第一章至第五章综合检测寒假提升练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章至第五章综合检测寒假提升 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册第一章至第五章《计数原理》. 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360 4. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共6项 B. 各项系数之和为1 C. 不含常数项 D. 系数最大项是 10. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（ ） A. B. 以为直径的圆与准线相切 C. 直线斜率为 D. 11. 已知正方体的棱长为1，点满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则平面 C. 若，则的最小值为 D. 若，则与平面的所成角为定值 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在展开式中，的系数为__________. 13. 已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为______. 14. 在棱长为3的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为__________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 16. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，面，且，为中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，当直线的斜率为0时，. （1）求椭圆的方程； （2）若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； （3）求四边形的面积的最小值. 19. 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. （1）计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； （2）证明：； （3）利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. ( 第 1 页 共 16 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章至第五章综合检测寒假提升 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C D A C C A BCD ABD ACD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【解析】B 因为，则， 若，则，解得． 2. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【详解】A 因为直线与直线平行， 所以，解之得. 于是直线，即， 所以与之间的距离为. 3. 2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360 【解析】C 第一步，先选恰有个同学所选的旅游地相同，有种； 第二步，从个旅游地中选出个排序，有种， 根据分步计数原理可得，方法有种. 4. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为， 所以，即的方程为. 5. 在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【解析】A 在二项式的展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 因为在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 所以为偶数，且中间项为第项，即，解得. 因二项式展开式的项数为，则展开式的项数是项. 6. 如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 设，则， 因为，所以， 所以， 所以，化简得， 所以，所以，即的余弦值为. 7. 圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由圆可得标准方程为， 因为圆关于直线对称， 该直线经过圆心，即，， ， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共6项 B. 各项系数之和为1 C. 不含常数项 D. 系数最大项是 【解析】BCD 对于A项，因为，所以展开式共7项，故A项错误； 对于B项，令，得各项系数之和为，故B项正确； 对于C项，展开式的通项公式为，， 令，得显然取不到，则不含常数项，故C项正确； 对于D项，设第项的系数最大，则，解得， 则，得系数最大项为：，故D项正确. 10. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（ ） A. B. 以为直径的圆与准线相切 C. 直线斜率为 D. 【解析】ABD 由题意，不妨设在第一象限，分别过作垂直于准线，垂足分别为，作图如下： 对于A，由图可知，， 在中，由，则， 易知，在中，， 由，则为线段的中点，即在中，， 所以，故A正确； 对于B，由A易知，由，则， 即，所以以为直径的圆的半径， 在直角梯形中，中位线的长度为， 则以为直径的圆的圆心到准线的距离，故B正确； 对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为， 当在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误； 对于D，，故D正确. 11. 已知正方体的棱长为1，点满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则平面 C. 若，则的最小值为 D. 若，则与平面的所成角为定值 【解析】ACD 对于A选项，因为，所以易知点为中点， 如图，连接和，由正方形易知， 因为点是的中点，所以，故A选项正确； 对于B选项，由题意得点在线段上运动， 由正方体的性质可知，所以，，，四点共面， 因为点，所以点平面， 所以平面和平面为同一平面， 所以平面，故B选项错误； 对于C选项，由题意得扫过的平面为平面， 扫过的平面为平面，所以将这两个平面独立出来展开成同一个平面， 易知当点、、三点共线时最短， 所以，故C选项正确； 对于D选项，由和易知点在以为圆心半径为的圆上运动， 因为平面，所以扫过的图形为圆锥面， 所以，且为圆锥的母线， 因为圆锥的母线与底面的夹角是恒定的， 所以与平面的所成的线面角恒定， 因为，所以，故D选项正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在展开式中，的系数为__________. 【解析】， 二项式的展开式的第项为， 令，则，令，则， 则展开式中，的系数为. 13. 已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为______. 【解析】取椭圆的左焦点，连结，    由为等边三角形，则， 可知为直角三角形，且， 设，则，， 可得，则， 所以椭圆的离心率是. 14. 在棱长为3的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为__________. 【解析】 如图，设点在平面内的投影为点,则平面, 因平面,则 因三棱柱为棱长为3的正四面体， 故,, 又，则, 即点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆. 分别以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系. 设点易得, 则, 故， 设直线与直线所成角为，则， 因，则故. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 【解析】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 16. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及． 【解析】（1）因为抛物线的焦点到其准线的距离为2， 所以， 的方程为． （2）设，则， 两式相减得， ， ， 联立，消去整理得， ， ∵直线过抛物线的焦点， ． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，面，且，为中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）取的中点，的中点，连接， 所以，，又是中点，为正方形， ，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为，所以，又，则， 所以，则， 所以，平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，为正方形，所以两两互相垂直， 以点为坐标原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得， ， 设直线与平面所成角为， 则. 18. 已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，当直线的斜率为0时，. （1）求椭圆的方程； （2）若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； （3）求四边形的面积的最小值. 【解析】（1）当直线的斜率为0时，直线垂直于轴， 所以，，所以， 因为在椭圆上，所以， 解得，，所以椭圆方程为； （2） F1(-1,0)，F2(1,0)，设P(x，y) 则， 因为， 所以的取值范围为； （3）（ⅰ）当的斜率存在且时，设的方程为，代入椭圆方程， 并化简得. 设，， 而恒成立， 则，， . 因为，所以的斜率为， 同理得. 四边形的面积， 当且仅当时，上式取等号. （ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积为 . 综上，四边形的面积的最小值为. 19. 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. （1）计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； （2）证明：； （3）利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 【解析】（1），， 规律：，证明如下： 的展开式中，的系数为， 同时，的展开式中的系数为， 所以. （2）证明：的展开式中的系数为， 又，的展开式中的系数为 ， 所以. （3）证明：由（1）可知， 由（2）可知， 两式相减可得， 即. 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