专题18 锐角三角函数与解直角三角形-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题18 锐角三角函数与解直角三角形 课标要求 考点 考向 1．掌握特殊三角函数值及其求解方法． 2．掌握解直角三角形及其应用 锐角三角函数以及解直角三角形 考向一 锐角三角函数概念及解直角三角形 考向二 三角函数综合应用 考点 锐角三角函数及解直角三角形 ►考向一 锐角三角函数概念及解直角三角形 易错易混提醒 一些特殊角的三角函数值 1．（2024•浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【答案】（1）14； （2）． 【分析】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长； （2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8； ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝＝7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴＝＝， ∴sin∠DAE＝＝＝． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 2．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值． 【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b， ∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β， ∴， ∴（b﹣a）2＝ab， ∴a2+b2＝3ab， ∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH， ∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3， ∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n， ∴n＝3． 故选：C． 【点评】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab是解题的关键． ►考向二 三角函数综合应用 1．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（　　） A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m 【答案】B 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图， ∵它是一个轴对称图形， ∴AB＝AC， ∵AD⊥BC， ∴BD＝BC＝3m， 在Rt△ADB中， ∵tan∠ABC＝， ∴AD＝BD•tanα＝3tanα m． ∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m， 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得AD的长是解题的关键． 2．（2023•衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（　　） A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα 【答案】D 【分析】过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF＝bsinα，BG＝a，根据点A到桌面的最大高度＝BG+AF，即可求得答案 【解答】解：如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G， 在Rt△ABF中，AF＝AB•sinα＝bsinα， 在Rt△BCG中，BG＝BC•sin45°＝a×＝a， ∴点A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsinα， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题． 3．（2023•宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． （1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β． （2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】（1）β＝90°﹣α； （2）气球A离地面的高度AD是60m． 【分析】（1）由已知直接可得答案； （2）设AD＝x m，可得CD＝AD＝x m，BD＝（20+x）m，而tan∠ABD＝，有0.75＝，即可解得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：β＝90°﹣α； （2）设AD＝x m， ∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°， ∴CD＝AD＝x m， ∵BC＝20m， ∴BD＝（20+x）m， 在Rt△ABD中，tan∠ABD＝， ∴tan37°＝，即0.75＝， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是分式方程的解， ∴AD＝60（m）， 答：气球A离地面的高度AD是60m． 【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义． 4．（2023•绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°． （1）求∠GAC的度数； （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长OA，ED交于点M，根据垂直定义可得∠AOB＝90°，从而利用平行线的性质可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差关系求出MO的长，比较即可解答． 