17.2 一元二次方程的解法 （第4课时 因式分解法） （同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

17.2 一元二次方程的解法 主讲： 沪科版八年级数学下册 第17章 一元二次方程 第4课时 因式分解法 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 了解因式分解法的概念； 2. 会利用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程； 3. 经历探索因式分解法解一元二次方程，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，同时学会灵活选择解方程的方法； 4. 通过运用因式分解法解简单系数的一元二次方程，体验解决问题的方法多样性，提升学习数学的兴趣，并建立学好数学的自信心. 情景导入 一元二次方程的一般式是怎样的？ 常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？ (a≠0) 主要方法: (1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法. 我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？ x+3=0 或 x-5=0 解得x1 = -3，x2 = 5. 新知探究 一个一元二次方程用公式法总可以求解． 对于一些特殊的一元二次方程，还可以有别的解法． 如解方程 x2 = 9 ，除了直接开平方求解外，还可以把它变形为 x2 – 9=0 再将方程左边分解因式，得 （x – 3）（x + 3 ）= 0. 我们知道， 如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0； 反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0． 因此，有 x – 3 = 0 或 x + 3 = 0. 这种通过因式分解，将这个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 这里用到了什么样的数学思想方法？ 化归方法 交流 1. 解下列方程，并与同学交流，检查解得的结果是否正确. （1）x2 + 3x = 0； （2）x2 = x 解： (1) x（x + 3）= 0 x1 = 0，x2 = –3 (2) x（x – 1）= 0 x1 = 0，x2 = 1 2. 在解上面的方程（2）时，如果像下面这样做： 两边同时除以 x，得 x = 1. 故方程的根为 x = 1. 这样对吗？为什么？ 不对，当 x 等于 0 时不能除以 x. 3. 总结前面内容你能否归纳出缺项的二次方程：ax2 + c = 0（a，c 异号）， ax2 + bx = 0（a ≠ 0）的解法. ax2 + c = 0 （a，c 异号） 把左边分解因式 例题讲解 课本例题 例4 解方程：x2 – 5x + 6 = 0. 解 把方程左边分解因式，得 （x – 2）（x – 3）= 0. 因此，有 x – 2 = 0 或 x – 3 = 0. 解方程，得 x1 = 2，x2 = 3. 将方程左边分解为两个一次因式的乘积 x2 ＋(a ＋ b)x ＋ ab=(x ＋ a)(x ＋ b). 例题讲解 课本例题 例5 解方程：（x + 4）（x – 1） = 6. 解 将原方化为标准形式，得 x2 + 3x – 10 = 0 把方程左边分解因式，得 （x + 5）（x – 2）= 0. 因此，有 x + 5 = 0 或 x – 2 = 0. 解方程，得 x1 = –5，x2 = 2. 整理方程，使其右边为0 例题讲解 补充例题 用因式分解法解下列方程. (1)(x－5)(x－6)=x－5； 方程的两边不能同时除以x－5，这样会使方程丢一根 . 解： （1）移项，得 (x－5)(x－6)－(x－5)=0. 因式分解，得 (x－5)(x－7)=0. ∴ x－5=0或x－7=0. ∴ x1=5，x2=7. 例题讲解 补充例题 用因式分解法解下列方程. (2)4(x － 3)2 －25(x－2)2=0； (3)x2－(+)x+=0. 解： （1）原方程可化为［2(x－3)］2－［5(x－2)］2=0， 因式分解，得［2(x－3) +5(x－2)］［2(x－3) －5(x－2)］ =0， 即(7x－16) (－3x+4) =0， ∴ 7x－16=0 或 －3x+4=0. ∴ x1=， x2= . （3）原方程可化为 (x－) (x－ ) =0. ∴ x－ =0 或 x－ =0. ∴ x1= ， x2= . 归纳 常用的分解因式的方法 （1）提取公因式法: （2）公式法: （3）十字相乘法: am + bm + cm = m（a + b + c）. a2 – b2 = (a + b)(a – b) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. x2 +（a + b）x + ab = (x + a)(x + b). 1 1 a b 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0； (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 课堂练习 用因式分解法解下列方程： 用因式分解法解下列方程： 分层练习 基础题 1.用因式分解法解方程,下列过程正确的是( ) A A.化为或 B.化为或 C.化为或 D.化为 2.[2024·杭州期末] 方程 的两个根的和是( ) C A. B.0 C.3 D.6 3.[2024·贵州中考改编] 一元二次方程 的解是 ( ) B A. B.， C. D.， 4.[2024·泰安二模] 关于的方程 的解是 _______________. ， 5.已知某一元二次方程的两根分别为, ，则这个 方程可能为( ) A A. B. C. D. 6.[2024苏州期末] 在正数范围内定义运算“ ”，其规则为 ，则方程 的解是( ) B A. B. C.， D.， 7.解方程： . 解：运用完全平方公式因式分解，得__________ . 所以 __. 8.[2024上海长宁区期中] 方程 的根为 _ ____________. ， 9. 解方程： (1) ； 解：, ， ， 或，所以， ． (2) . 解：, ， ， ， 或，所以， . 10.选择适当的方法解下列方程： （1） ； 【解】（1） ， . . 或 . ， . （2） . （2） ， . . . . . 