第6章　平行四边形 培优精练（课件）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第六章　平行四边形 培优精练22　构造三角形中位线解决问题 1 类型1　取中点构造中位线 1. 如图,点D,E是Rt△ABC两直角边AB,AC上的一点,连接BE,已知点F,G,H分别是DE,BE,BC的中点. 1 2 3 返回首页 (1)求∠FGH度数; 解:(1)∵F,G,H分别是DE,BE,BC的中点, ∴FG∥DB,GH∥EC. ∴∠DBE＝∠FGE,∠EGH＝∠AEG. ∴∠FGH＝∠FGE＋∠EGH ＝∠ABE＋∠BEA ＝180°－∠A ＝180°－90° ＝90°. 解:(1)∵F,G,H分别是DE,BE,BC的中点, ∴FG∥DB,GH∥EC. ∴∠DBE＝∠FGE,∠EGH＝∠AEG. ∴∠FGH＝∠FGE＋∠EGH ＝∠ABE＋∠BEA ＝180°－∠A ＝180°－90° ＝90°. 1 2 3 返回首页 (2)连接CD,取CD的中点为点M,连接GM,若BD＝8,CE＝6,求GM的长. 解:(2)如图,连接FM,HM. ∵M,H分别是DC和BC的中点, ∴HM∥BD,HM＝ BD. 解:(2)如图,连接FM,HM. ∵M,H分别是DC和BC的中点, ∴HM∥BD,HM＝ BD. 同理FG∥BD,FG＝ BD. ∴HM∥FG,HM＝FG. ∴四边形FGHM为平行四边形. ∵G,H,M分别是BE,BC,DC的中点, ∴GH＝ EC＝3,HM＝ BD＝4. 由(1)可知∠FGH＝90°. ∴∠GHM＝90°. ∴GM＝ ＝5. 1 2 3 返回首页 2. 如图,在□ABCD中,CF⊥BD且CF＝BD,连接AF,E为AF的中点,连接EB,ED. 求证:△EBD是等腰直角三角形. 明:如图,连接AC交BD于点O,连接OE. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO＝CO. ∵点E为AF的中点, 明:如图,连接AC交BD于点O,连接OE. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO＝CO. ∵点E为AF的中点, ∴OE为△ACF的中位线. ∴OE∥CF且OE＝ CF. 1 2 3 返回首页 ∵CF⊥BD, ∴OE⊥BD. ∵BD是平行四边形ABCD的对角线, ∴BO＝DO. ∴OE垂直平分BD. ∴BE＝DE. ∴CF＝BD. ∴OE＝BO＝OD. ∴BE⊥DE. ∴△EBD为等腰直角三角形. 1 2 3 返回首页 类型2　添加第三边利用三角形中位线解决问题 3. (2024厦门六中期中)定义:至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”.如图,已知四边形ABCD,点E,F分别是对角线AC,BD的中点,G为BC的中点,连接EF,FG,EG,△EFG为等边三角形. 1 2 3 返回首页 (1)求证:四边形ABCD是“等对边四边形”. (1)证明:∵△EFG为等边三角形, ∴EG＝FG. ∵点E,F分别是对角线AC,BD的中点,G为BC的中点, ∴EG是△CBA的中位线,FG是△BCD的中位线. ∴CD＝2FG,AB＝2EG. ∴CD＝AB. ∴四边形ABCD是“等对边四边形”. (1)证明:∵△EFG为等边三角形, ∴EG＝FG. ∵点E,F分别是对角线AC,BD的中点,G为BC的中点, ∴EG是△CBA的中位线,FG是△BCD的中位线. ∴CD＝2FG,AB＝2EG. ∴CD＝AB. ∴四边形ABCD是“等对边四边形”. 1 2 3 返回首页 (2)若∠BAC＋∠BDC＝180°,求∠DBC的度数. 解:(2)如图,过点B作BM⊥CA交CA的延长线于点M,过点C作CN⊥BD于点N. 