠4 和∠5. 对接中考 1. 如图，下列两个角是同旁内角的是( ) A.∠1与∠2 B.∠1与∠3 C.∠1与∠4 D.∠2与∠4 3 c b 1 2 4 a B 截线：同侧 被截线：之间 对接中考 2. 如图，与∠1是内错角的是( ) A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 C 3 c b 1 2 5 4 a 拓展与延伸 1. 如图，给出下列四个结论： ①∠2 与∠6 是内错角； ②∠3 与∠4 是内错角； ③∠5 与∠6 是同旁内角； ④∠1 与∠4 是同旁内角. 其中正确的是( ) A.①② B.②③④ C.①②④ D.①②③④ C 拓展与延伸 2. 如图所示，下列说法中，错误的是( ) A.∠A 与∠EDC 是同位角 B.∠A 与∠C 是同旁内角 C.∠A 与∠ADC 是同旁内角 D.∠A 与∠ABF 是内错角 B A B F C E D 拓展与延伸 3. 直线 AB，CD 相交于点 O . （1）OE、OF 分别是∠AOC、∠BOD 的平分线，画出这个图形； （2）射线 OE、OF 在同一条直线上吗？ （3）画出∠AOD 的平分线 OG，OE 与 OG 有怎样的位置关系？为什么？ 解：（1）如图： （2）射线 OE、OF 在同一条直线上. （3）OE⊥OG . ∵OE平分∠AOC，∴. 同理：. ∴ ∴OE⊥OG . 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