或 . ， . 11.小敏与小霞两名同学解方程 的过程如下： 小敏：× 两边同除以 ， 得 ， 则 . 小霞：× 移项，得 ， 提公因式，得 . 则或 ， 解得， . 你认为她们的解答过程是否正确？若正确，请在相应框内打 “√”；若错误，请在相应框内打“×”，并写出正确的解答过程. 解：正确的解答过程：移项， 得 ， 提公因式，得 . 则或，解得， . 12.如果二次三项式能因式分解成 ， 那么方程 的两个根为( ) A A.， B., C., D., 13.解方程： . 解：因式分解，得 , 所以或 , 所以, . 综合应用题 14.[2024六安模拟] 已知三角形两边长分别为3和6，第三边长 是方程 的解，则这个三角形的周长是( ) B A.15 B.13 C.11或8 D.11或13 15. [2024·合肥期中] 若等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则等腰三角形的周长为( ) C A.9 B.10 C.12 D.9或12 16. 数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中 最基本、最重要的一种方法，我们可以用因式分解把方程转化 为 ，从而求出方程的根为 ，则通过运用转化思想还可以求 出方程 的根为( ) A A.3 B. C.3或 D.3或1 【点拨】 ， ，即 . ， . ，且 ， 当 时，不符合题意，舍去. 的根为 . 17.[2024·亳州月考] 如图，数轴上点表示的数为 ，点 表示的数为.若，且点 在数轴的正半轴上， 则 的值为___. 3 18.[2024榆林期末] 定义：若， 是方程 的两个整数根，且满足 ， 则称此类方程为“差1方程”.例如： 是“差1 方程”. （1）下列方程是“差1方程”的是____；（填序号） ； ； ② （2）若方程是“差1方程”，求 的值. 【解】方程因式分解,得 ， 解得， . 方程为“差1方程”， ，解得或 . 19.解方程： (1) ； 解：， ， ，或 ， 解得， . (2) . 解： ， ， ， ， 所以或，所以， ． 创新拓展题 20.解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如 解四次方程时，可设 ，则原方程可化为， 先解出，将的值再代入中解 的值，由此高次方程得解.解高次方程也可 以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将 看作一个整体，得 ，解出 的值，再进一步求解即可.根据上述方法，回答下列问题： (1)若，则 的值为___； 2 (2)解方程： . 解：设 ，整理原方程，得 ， 即 ，则，解得或 . 当时，，即 ，解得或 ； 当时，，即 ，解得或 . 综上，或或或 . 习题 1．直接开平方解下列方程： （1）x2 – 49 = 0； （2）2x2 – = 0； （3）(x – 1)2 = 2； （4）2(x – 2)2 – 8 = 0； （5）( x – 2)2 = 6；（6）(x + )2 = (1 + )2. 解：（1）x1 = 7，x2 = – 7. （2）x1 = ，x2 = – . （3）x1 = 1 + ，x2 = 1 – .（4）x1 = 0，x2 = 4. （5）x1 = + ，x2 = – .（6）x1 = 1，x2 = – 1 – 2 . 2．用配方法解下列方程： （1）x2 + 6x – 7 = 0； （2）x2 + 5x + 2 = 0； （3）2x2 – 5x + 1 = 0；（4）2x2 – 3x – 7 = 0. 解：（1）x1 = 1，x2 = – 7. （2）x1 = ，x2 = . （3）x1 = ，x2 = . （4）x1 = ，x2 = . 3．用配方法解关于 x 的方程：x2 + px + q = 0. 解：移项，得 x2 + px = – q. 配方，得 x2 + 2· x + = – q + . 即 = . 当 p2 – 4q＜0 时，方程无实数解； 当 p2 – 4q≥0 时，x + = ， ∴ x1 = ，x2 = . 4．用公式法解下列方程： （1）x2 – x – 3 = 0； （2）2x2 + 4x – 3 = 0； （3）3x2 – x – 1 = 0；（4）2y2 + 3y – 1 = 0. 解：（1）x1 = ，x2 = . （2）x1 = ，x2 = . （3）x1 = ，x2 = . （4）y1 = ，y2 = . 5．用因式分解法解下列方程： （1）x2 = 7x； （2）2x2 + x = 0； （3）(x + 1)2 – 2(x + 1) = 0;（4）x2 – 3x + 2 = 0. 解：（1）x1 = 0，x2 = 7. （2）x1 = 0，x2 = – . （3）x1 = – 1，x2 = 1. （4）x1 = 1，x2 = 2. 6．用适当方法解下列方程： （1）x2 – 3x – 4 = 0； （2）6x2 – 13x – 15 = 0； （3）(3 – x)2 + x2 = 9； （4）(y – 2)2 = 3； （5）(y + )2 = 4 y； （6）(2x – 1)(x + 3) = 4； （7）(2y + 1)2 + 3(2y + 1) + 2 = 0. 解：（1）x1 = – 1，x2 = 4. （2）x1 = 3，x2 = – . （3）x1 = 3，x2 = 0. （4）y1 = 2 + ，y2 = 2 – . （5）y1 = y2 = . （6）x1 = 1，x2 = – . （7）y1 = – 1，y2 = – . 7．解下列方程，并求根的近似值（精确到0.01）： （1）5x2 + 2x – 1 = 0；（2）x2 – 3x + 1 = 0. 解：（1）x = ，∴ x1 ≈ 0.29，x2 ≈ – 0.69. （2）x = ，∴ x1 ≈ 2.62，x2 ≈ 0.38. 8．当 x 是什么数时，3x2 + 6x – 8 的值与 2x2 – 1 的值相等？ 解：根据题意得 3x2 + 6x – 8 = 2x2 – 1， 整理得 x2 + 6x – 7 = 0， 分解因式得 (x – 1)(x + 7) = 0， 解得 x1 = 1，x2 = – 7． 课堂小结 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 原理 将方程左边因式分解，右边=0. 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b). 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$