解:(2)如图,过点B作BM⊥CA交CA的延长线于点M,过点C作CN⊥BD 于点N. ∵∠BAC＋∠BDC＝180°,∠BAC＋∠BAM＝180°, ∴∠BAM＝∠CDN. ∵∠AMB＝∠DNC＝90°,AB＝DC, 1 2 3 返回首页 ∴△BAM≌△CDN(AAS). ∴BM＝CN. ∵BC＝CB, ∴Rt△BCM≌Rt△CBN(HL). ∴∠DBC＝∠ACB. ∵EG是△CBA的中位线,FG是△BCD的中位线, ∴EG∥AB,FG∥CD. ∴∠CEG＝∠BAC,∠BFG＝∠BDC. ∵∠BAC＋∠BDC＝180°, ∴△BAM≌△CDN(AAS). ∴BM＝CN. ∵BC＝CB, ∴Rt△BCM≌Rt△CBN(HL). ∴∠DBC＝∠ACB. ∵EG是△CBA的中位线,FG是△BCD的中位线, ∴EG∥AB,FG∥CD. ∴∠CEG＝∠BAC,∠BFG＝∠BDC. ∵∠BAC＋∠BDC＝180°, 1 2 3 返回首页 ∴∠CEG＋∠BFG＝180°. ∵△EFG是等边三角形, ∴∠EFG＝∠FEG＝60°. ∵∠BFG＋∠EFG＋∠EFD＋∠CEG＋∠FEG＋∠FEA＝180°＋180°, ∴∠EFD＋∠FEA＝60°. ∴∠DBC＋∠ACB＝60°. ∴∠DBC＝ ×60°＝30°. ∴∠CEG＋∠BFG＝180°. ∵△EFG是等边三角形, ∴∠EFG＝∠FEG＝60°. ∵∠BFG＋∠EFG＋∠EFD＋∠CEG＋∠FEG＋∠FEA＝180°＋ 180°, ∴∠EFD＋∠FEA＝60°. ∴∠DBC＋∠ACB＝60°. ∴∠DBC＝ ×60°＝30°. 1 2 3 返回首页 $$第六章　平行四边形 培优精练20　平行四边形性质与判定的应用2 1 类型1　构造三角形解决四边形问题 1. 如图,在□ABCD内有一点E,连接DE,BE,DB,且DB平分∠CDE,∠CBE＝∠CDE＝90°.求证:BC＝BE. 证明:如图,在DC上截取DF＝DE,连接BF. ∵DB平分∠CDE, ∴∠BDE＝∠BDF. ∵BD＝BD, ∴△BDE≌△BDF(SAS). ∴BE＝BF,∠BED＝∠BFD. 证明:如图,在DC上截取DF＝DE,连接BF. ∵DB平分∠CDE, ∴∠BDE＝∠BDF. ∵BD＝BD, ∴△BDE≌△BDF(SAS). ∴BE＝BF,∠BED＝∠BFD. 1 2 3 4 5 6 返回首页 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC. ∴∠C＋∠ABC＝180°. ∵∠CBE＝∠CDE＝90°, ∴∠BED＋∠C＝180°. ∵∠BFD＋∠BFC＝180°, ∴∠BFC＝∠C. ∴BF＝BC. ∴BC＝BE. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC. ∴∠C＋∠ABC＝180°. ∵∠CBE＝∠CDE＝90°, ∴∠BED＋∠C＝180°. ∵∠BFD＋∠BFC＝180°, ∴∠BFC＝∠C. ∴BF＝BC. ∴BC＝BE. 1 2 3 4 5 6 返回首页 2. 如图, □ABCD和□ CDEF有公共边CD,边AB和EF在同一条直线上,AC⊥CD且AC＝AF,过点A作AH⊥BC交CF于点G,交BC于点H,连接EG. 求证:BC＝AG＋EG. 证明:如图,在AD上取一点M,使得AM＝AG,连接CM. ∵四边形ABCD,四边形EFCD都是平行四边形, ∴AB＝CD＝EF,AD＝BC,AD∥BC,AB∥CD. ∵AH⊥BC,AC⊥CD, ∴AH⊥AD,AC⊥AB. 证明:如图,在AD上取一点M,使得AM＝AG,连接CM. ∵四边形ABCD,四边形EFCD都是平行四边形, ∴AB＝CD＝EF,AD＝BC,AD∥BC,AB∥CD. ∵AH⊥BC,AC⊥CD, ∴AH⊥AD,AC⊥AB. 1 2 3 4 5 6 返回首页 ∴∠BAC＝∠GAM＝90°. ∴∠FAG＝∠CAM. ∵AF＝AC,AG＝AM, ∴△FAG≌△CAM(SAS). ∴∠ACM＝∠AFG＝45°,FG＝CM. ∵∠ACD＝∠BAC＝90°, ∴∠MCD＝45°＝∠EFG. ∵EF＝CD,FG＝CM, ∴△EFG≌△DCM(SAS). ∴∠BAC＝∠GAM＝90°. ∴∠FAG＝∠CAM. ∵AF＝AC,AG＝AM, ∴△FAG≌△CAM(SAS). ∴∠ACM＝∠AFG＝45°,FG＝CM. ∵∠ACD＝∠BAC＝90°, ∴∠MCD＝45°＝∠EFG. ∵EF＝CD,FG＝CM, ∴△EFG≌△DCM(SAS). ∴EG＝DM. ∴AG＋EG＝AM＋DM＝AD＝BC, 即BC＝AG＋EG. ∴EG＝DM. ∴AG＋EG＝AM＋DM＝AD＝BC, 即BC＝AG＋EG. 1 2 3 4 5 6 返回首页 3. 