1.5 全称量词与存在量词课件2-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5 全称量词与存在量词（2） 学习目标 1.复习回顾全称量词与存在量词基本内容 2.会全称量词与存在量词命题的判断 3.会含有量词的命题的否定 3.会含有量词的命题求相关参数的取值范围 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ___ 全称量词命题 含有　　　　的命题 形式 “对M中　　一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” ∀ 全称量词 任意 复习回顾 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个，有些、有的 符号表示 _∃__ 存在量词命题 含有　存在量词　　　的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 “　∃x∈M，p(x)” .1.对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定： ∃x∈M， p(x) 也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：　　　　　　　. 也就是说，存在量词命题的否定是　　　　 命题. ∀x∈M，p(x) 全称量词 新知应用 例1.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x+1是奇数; (2)存在一个x∈R,使 (3)对任意实数a,|a|>0; (4)有一个角α,使sin α=. (3)是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|>0不恒成立,所以该命题是假命题. (4)是存在量词命题.因为当α=30°时,sin α= 解析　(1)是全称量词命题.因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题. (2)是存在量词命题.因为不存在x∈R,使上式成立 所以该命题是真命题. 对答案 Administrator (A) - 例2.写出下列命题的否定并判断其真假: (2)q：所有的正方形都是矩形; (3)r：∃x∈R,x2+2x+3≤0; (4)s：至少有一个实数x,使x3+1=0. (2) 至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3) ∀x∈R,x2+2x+3>0,真命题 (4) ∀x∈R,x3+1≠0,假命题. 对答案 【巩固训练】 1.写出下列全称量词命题的否定. (1)等圆的周长相等,面积相等; (2)不论m取何实数,方程x2+x+m=0必有实数根; (3)∀x∈R,x2>0. 解析　(1)存在两个全等的圆,但这两个圆的周长不相等或面积不相等. (2)存在实数m,使得方程x2+x+m=0没有实数根. (3)∃x∈R,x2≤0. 对答案 2.写出下列存在量词命题的否定. (1)有一个奇数不能被3整除; (2)有些三角形的三个内角都为60°; (3)∃n∈N,n2>2n. 解析　(1)每一个奇数都能被3整除. (2)任意一个三角形的三个内角不都为60°. (3)∀n∈N,n2≤2n. 对答案 , 重点评讲 解析　(1)不等式m+y>0可化为m>-y, 即m>（-y）max 又-y=-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 故-ymax=-4 只需m>-4即可. (2)不等式m-y>0可化为m>y,若存在一个实数x使不等式m>y成立,只需m>ymin. 又y=(x-1)2+4,所以ymin=4,故m>4. 素养案例：已知函数y=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立?并说明理由. (2)若存在一个实数x,使不等式m-y>0成立,求实数m的取值范围. 【当堂检测】 1.下列命题是存在量词命题的是(　　). A.一次函数都是单调函数 B.对任意x∈R,x2+x+1<0 C.存在实数大于或者等于3 D.菱形的对角线互相垂直 解析　选项A,B,D中的命题都是全称量词命题,选项C中的命题是存在量词命题. 答案　C 2.下列命题中的假命题是(　　). A.∃x∈R,|x|=0　　　　B.∃x∈R,2x-10=1 C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,x2+1>0 解析　当x=0时,x3=0,故选项C中的命题为假命题. 答案　C + 3.对任意x>8,x>a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 解析　∵对任意x>8,x>a恒成立,∴大于8的数恒大于a,∴a≤8.答案　a≤8 (3)全称量词命题.存在y=x2+x+1的图象与x轴不相交,故该命题为假命题. 4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假. (1)∃x∈R,|x|+2≤0; (2)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立; (3)每个二次函数的图象都与x轴相交. 解析　(1)存在量词命题. ∵∀x∈R,|x|≥0,∴|x|+2≥2, ∴不存在x∈R,使|x|+2≤0.故该命题为假命题. (2)存在量词命题. ∵x2+x+8= + 固学案 1.下列命题中,是存在量词命题的是(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.∀x∈R,x2>0 B.∃x∈R,x2≤0 C.平行四边形的对边平行 D.矩形的任一组对边相等 解析　A中含有全称量词“∀”,为全称量词命题.B中含有存在量词“∃”,为存在量词命题,满足条件.C中省略了全称量词“所有”,为全称量词命题.D中省略了全称量词“所有”,为全称量词命题. 答案　B > 5.命题“存在实数x,使x>1”的否定是(　　) A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1 D.存在实数x,使x≤1 解析　利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解.“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.故选C. 6.命题“对任意一个x∈R,都有x2-2x+4≤0”的否定是　　　　　　　　　　 　 答案　存在一个x∈R,使得x2-2x+4>0 解析　由题意可得,∀x∈R,ax2+2x+1>0恒成立. 当a=0时,ax2+2x+1=2x+1>0,显然不恒成立,不合题意. 当a≠0时,要使ax2+2x+1>0恒成立, 则 解得a>1. 综上可知,实数a的取值范围是a>1. 7.若对∀x∈R,ax2+2x+1>0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 8.下列命题中,正确的个数是(　　). ①∃x∈R,x≤0; ②至少有一个整数,它既不是合数也不是质数; ③∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数. A.0 B.1 C.2 D.3 解析　①∃x∈R,x≤0,正确;②至少有一个整数,它既不是合数也不是质数,正确, 例如数1满足条件;③∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数,正确,例如x=π. 综上可得①②③都正确.故选D. 9.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是(　　). A.二次函数都是单调函数 B.至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除 C.∀x∈{x|x>0}, 解析：对于A,该命题隐含了全称量词“所有的”,可表述为“所有的二次函数都是单调函数”,是全称量词命题,且是假命题. 对于B,命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,且是真命题. 对于C,命题中含有全称量词“∀”,是全称量词命题,当x=1时, 对于D,命题中含有全称量词“∀”,是全称量词命题,且是真命题. 解析　由题意,原命题等价于x2≤m在x∈{x|1≤x≤2}上恒成立, 根据二次函数的图象,y=x2在x∈{x|1≤x≤2}上的最大值为4, 所以m≥4,即m的最小值为4. 答案　4 10.若“∀x∈{x|1≤x≤2},x2≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　.   自习课任务： 1.做固学案第一章章末小结1--22小题 $$