第一章空间向量与立体几何寒假提升练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章《空间向量与立体几何》寒假提升 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B B C C A D ACD AC BC 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 由题知，为的中点，设 则，解得，即 2. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【解析】B 因为，所以， 又因为，所以， 解得： 3. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B 因为，所以 故 . 4. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【解析】B . 5. 在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 因为 所以， 所以, 又因为侧棱与底面垂直， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示 易得， 所以, 设异面直线与所成角为，则 所以异面直线与所成角的余弦值为. 6. 若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 因为、、为三个不共面的空间向量， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，，解得. 7. 已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 8. 在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 在棱长为2的正方体中，取正方形的中心，连接， 由Q是正方形的中心，得平面，则是PQ与平面所成的角， 则，而，于是，， 因此动点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其面积为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法命题正确的是（ ） A. 已知，则在上的投影向量为 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D. 若向量（是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【解析】ACD A：由题设在上的投影向量为，对； B：由，则或，错； C：点为平面上的一点，且， 根据空间向量共面的推论知：，则，对； D：令在基底下坐标为， 由题意， 所以，可得，即在基底下的坐标为，对； 10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 的长为 【详解】AC ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 11. 点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A. 当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大． B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 【解析】BC 对于A，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A不正确； 对于B，与所成角即与所成，为等边三角形， 当P在端点A，时，所成角最小，为，当P在中点时，所成角最大为，故B正确； 对于C，如图建系，由， 设，则 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以，可得， 所以，当时，等号成立，正确. 对于D， 因为直线与平面所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆， 故的轨迹长度为，故D错误. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正三棱锥中，是的中心，，则______________． 【解析】如图： 首先：，. 又. 所以. 13. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，已知点，则点到平面的距离为_________. 【解析】由题意，平面的一个法向量为，，所以， 所以点到平面的距离. 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________． 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 易得不重合，设，其中，且， 所以，所以，， 因为平面，所以，可得，所以，， 因为平面，所以的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 则， 当，可得，因为，所以 当，可得，因为，所以， 所以与平面所成的角的范围是为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）∵，， ∴，， ∴； （2）设与的夹角为，则， ，，，， ∴， ∴向量与夹角的余弦值为. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）求点F到平面的距离. 【解析】（1）不妨设，则，如图建立空间直角坐标系， 则 所以 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， 又，所以，因为平面，所以平面. （2）设是平面的一个法向量，， 则，令，则，即， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为，平面的一个法向量， 所以F到平面的距离为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）因为平面，，平面， 可知，， 在中，为的中点，则， 因为，所以，则，， 在中，， 即， 所以，即， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）由题意可知：平面， 所以是斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角， 在中，，所以． 又因为，故，，两两垂直， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为， 则，即，可取； 设平面的法向量为， 则，即，可取； 从而可知， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 18. 如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． （1）求点P到平面ABCM的最大距离； （2）若棱PB的中点为N，求CN的长； （3）设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 【解析】（1） 由题意可知，当平面平面时， 点P到平面ABCM的距离最大， 因为，，点是边的中点， 所以，取的中点为，连接， 则，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以P到平面ABCM的最大距离为. （2） 取中点，连接，， 则因为为中点，所以为的中位线， 所以且， 因为为的中点，四边形为矩形， 所以且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 所以. （3）连接， 因为，所以， 所以为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 过作于点，由题意得平面， 设，所以，， 所以，所以， ， 设平面的法向量为， 则， ， 令，则， 设平面的法向量为， 因为， 则， 可得， 令，则， 设两平面的夹角为， 则 ， 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为. 19. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 【解析】（1）由题可知： ,，， ，. 在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 因为， 则函数的图像是图中加粗部分折线， 直线与交于点， 直线与直线交于点， 由图可知，当时，有最小值4. （2）, 因为， 所以,, 所以. （3）因为P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，则球面方程为， 面的方程为，即，一个法向量为， 平面是取最小值的必要条件，证明如下： 不妨取，若平面于， 显然，则且，所以， 对于面上任意点都有，即， 所以，仅当重合时取等号， 综上，取最小，必有平面， 由，当共线时取等号，故最小值在共线且平面时取得， 此时且，则，即， 所以， 取且，则，即， 所以， 综上，、时最小. ( 第 1 页 共 20 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《空间向量与立体几何》寒假提升 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 5. 在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法命题正确的是（ ） A. 已知，则在上的投影向量为 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D. 若向量（是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 的长为 11. 点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A. 当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大． B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正三棱锥中，是的中心，，则______________． 13. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，已知点，则点到平面的距离为_________. 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）求点F到平面的距离. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值. 18. 如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． （1）求点P到平面ABCM的最大距离； （2）若棱PB的中点为N，求CN的长； （3）设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 19. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. ( 第 1 页 共 20 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$