如图,在□ABCD中,求证:AB2＋BC2＋CD2＋AD2＝AC2＋BD2. 证明:如图,分别过点A,D作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F. ∴AE∥DF. ∵四边形ABCD是平行四边形, AB＝CD,AD＝BC,AD∥BC, ∴四边形AEFD为平行四边形. 证明:如图,分别过点A,D作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于 点F. ∴AE∥DF. ∵四边形ABCD是平行四边形, AB＝CD,AD＝BC,AD∥BC, ∴四边形AEFD为平行四边形. ∴EF＝AD,AE＝DF. 1 2 3 4 5 6 返回首页 设AB＝CD＝a,AD＝BC＝b,BE＝c,则CE＝b－c,BF＝b＋c. ∴AB2＋BC2＋CD2＋AD2＝2a2＋2b2. 在Rt△ABE中,AE2＝AB2－BE2＝a2－c2. 在Rt△ACE中,AC2＝AE2＋CE2＝a2－c2＋(b－c)2＝a2＋b2－2bc. 在Rt△BDF中,BD2＝DF2＋BF2＝a2－c2＋(b＋c)2＝a2＋b2＋2bc. ∴AC2＋BD2＝2a2＋2b2. ∴AB2＋BC2＋CD2＋AD2＝AC2＋BD2. 1 2 3 4 5 6 返回首页 类型2　构造平行四边形解决问题 4. 如图,在△ABC中,D为AB的中点,过点D作DE∥BC交AC于点E. 求证:AE＝CE. 证明:如图,过点D作DF∥AC,交BC于点F. ∴∠BDF＝∠A. ∵DE∥BC, ∴四边形FCED是平行四边形. ∴DF＝EC. ∵D是边AB的中点, 证明:如图,过点D作DF∥AC,交BC于点F. ∴∠BDF＝∠A. ∵DE∥BC, ∴四边形FCED是平行四边形. ∴DF＝EC. ∵D是边AB的中点, 1 2 3 4 5 6 返回首页 ∴AD＝DB. ∵DE∥BC, ∴∠ADE＝∠B. ∴△ADE≌△DBF(ASA). ∴AE＝DF. ∴AE＝EC. ∴AD＝DB. ∵DE∥BC, ∴∠ADE＝∠B. ∴△ADE≌△DBF(ASA). ∴AE＝DF. ∴AE＝EC. 1 2 3 4 5 6 返回首页 5. 如图,在△ABC(AB≠AC)中,点D,E在BC上,且DE＝EC,过点D作DF∥BA,交AE于点F,AE平分∠BAC. 求证:DF＝AC. 证明:如图,延长FE到点G,使EG＝EF,连接CF,CG,DG. ∵ED＝EC, ∴四边形DGCF是平行四边形. ∴DF∥CG. 证明:如图,延长FE到点G,使EG＝EF,连接CF,CG,DG. ∵ED＝EC, ∴四边形DGCF是平行四边形. ∴DF∥CG. 1 2 3 4 5 6 返回首页 ∴∠DFE＝∠EGC. ∵DF∥AB, ∴∠DFE＝∠BAE. ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE＝∠CAE. ∴∠EGC＝∠CAE. ∴GC＝AC. ∴DF＝AC. ∴∠DFE＝∠EGC. ∵DF∥AB, ∴∠DFE＝∠BAE. ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE＝∠CAE. ∴∠EGC＝∠CAE. ∴GC＝AC. ∴DF＝AC. 1 2 3 4 5 6 返回首页 6. 如图,在△ABC中,∠BAC＝108°,D为BC的中点,AB＝AE,点E在AC上,若AC＝BE,求证:AD⊥DE. 