1.5全称量词与存在量词课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5 全称量词与存在量词 1.理解全称量词与存在量词的定义及常见形式. 2.能运用全称量词与存在量词解决一些简单问题. 3.全称量词与存在量词及其应用.（重点、难点) 4.通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．（重点、难点) 学习目标 2 体会课堂探究的乐趣， 汲取新知识的营养， 让我们一起 吧！ 进 走 课 堂 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)x>3. (2)2x+1是整数. (3)对所有的x∈R，x>3. (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 提示：语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题. 探究点1 全称量词 （1）与(3)区别是对所有的x∈R，x>3. （2）与(4)区别是对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词，并用符号“ ”表示 含有全称量词的命题， 叫做全称量词命题. 常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” 等 【提升总结】 全称量词命题举例： 全称量词命题符号记法： 命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。 全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立 ”可用符号简记为： 读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。 要判定全称量词命题“ x∈M,p(x) ”是真命题， 需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立； 如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不 成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 判断全称量词命题真假 【解析】（1）2是素数，但2不是奇数，所以为假命题. （2）真命题. 例1 判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2） （3）对任意一个无理数x，x2也是无理数。 （3） 是无理数，但 =2是有理数.所以 为假命题. 判断下列全称量词命题的真假： （1）每个四边形的内角和都是360°； （2）任何实数都有算术平方根； （3） 【解析】（1）真命题； （2）-4没有算术平方根，所以为假命题； （3）假命题。 【变式练习】 命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数。 这是全称量词命题吗? 提示：不是。 思考： 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)2x+1=3. (2)x能被2和3整除. (3)存在一个x0∈R，使2x0+1=3. (4)至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除. 提示：语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题. 探究点2 存在量词 （1）与(3)区别是存在一个x0∈R，使2x0+1=3； （2）与(4)区别是至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除. 短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号“ ”表示. 含有存在量词的命题， 叫做存在量词命题. 常见的存在量词还有 “有些”“有一个” “对某个”“有的”等 存在量词命题举例： 存在量词命题符号记法： 命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数。 存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立 ”可用符号简记为： 读作“存在M中元素x，使p(x)成立”。 判断存在量词命题真假 要判定存在量词命题 “ x∈M, p(x)”是 真命题，只需在集合M中找到一个元素x,使 p(x)成立即可，如果在集合M中，使p(x) 成立的元素x不存在，则存在量词命题是假命题. 【解析】（1）对于x∈R， +2x+3= +2＞0恒成立，所以 +2x+3=0无解，所以为假命题. （2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线， 所以为假命题. （3）真命题. 例2 判断下列存在量词命题的真假： （1）有一个实数x，使x2+2x+3=0； （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形。 判断下列存在量词命题的真假： （1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数，使得为奇数； （3） 【变式练习】 解：（1）真命题（2）假命题（3）真命题 探究点3 全称量词命题的否定 写出下列命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0. 解：上述命题的否定可写成: （1）存在一个矩形不是平行四边形； （2）存在一个素数不是奇数； （3）x∈R，x2-2x+1<0. 经过观察，我们发现，以上三个全称量词命题的否定都可以用存在量词命题表示. 一般地, 对于含有一个量词的全称量词命题的否定, 有下面的结论: 全称量词命题p:x∈M，p（x）， 它的否定﹁p:x∈M,﹁p（x）. 例3 写出下列全称量词命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数 （2）p：每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 （3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 【解题关键】含有量词命题的否定要注意量词的变化。 【解析】（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数； （2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不在同一个圆上； （3）﹁p：x∈Z，x2的个位数字等于3. 通过上面的学习，我们可以知道： 全称量词命题的否定就是存在量词命题，所以我们只要把全称量词命题改成它相应的存在量词命题即可. 【提升总结】 思考：存在量词命题如何否定？ 探究点4 存在量词命题的否定 写出下列命题的否定： （1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）有些平行四边形是菱形； （3）x∈R, x2-2x+3=0. 经过观察，我们发现，以上三个存在量词命题 的否定都可以用全称量词命题表示. 解：上述命题的否定可写成: （1）所有实数的绝对值都不是正数； （2）每一个平行四边形都不是菱形； （3）x∈R，x2-2x+3≠0. 一般地,对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论: 存在量词命题p：x∈M，p（x）， 它的否命题﹁p: x∈M,﹁p（x）. 例4 写出下列存在量词命题的否定： （1）p：x∈R，x+2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有一个偶数是素数. 【解析】（1）﹁p：x∈R，x＋2＞0； （2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形； （3）﹁p：任意一个偶数都不是素数. 【提升总结】 通过上面的学习，我们可以知道：存在量词命题的否定就是全称量词命题，所以我们只要把存在量词命题改成它相应的全称量词命题即可. 全称量词与存在量词 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 全称量 词命题 存在量 词命题 逻辑推理：通过具体命题真假的判断，培养逻辑推理的核心素养 （1）注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化 （2）注意省略量词的命题的真假判断 （3）对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理 判断全称、存在量词命题真假的方法: （1）若全称量词命题为真，则给定集 合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一反例即可. （2）若存在量词命题为真，则给定集 合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题. 否定 否定结论   习题1.5答案 1.解（1）真命题（2）真命题（3）真命题（4）假命题 2.解（1）真命题（2）真命题（3）真命题（4）假命题 3.解 4.解 5.解 $$