【解答】解：（1）∵CG⊥CD， ∴∠ACG＝90°， ∵∠AGC＝32°， ∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°， ∴∠GAC的度数为58°； （2）该运动员能挂上篮网， 理由如下：延长OA，ED交于点M， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵DE∥OB， ∴∠DMA＝∠AOB＝90°， ∵∠GAC＝58°， ∴∠DAM＝∠GAC＝58°， ∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°， 在Rt△ADM中，AD＝0.8米， ∴AM＝AD•sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米）， ∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米）， ∵2.924米＜3米， ∴该运动员能挂上篮网． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2023•温州）根据背景素材，探索解决问题． 测算发射塔的高度 背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度 问题解决 任务1 分析规划 选择两个观测位置：点 　A　和点 　B（答案不唯一）　． 获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离． 任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度MN． 任务3 换算高度 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm． 【答案】任务1：A、B；tan∠FAN＝，tan∠MAF＝，tan∠MBG＝，测得图上AB＝4mm； 任务2：MN＝18mm； 任务3：43.2m． 【分析】通过作垂线，构造直角三角形，依据直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：任务1：【分析规划】选择点A和点B（答案不唯一）， 故答案为：A、B（答案不唯一）； 【获取数据】tan∠FAN＝，tan∠MAF＝，tan∠MBG＝，测得图上AB＝4mm； 任务2：如图1，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，则FG＝AB＝4mm， 设MF＝x mm，则MG＝（x+4）mm， ∵tan∠MAF＝＝， tan∠MBG＝＝， ∴AF＝4x，BG＝3x+12， ∵AF＝BG，即4x＝3x+12， ∴x＝12， 即MF＝12mm， ∴AF＝BG＝4x＝48（mm）， ∵tan∠FAN＝＝， ∴FN＝6mm， ∴MN＝MF+FN＝12+6＝18（mm）， 任务3：测得图上DE＝5mm，设发射塔的实际高度为h m，由题意得， ＝， 解得h＝43.2（m）， ∴发射塔的实际高度为43.2m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 6．（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67） 【答案】AC的长约为80cm． 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝120cm，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°， ∴tanB＝， ∴AC＝AB•tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80（cm）， ∴AC的长约为80cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 1．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA＝，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【答案】A 【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论． 【解答】解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°， ∴0°＜∠A＜30°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 2．（2024•温州模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 【答案】A 【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： ∵∠BAC＝88°，∠C＝42°， ∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°， 在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°， ∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 3．（2020•西湖区校级模拟）在锐角△ABC中，，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得出∠C＝60°，∠B＝45°，进而得出答案． 【解答】解：∵， ∴tanC＝，sinB＝， ∴∠C＝60°，∠B＝45°， ∴∠A＝75°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 4．（2022•西湖区校级二模）图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若∠ABC＝α，AB＝1，则CD的长为（　　） A．sinα﹣cosα B． C．cosα﹣sinα D． 【答案】A 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的的定义求出AC，BC的长，即可解答． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝α，AB＝1， ∴AC＝ABsinα＝sinα，BC＝ABcosα＝cosα， 由题意得： AC＝BD＝tanα， ∴CD＝BD﹣BC＝sinα﹣cosα， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键． 5．（2024•湖州一模）如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（　　） A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm 【答案】D 【分析】过点B作BM⊥AC2于点M，根据含30°角的直角三角形的性质求出BM＝3cm，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出C1M＝C2M＝cm，根据线段的和差求解即可． 【解答】解：过点B作BM⊥AC2于点M， ∵∠A＝30°，BM⊥AC2，AB＝6cm， ∴BM＝AB＝3cm， ∵BC1＝BC2＝4cm，BM⊥AC2， ∴C1M＝C2M＝＝cm， ∴C1C2＝2cm， 故选：D． 【点评】此题考查了解直角三角形，根据题意作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键． 6．（2024•温州模拟）“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示，AC⊥BC，AC＝3米，测得某地夏至正午时“表”的影长CD＝1米，冬至时的正午太阳高度角∠ABC＝α，则夏至到冬至，影长差BD的长为（　　） A．（3sinα﹣1）米 B．米 C．（3tanα﹣1）米 D．米 【答案】D 【分析】根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AC＝3米， ∴BC＝＝（米）， ∵CD＝1米， ∴BD＝BC﹣CD＝（﹣1）米， ∴影长差BD的长为（﹣1）米， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．（2023•拱墅区校级二模）若cosA＝，则锐角∠A＝　60°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【解答】解：∵cosA＝， ∴锐角∠A＝60°． 故答案为：60°． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 8．（2024•西湖区一模）如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若△ABC的顶点都在格点上，则sinC的值为 　　． 【答案】． 【分析】连接格点B、D，利用勾股定理先求出AB、AD、BD、BC的长，再利用勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，最后利用直角三角形的边角间关系得结论． 【解答】解：连接格点B、D． 由题图知：AB＝＝，BC＝＝， BD＝＝2，AD＝＝． ∵AD2+BD2＝2+8＝10，AB2＝10， ∴AD2+BD2＝AB2． ∴△ABD是直角三角形． ∴∠ADB＝90°． ∴∠BDC＝90°． 在Rt△BDC中， sinC＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的边角间关系等知识点是解决本题的关键． 9．（2024•瓯海区校级三模）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方（CDIH）与青方（ABCD）是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，BE＝6． （1）四边形KIDG的面积为 　　； （2）连结CF，则tan∠DCF的值为 　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）首先证明△AEL∽△BCE，求出正方形ABCD的边长，得出tan∠BCE，再求出正方形GDIH的边长为6，根据tan∠DCG＝tan∠BCE，求出IK，由梯形面积公式得四边形KIDG的面积； （2）连接CA，延长CE，过点A作AQ⊥CE交CE的延长线于点Q，证明△AEQ∽△CEB，求出OE＝1.2，AQ＝1.6，求出tan∠ACQ，从而可得结论． 【解答】解：（1）根据题意知，四边形FECG是正方形， ∴∠FEC＝∠ECG＝90°， ∵四边形ABCD，DIHG是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠GDC＝∠BAC＝90°，AB＝BC＝CD， ∴∠AEL+∠ALE＝90°， ∴∠FEC＝90°， ∴∠AEL+∠BEC＝90°， ∴∠ALE＝∠BEC， ∵∠EAL＝∠CBE＝90°， ∴△AEL∽△BCE， ∴， 设BC＝a，则AE＝AB﹣BE＝a﹣6， ∴， 解a＝8， ∴AB＝BC＝CD＝8， ∴AE＝2， ∴tan∠BCE＝＝＝， ∵∠ECG＝∠BCD＝90°， ∴∠DCG＝∠BCE， ∴tan∠DCG＝tan∠BCE＝＝， ∴DG＝DC＝6， ∴DI＝DG＝6， ∴CI＝DC﹣DI＝2， 又， ∴IK＝， ∴四边形KIDG的面积为：（IK+DG）•DI＝×（3+6）×6＝， 故答案为：； （2）连接CA，延长CE，过点A作AQ⊥CE交CE的延长线于点Q， 在Rt△BCE中，BE＝6，BC＝8， ∴CE＝＝＝10， ∵∠AQE＝∠B＝90°，∠AEQ＝∠CEB， ∴∠AEQ∽△CEB， ∴， ∴， ∴QE＝1.2，AQ＝1.6， 在Rt△AQC中， tan∠ACQ＝＝＝＝， ∵∠GCF＝∠BCA＝45°，且∠DCG＝∠BCE， ∴∠DCF＝∠ACQ， ∴tan∠DCF＝tan∠ACQ＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理以及锐角三角形函数，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 10．（2024•鄞州区模拟）如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，∠ABC＝45°，当梯子底端点B水平向左移动到点B′，端点A沿墙竖直向上移动到点A′，设∠A'B'C＝α，则AA′的长可以表示为 　（sinα﹣1）m　． 