证明:如图,延长ED至点F,使DF＝DE,连接BF,FC,AF. ∵D为BC的中点, ∴DB＝DC. ∴四边形BECF是平行四边形. ∴BE＝CF,∠ECF＝∠FBE,BE∥CF. ∵AC＝BE, 证明:如图,延长ED至点F,使DF＝DE,连接BF,FC,AF. ∵D为BC的中点, ∴DB＝DC. ∴四边形BECF是平行四边形. ∴BE＝CF,∠ECF＝∠FBE,BE∥CF. ∵AC＝BE, 1 2 3 4 5 6 返回首页 ∴AC＝FC. ∵AB＝AE,∠BAE＝108°, ∴∠ABE＝∠AEB＝36°. ∵BE∥CF, ∴∠ACF＝∠AEB＝36°. ∴∠CAF＝∠CFA＝72°. ∴∠BAF＝∠BAE－∠CAF＝36°. ∵∠ABF＝∠ABE＋∠FBE＝72°, ∴∠AFB＝180°－36°－72°＝72°. ∴AC＝FC. ∵AB＝AE,∠BAE＝108°, ∴∠ABE＝∠AEB＝36°. ∵BE∥CF, ∴∠ACF＝∠AEB＝36°. ∴∠CAF＝∠CFA＝72°. ∴∠BAF＝∠BAE－∠CAF＝36°. ∵∠ABF＝∠ABE＋∠FBE＝72°, ∴∠AFB＝180°－36°－72°＝72°. ∴AB＝AF. ∴AF＝AE. ∵DF＝DE, ∴AD⊥DE. ∴AB＝AF. ∴AF＝AE. ∵DF＝DE, ∴AD⊥DE. 1 2 3 4 5 6 返回首页 $$第六章　平行四边形 培优精练23　探究问题 1 类型1　与多边形内角和有关的问题 1. 探究一:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系? 已知:如图1,在△ADC中,DP,CP分别平分∠ADC和∠ACD,试探究∠P与∠A的数量关系. 1 2 返回首页 解:探究一:∵DP,CP分别平分∠ADC和∠ACD, ∴∠PDC＝ ∠ADC,∠PCD＝ ∠ACD. ∴∠DPC＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－ ∠ACD ＝180°－ (∠ADC＋∠ACD)＝180°－ (180°－∠A)＝90°＋ ∠A. 解:探究一:∵DP,CP分别平分∠ADC和∠ACD, ∴∠PDC＝ ∠ADC,∠PCD＝ ∠ACD. ∴∠DPC＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－ ∠ACD ＝180°－ (∠ADC＋∠ACD)＝180°－ (180°－∠A) ＝90°＋ ∠A. 1 2 返回首页 探究二:若将△ADC改为任意四边形ABCD呢? 已知:如图2,在四边形ABCD中,DP,CP分别平分∠ADC和∠BCD,试探究∠P与∠A＋∠B的数量关系. 1 2 返回首页 解:探究二:∵DP,CP分别平分∠ADC和∠BCD, ∴∠PDC＝ ∠ADC,∠PCD＝ ∠BCD. ∴∠DPC＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－ ∠BCD ＝180°－ (∠ADC＋∠BCD)＝180°－ (360°－∠A－∠B)＝ (∠A＋∠B). 解:探究二:∵DP,CP分别平分∠ADC和∠BCD, ∴∠PDC＝ ∠ADC,∠PCD＝ ∠BCD. ∴∠DPC＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－ ∠BCD ＝180°－ (∠ADC＋∠BCD)＝180°－ (360°－∠A－∠B)＝ (∠A ＋∠B). 1 2 返回首页 探究三:若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢? 已知:如图3,在六边形ABCDEF中,DP,CP分别平分∠EDC和∠BCD,试探究∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系. 1 2 返回首页 解:探究三:六边形ABCDEF的内角和为(6－2)×180°＝720°. ∵DP,CP分别平分∠EDC和∠BCD, ∴∠PDC＝ ∠EDC,∠PCD＝ ∠BCD. ∴∠P＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－ ∠BCD ＝180°－ (∠EDC＋∠BCD)＝180°－ (720°－∠A－∠B－∠E－∠F) ＝ (∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°, 即∠P＝ (∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°. 