平面向量（概念，运算，基本定理,共线）课件-2025届高三数学二轮复习

平面向量 二轮专题复习 （概念、运算、基本定理、共线） 授课人： 1 目录 CATALOG 概念与运算 01 平面向量基本定理与应用 02 平面向量共线的充要条件及其应用 03 课后练习 04 2 01 概念与运算 3 知识点精讲 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 4 知识点精讲 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 5 知识点精讲 3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁． （1）若＝λ ＋μ (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. （2）P为线段AB的中点 ． 6 知识点精讲 4.向量的坐标运算 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 向量的加减法 ，， 向量的数乘运算 ，则： 向量的模 ，则的模 相反向量 已知，则； 单位向量 向量的平行关系 ，， 7 经典例题 下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8 经典例题 【答案】A 【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误； 对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确； 对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误； 对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误. 故选：A 9 经典例题 已知命题 在△中，若， 则；命题向量与向量相等的充要条件是且.下列四个命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 10 经典例题 【答案】A 【分析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可. 【详解】命题：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题为真命题； 命题：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，则命题是假命题. 则为真命题. 故选：A 11 经典例题 （辽宁·高考真题）已知点则与同方向的单位向量为 A． B． C． D． 12 经典例题 【答案】A 【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A. 考点：向量运算及相关概念. 13 经典例题 （2020·新高考全国2卷·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A．B． C． D． 14 经典例题 【答案】C 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 15 经典例题 （四川·高考真题）如图，正六边形中，（    ） A． B． C． D． 16 经典例题 【答案】D 【详解】将平移到，平移到， 故， 故选D. 本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算 考点：向量的加法. 17 经典例题 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，.已知，且，则的值为（    ） A．16 B．18 C．20 D．24 18 经典例题 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标运算得，利用正弦定理及余弦定理化简求值即可. 【详解】因为向量，，， 所以，由正弦定理及可知，， 由余弦定理可得，则. 故选：D. 19 经典例题 设向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20 经典例题 【答案】B 【分析】根据得到或，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】若，则，整理得，所以或， 所以不能推出，而能推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 21 02 平面向量基本定理与应用 22 知识点精讲 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一． 23 知识点精讲 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 应用平面向量基本定理应注意的问题 只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． 利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算. 24 知识点精讲 3．形如条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得 则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 25 知识点精讲 4、中确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解 26 经典例题 如图，在中，点D是边AB上一点且，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是的平分线，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 27 经典例题 【答案】C 【解析】因为BF是的平分线，所以存在一个实数使得，（根据角平分线的条件，选择合适的基底） 因为E是边BC的中点，所以，又点A，E，F共线，所以①．（三点共线的应用：（，为实数），若A，B，C三点共线，则） 因为，所以，又点C，F，D共线，所以②，联立①②，得，则，即. 故选：C． 28 经典例题 已知为的重心，，则（    ） A． B． C． D． 29 经典例题 【答案】B 【分析】取的中点，连接，根据重心的性质得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以，则 取的中点，连接，则， 又， 所以. 故选：B 30 经典例题 在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则（    ） A． B． C． D． 31 经典例题 【答案】A 【分析】设中点为，根据线面关系可得与的交点为，再根据平面向量基本定理，结合共线定理，设，求解即可. 【详解】连接如图，设中点为，，连接，由共面可知，与平面的交点即与的交点. 因为，，，设， 则，设， 则，故， 故，解得，代入可得，即. 32 经典例题 （全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 33 经典例题 答案：A 解析：由图可想到“爪字形图得：，解得： 34 经典例题 （多选）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D．2 35 经典例题 【答案】BC 【分析】分点内分与外分线段讨论，再由向量的线性运算求解即可. 【详解】当点在线段上时，如图， ， 所以， 当点在线段的延长线上时，如图， ， 则， 故选：BC. 36 03 平面向量共线的 充要条件及其应用 37 知识点精讲 1．平面向量共线的充要条件及其应用 1、平面向量共线定理：已知，若，则三点共线；反之亦然． 2、两平面向量共线的充要条件有两种形式： （1）若向量，，则的充要条件是； （2）若，则． 38 经典例题 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 39 经典例题 【答案】A 【分析】利用向量加减法的几何意义即三角形法则与平行四边形法则，进行运算即可. 【详解】点F在BE上且为中点，且E是对角线AC上靠近点的三等分点， 则 ， 故选：A. 40 经典例题 已知，，均为单位向量，满足，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．-1 41 经典例题 【答案】B 【分析】首先确定向量的夹角，从而构建单位圆，确定向量的坐标，并利用三角函数表示，并利用三角函数求最小值. 【详解】，所以， 根据，，则,, 如图，建立平面直角坐标系，设，，，， 由，可知，， 得，，， 其中，所以，则， 所以当时， 所以的最小值是. 故选：B 42 经典例题 在中，，，与交于点，若，则的值为__________. 43 经典例题 【答案】 【解析】由已知可得，，. 因为，三点共线，设，. ，则. ， 又， 因为三点共线，则存在，使得，即， 因为，不共线，所以有，解得， 所以，，即，，. 故答案为：. 44 04 课后习题 45 课后习题 下列关于平面向量的说法错误的是（    ） A．且，则与一定共线 B．且则 C．且 ，则 D．且，，则 46 课后习题 【答案】C 【分析】考虑，中有无零向量，判断得到A正确，计算，B正确，举反例，得到C错误，考虑，中有无零向量，判断得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：当，中至少有一个零向量时，与共线； 当，均不是零向量时，若，则，此时，， 故与共线； 若，则，，则与共线，正确； 对选项B：，，故，正确； 对选项C：当，时，取满足条件，此时，错误； 对选项D：当，中至少有一个零向量时，与共线； 当，均不是零向量时，，则，，则，故，，故，正确； 故选：C. 47 课后习题 在中，，分别是边，上的点，且，，点是线段上异于端点的一点，且满足，则_________． 48 课后习题 【答案】8 【解析】因为，， 所以，， 即，， 因为，所以， 即，即， 因为，，三点共线，故，解得． 故答案为： 49 THANKS 谢谢 50 $$