【答案】（sinα﹣1）m． 【分析】根据题意可得：AC⊥CB，AB＝A′B′，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB＝，从而可得AB＝A′B′＝m，再在Rt△A′CB′中，利用锐角三角函数的定义求出A′C的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AC⊥CB，AB＝A′B′， 在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝1m， ∴AB＝＝＝（m）， ∴AB＝A′B′＝m， 在Rt△A′CB′中，∠A′B′C＝α， ∴A′C＝A′B′•sinα＝sinα（m）， ∴AA′＝A′C﹣AC＝（sinα﹣1）m， ∴AA′的长可以表示为（sinα﹣1）m， 故答案为：（sinα﹣1）． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 11．（2024•温州模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是边AB上一点，E是CD的中点，C关于直线BE对称的点为C′，CC′交AB于点F． （1）若∠ACF＝α，则∠FBC′＝　45﹣2α．　度（用含α的代数式表示）． （2）若，则tan∠FBC′＝　　． 【答案】（1）45﹣2α； （2）． 【分析】（1）延长BE交CF于P，根据轴对称的性质得CP＝C'P，BP⊥CF，∠CBE＝∠C'BE，根据等腰直角三角形性质得AC＝BC，∠A＝∠CBA＝45°，则∠CBE＝∠C'BE＝∠ACF＝α，由此可得∠FBC'的度数； （2）过点E作EG∥AC交AB于G，交BC于H，则∠BHE＝∠ACB＝90°，进而得△BHG为等腰直角三角形，则GH＝BH，证明EG为△ACD的中位线得AC＝2EG，由（1）可知∠CBE＝∠C'BE＝∠ACF，则tan∠CBE＝tan∠C'BE＝tan∠ACF＝，在Rt△BEH中，tan∠CBE＝＝，设EH＝a，则BH＝3a，进而得GH＝BH＝3a，EG＝2a，则AC＝BC＝4a，CH＝a，由此得△CEH为等腰直角三角形，则∠CEH＝∠ECH＝45°，此时CD⊥AB，设AD与BC'交于N，过N作NM⊥BE于M，由勾股定理分别求出BE＝，AB＝，则CD＝AD＝BD＝，进而得DE＝，在Rt△BED中，tan∠BED＝＝2，在Rt△EMN中，tan∠BED＝＝2，则MN＝2EM，在Rt△BMN中，tan∠C'BE＝＝，则BM＝3MN＝6EM，进而得EM＝BE＝，则MN＝2EM＝，再由由勾股定理求出EN＝，则DN＝DE﹣EN＝，然后在Rt△BDN中，根据tan∠FBC′＝可得出答案． 【解答】解：（1）延长BE交CF于P，如图1所示： ∵C关于直线BE对称的点为C′， ∴CP＝C'P，BP⊥CF，∠CBE＝∠C'BE， ∴∠CBE+∠BCF＝90°， ∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠CBA＝45°，∠ACF+∠BCF＝90°， ∴∠CBE＝∠ACF＝α， ∴∠CBE＝∠C'BE＝α， ∴∠CBC'＝2α， ∴∠FBC'＝∠CBA﹣∠CBC'＝45°﹣2α， 故答案为：45﹣2α． （2）过点E作EG∥AC交AB于G，交BC于H，如图2①所示： 则∠BHE＝∠ACB＝90°， ∴△BHG为等腰直角三角形， ∴GH＝BH， ∵点E为CD的中点， ∴EG为△ACD的中位线， ∴AC＝2EG， 由（1）可知：∠CBE＝∠C'BE＝∠ACF， ∵tan∠ACF＝， ∴tan∠CBE＝tan∠C'BE＝tan∠ACF＝， 在Rt△BEH中，tan∠CBE＝＝， 设EH＝a，则BH＝3a， ∴GH＝BH＝3a， ∴EG＝GH﹣EH＝2a， ∴AC＝2EG＝4a， ∴AC＝BC＝4a， ∴CH＝BC﹣BH＝a， ∴AH＝EH＝a， 又∵∠BHE＝90°， ∴△CEH为等腰直角三角形， ∴∠CEH＝∠ECH＝45°， ∴△BCD为等腰直角三角形，即CD⊥AB， 设AD与BC'交于N，过N作NM⊥BE于M，如图2②所示： 在Rt△BEH中，EH＝a，BH＝3a， 由勾股定理得：BE＝＝， 在Rt△ABC中，AC＝BC＝4a， 由勾股定理得：AB＝＝， ∵CD⊥AB， ∴CD＝AD＝BC＝AB＝， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CD＝， 在Rt△BED中，tan∠BED＝＝＝2， 在Rt△EMN中，tan∠BED＝＝2， ∴MN＝2EM， 在Rt△BMN中，tan∠C'BE＝＝， ∴BM＝3MN＝6EM， ∴BE＝BM+EM＝7EM， ∴EM＝BE＝， ∴MN＝2EM＝， 在Rt△EMN中，由勾股定理得：EN＝＝＝， ∴DN＝DE﹣EN＝＝， 在Rt△BDN中，tan∠FBC′＝＝＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 12．（2024•下城区校级三模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则tan∠ADB＝　　． 【答案】． 【分析】过点B作AC的垂线，构造出直角三角形，再根据BD平分△ABC的周长及正切的定义即可解决问题． 【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABC中， AC＝， 又∵， ∴BM＝． 在Rt△ABM中， AM＝． ∵BD平分△ABC的周长， ∴AB+AD＝， ∴AD＝15﹣5＝10， ∴DM＝10﹣＝． 在Rt△BDM中， tan∠ADB＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，过点B作AC的垂线构造出合适的直角三角形及熟知勾股定理和正切的定义是解题的关键． 13．（2024•浙江模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AC2﹣AB2＝BC2﹣2，S△ABC＝，则tanB＝　　. 【答案】． 【分析】根据勾股定理及三角形面积公式求解即可． 