解:探究三:六边形ABCDEF的内角和为(6－2)×180°＝720°. ∵DP,CP分别平分∠EDC和∠BCD, ∴∠PDC＝ ∠EDC,∠PCD＝ ∠BCD. ∴∠P＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－ ∠BCD ＝180°－ (∠EDC＋∠BCD) ＝180°－ (720°－∠A－∠B－∠E－ ∠F) ＝ (∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°, 即∠P＝ (∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°. 1 2 返回首页 类型2　与三角形中位线有关的问题( ) 2. 【图形定义】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.类似地,我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线. 例如:如图1,在四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N是CD的中点,MN是四边形ABCD的中位线. 1 2 返回首页 【方法探究】 如图2,已知MN是△ABC的中位线,以点N为中心,将△ABC旋转180°得到△CB'A,可证MN＝ BC. 1 2 返回首页 【方法应用】 (1)如图3,MN是梯形ABCD的中位线.若AD＝a,BC＝b,且b>a,求MN的长. 1 2 返回首页 解:(1)如图3,以点N为中心,将梯形ABCD旋转180°得到梯形A'B'DC. 解:(1)如图3,以点N为中心,将梯形ABCD旋转180°得到梯形A'B'DC. 则MN＝M'N,AD＝A'C,BC＝B'D,且四边形ABA'B',AMM'B',MM'A'B 都是平行四边形, ∴MN＝ MM',MM'＝AB'. ∵AB'＝AD＋B'D＝AD＋BC, ∴MN＝ (AD＋BC). 若AD＝a,BC＝b,则MN＝ (a＋b). ∵AB'＝AD＋B'D＝AD＋BC, ∴MN＝ (AD＋BC). 若AD＝a,BC＝b,则MN＝ (a＋b). 1 2 返回首页 (2)如图4,MN是四边形ABCD的中位线.若AD＝a,BC＝b,且b>a,求MN的取值范围. 1 2 返回首页 解:(2)如图4,以点N为中心,将四边形ABCD旋转180°得到四边形A'B'DC, 解:(2)如图4,以点N为中心,将四边形ABCD旋转180°得到四边形 A'B'DC, 连接AB',BA',NM',则四边形ABA'B',AMM'B',MM'A'B都是平行四边形, ∴MN＝ MM',MM'＝AB',AD＝A'C,BC＝B'D. ∵在△ADB'中,B'D－AD≤AB'≤B'D＋AD(A,D,B'在同一直线上时,等 号成立), ∴BC－AD≤2MN≤BC＋AD, 即 ≤MN≤ . 若AD＝a,BC＝b,且b>a,则 ≤MN≤ . 1 2 返回首页 $$第六章　平行四边形 培优精练21　平面直角坐标系下的 平行四边形问题 1 类型1　点坐标问题 1. 如图,在平面直角坐标系中,有一个□ABCD,其中点A,B在x轴上,点D在y轴上,点C在第一象限.已知AD⊥BD,AD＝2,∠ADO＝30°.求A,B,C,D各点的坐标. 1 2 3 4 返回首页 解:∵四边形ABCD是平行四边形,点A,B在x轴上,点D在y轴上, ∴CD∥x轴,∠AOD＝∠BOD＝90°. ∵AD⊥BD,AD＝2,∠ADO＝30°, ∴OA＝ AD＝1. ∴∠DBO＝90°－∠BDO＝∠ADO＝30°, OD＝ . ∴A(－1,0),D(0, ),点C的纵坐标为 . ∵BD＝2OD, 解:∵四边形ABCD是平行四边形,点A,B在x轴上,点D在y轴上, ∴CD∥x轴,∠AOD＝∠BOD＝90°. ∵AD⊥BD,AD＝2,∠ADO＝30°, ∴OA＝ AD＝1. ∴∠DBO＝90°－∠BDO＝∠ADO＝30°, OD＝ . ∴A(－1,0),D(0, ),点C的纵坐标为 . ∵BD＝2OD, 1 2 3 4 返回首页 ∴OB＝ ＝3. ∴B(3,0), ∵CD＝AB＝OA＋OB＝1＋3＝4, ∴C(4, ). ∴OB＝ ＝3. ∴B(3,0), ∵CD＝AB＝OA＋OB＝1＋3＝4, ∴C(4, ). 1 2 3 4 返回首页 2. 如图,在平面直角坐标系中,四边形AOBC的顶点A(0,b),B(c,0).点D在AC上,BD,OC相交于点E,若E是BD的中点,且点D的坐标为(a,b).求证:四边形OBCD是平行四边形. 1 2 3 4 返回首页 证明:∵∠OAC＝∠AOB＝90°, ∴OB∥AC. ∵E是边BD的中点,B(c,0),D(a,b), ∴点E的坐标为 . 设直线OE的表达式为y＝kx. 则 ,解得k＝ . ∴y＝ x. 证明:∵∠OAC＝∠AOB＝90°, ∴OB∥AC. ∵E是边BD的中点,B(c,0),D(a,b), ∴点E的坐标为 . 设直线OE的表达式为y＝kx. 则 ,解得k＝ . ∴y＝ x. 将点C的纵坐标b代入y＝ x, 得x＝a＋c. ∴点C的坐标为(a＋c,b). 此时,DC＝a＋c－a＝c. ∵OB＝c, ∴DC＝OB. ∴四边形OBCD是平行四边形. 1 2 3 4 返回首页 类型2　动点问题 3. 【类比学习】 　　一动点沿着数轴向右平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,相当于向右平移1个单位长度.用实数加法表示为3＋(－2)＝1. 　　若坐标平面上的点作如下平移:沿x轴方向平移的数量为a(向右为正,向左为负,平移|a|个单位长度),沿y轴方向平移的数量为b(向上为正,向下为负,平移|b|个单位长度),则把有序数对{a,b}叫做这一平移的“平移量”;“平移量”{a,b}与“平移量”{c,d}的加法运算法则为{a,b}＋{c,d}＝{a＋c,b＋d}. 1 2 3 4 返回首页 【解决问题】 (1)计算:{3,1}＋{1,2};{1,2}＋{3,1}. 解:(1){3,1}＋{1,2}＝{4,3}; {1,2}＋{3,1}＝{4,3}. 解:(1){3,1}＋{1,2}＝{4,3}; {1,2}＋{3,1}＝{4,3}. 1 2 3 4 返回首页 (2)①如图,在平面直角坐标系中,动点P从坐标原点O出发,先按照“平移量”{3,1}平移到点A,再按照“平移量”{1,2}平移到点B;若先把动点P按照“平移量”{1,2}平移到点C,再按照“平移量”{3,1}平移,最后的位置还是点B吗?画出四边形OABC. ②求证:四边形OABC是平行四边形. 1 2 3 4 返回首页 解:(2)①最后的位置仍是B. 画出四边形OABC如图所示. 解:(2)①最后的位置仍是B. 画出四边形OABC如图所示. ②证明:由①知,A(3,1),B(4,3),C(1,2), ∴OC＝AB＝ ,OA＝BC＝ . ∴四边形OABC是平行四边形. ②证明:由①知,A(3,1),B(4,3),C(1,2), ∴OC＝AB＝ ,OA＝BC＝ . ∴四边形OABC是平行四边形. 1 2 3 4 返回首页 4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(－3,0),(0,6),动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时动点C从点B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位长度的速度运动.以CP,CO为邻边构造▱PCOD. 点E为线段OP延长线上的动点,且满足PE＝AO. 1 2 3 4 返回首页 (1)当点C在线段OB上运动时,求证:四边形ADEC为平行四边形. (1)证明:如图,连接CD交AE于点F. ∵四边形PCOD是平行四边形, ∴CF＝DF,OF＝PF. ∵PE＝AO, (1)证明:如图,连接CD交AE于点F. ∵四边形PCOD是平行四边形, ∴CF＝DF,OF＝PF. ∵PE＝AO, ∴AF＝EF. ∴四边形ADEC为平行四边形. ∴AF＝EF. ∴四边形ADEC为平行四边形. 1 2 3 4 返回首页 (2)当点P运动的时间为 s时,此时四边形ADEC的周长是多少? 解:(2)当点P运动的时间为 s时,OP＝ ,OC＝3,则OE＝ . 由勾股定理,得AC＝ , CE＝ . ∵四边形ADEC为平行四边形, ∴周长为 . 解:(2)当点P运动的时间为 s时,OP＝ ,OC＝3,则OE＝ . 由勾股定理,得AC＝ , CE＝ . ∵四边形ADEC为平行四边形, ∴周长为 . 1 2 3 4 返回首页 $$第六章　平行四边形 培优精练19　平行四边形性质与判定的应用1 1 类型1　判定四边形是平行四边形 1. 如图, □ABCD的两条对角线相交于点O,E是BO的中点,过点B作AC的平行线,交CE的延长线于点F,连接AF. 求证:四边形AOBF是平行四边形. 证明:∵AC∥BF, ∴∠ACF＝∠CFB. ∵∠OEC＝∠BEF,OE＝EB, ∴△OCE≌△BFE(AAS). ∴FB＝CO. ∴四边形AOBF是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO＝CO. ∴AO＝FB. 又∵AO∥BF, ∴四边形AOBF是平行四边形. 1 2 3 4 5 返回首页 2. 如图,已知△ABC为等边三角形,D,F分别为BC,AB边上的点,CD＝BF,以AD为边作等边三角形ADE. 求证:四边形CDEF是平行四边形. 证明:∵△ABC为等边三角形, ∴AC＝BC,∠ACD＝∠B＝60°. ∵CD＝BF, ∴△ACD≌△CBF(SAS). ∴∠DAC＝∠FCB,CF＝AD. ∵△AED是等边三角形, ∴CF∥DE. ∴四边形CDEF是平行四边形. ∴AD＝DE,∠ADE＝60°. ∴CF＝DE. ∵∠AGF＝∠ACG＋∠DAC＝ ∠ACG＋∠BCF＝60°, ∴CF∥DE. ∴四边形CDEF是平行四边形. 1 2 3 4 5 返回首页 3. 如图,在□ABCD中,AE平分∠BAD,交CD于点F,交BC的延长线于点E. 连接BF,AC,DE,若BF⊥AE. 求证:四边形ACED是平行四边形. 证明:在□ABCD中, ∵AD∥BC,AE平分∠BAD, ∴∠EAB＝∠EAD＝∠AEB. ∴AB＝BE. ∵BF⊥AE, ∴AF＝EF. ∴四边形ACED是平行四边形. ∵∠AFD＝∠EFC. ∴△DAF≌△CEF(ASA). ∴DF＝FC. ∴四边形ACED是平行四边形. 1 2 3 4 5 返回首页 类型2　求面积或线段的长 4. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝ BC,点E是BC的中点,连接AE,BD,若EA⊥AB,BC＝26,DC＝12,求△ABD的面积. 解:如图,连接DE. 解:如图,连接DE. ∵点E是BC的中点,BC＝26, ∴BE＝EC＝ BC＝13. ∵AD＝ BC, ∴AD＝BE＝CE＝13. ∵AD∥BE, 1 2 3 4 5 返回首页 ∴四边形ABED与四边形AECD都是平行四边形. ∴AE＝DC＝12,S△ABD＝ S▱ABED. ∵在△ABE中,∠BAE＝90°, ∴AB＝ ＝5. ∴S△ABD＝ S▱ABED＝ ×5×12＝30. ∴四边形ABED与四边形AECD都是平行四边形. ∴AE＝DC＝12,S△ABD＝ S▱ABED. ∵在△ABE中,∠BAE＝90°, ∴AB＝ ＝5. ∴S△ABD＝ S▱ABED＝ ×5×12＝30. 1 2 3 4 5 返回首页 5. 如图,在四边形ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,延长DE,BF,分别交AB于点H,交CD于点G,若AD∥BC,AE＝CF,∠DAH＝∠GBA,GF＝2,CF＝4.求AD的长. 解:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AED＝∠CFB＝90°. ∵AD∥BC, ∴∠DAE＝∠BCF. ∵AE＝CF, ∴△DAE≌△BCF(ASA). 1 2 3 4 5 返回首页 ∴AD＝CB. ∴四边形ABCD为平行四边形. ∴∠DAH＝∠BCG,AB∥CD. ∴∠CGB＝∠GBA. ∵∠DAH＝∠GBA, ∴∠CGB＝∠BCG. ∴BG＝BC. ∴AD＝BC＝5. 在Rt△CFB中, ∵BF＝BG－FG＝BC－2,CF＝4, ∴BC2＝BF2＋CF2. ∴BC2＝(BC－2)2＋42. ∴BC＝5. ∴AD＝BC＝5. 1 2 3 4 5 返回首页 $$