【解答】解：在Rt△ADC中，由勾股定理得， AC2＝AD2+CD2， 同理AD2+BD2＝AB2， ∵AC2﹣AB2＝BC2﹣2，即AD2+CD2﹣AD2﹣BD2＝（BD+CD）2﹣2， ∴AD2+CD2﹣AD2﹣BD2＝BD2+2BD•CD+CD2﹣2， 即2BD2+2BD•CD＝2， ∴BD2+BD•CD＝1， ∴BD•（BD+CD）＝1， 即BD•BC＝1， ∵S△ABC＝＝BC•AD＝××AD＝×＝tanB， ∴tanB＝×2＝， 故答案为：． 【点评】此题考查了解直角三角形，熟记勾股定理及三角形面积公式求解关键． 14．（2024•西湖区校级三模）如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝　8　m．（结果保留根号） 【答案】8． 【分析】根据AB的坡度为1：，AB＝8，可得AE的长，再根据AB改为坡度为1：2可以求出PE的长，根据勾股定理即可求出新坡面AP． 【解答】解：∵AB的坡度为1：，AB＝8， 设AE＝a，则BE＝a， ∴AB＝a＝8，故a＝8， 在Rt△APE中，坡度为1：2， ∴PE＝2a，故AP＝a＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点． 15．（2024•绍兴一模）图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆AB，BC，CD，DA的长度均为20cm，螺杆AC与水平地面平行． （1）当∠DAC＝30°时，求千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长． （2）当∠DAC由30°变为40°时，千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长将增加多少？ （结果精确到0.1cm．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73） 【答案】（1）当∠DAC＝30°时，BD的长为20cm； （2）当∠DAC由30°变为40°时，千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长将增加5.6cm． 【分析】（1）连接BD，易证四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，△ABD为等边三角形，BD＝AD，进而作答即可； （2）连接BD交AC于点O，根据菱形ABCD，△AOD为直角三角形，且BD＝2DO，根据三角函数作答即可． 【解答】解：（1）连接BD，如图， ∵AB＝BC＝CD＝AD＝20cm， ∴四边形ABCD为菱形， ∴∠BAD＝2∠DAC＝60°， 又∵AB＝AD， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD＝AD＝20cm， ∴当∠DAC＝30°时，BD的长为20cm； （2）连接BD交AC于点O，如图， ∵AB＝BC＝CD＝AD＝20cm， ∴四边形ABCD为菱形， AC，BD为菱形的对角线， ∴△AOD为直角三角形，BD＝2DO， 在Rt△AOD中，∠DAC＝40°， DO＝AD•sin40°≈20×0.64＝12.8（cm）， ∴BD＝2DO＝25.6（cm）， 25.6﹣20＝5.6（cm）， ∴当∠DAC由30°变为40°时，千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长将增加5.6cm． 【点评】本题考查菱形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线． 16．（2024•拱墅区校级模拟）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°． （参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈） （1）求点P到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，根据题意可得：MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1m，然后在Rt△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答； （2）由题意得：QN＝7m，在Rt△△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，再利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠MPF＝53°，然后利用线段的和差关系求出QG＝3m，从而在Rt△PQG中，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠QPG的值，进而求出∠QPG的度数，最后利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F， 由题意得：MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1m， 在Rt△PFM中，∠PMF＝37°，PM＝5m， ∴PF＝PM•sin37°≈5×＝3（m）， ∴PG＝PF+FG＝3+1＝4（m）， ∴点P到地面的高度约为4m； （2）由题意得：QN＝7m， 在Rt△△PFM中，∠PMF＝37°，PF＝3m， ∴∠MPF＝90°﹣∠PMF＝53°，FM＝≈＝4（m）， ∴FM＝GN＝4m， ∴QG＝QN﹣GN＝7﹣4＝3（m）， 在Rt△PQG中，tan∠QPG＝＝， ∴∠QPG≈37°， ∴∠QPM＝∠QPG+∠MPG＝90°， ∴∠QPM的度数约为90°． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17．（2024•定海区三模）我国有登高祈福的传统．春节期间，在山西省永济市鹳雀楼景区，游客纷纷登上鹳雀楼，极目远眺黄河，感受唐代诗人王之涣《登鹳雀楼》“欲穷千里目，更上一层楼”的意境．某“综合与实践”小组来到鹳雀楼景区，开展了测量鹳雀楼高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用寒假完成了实地测量．他们在鹳雀楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了鹳雀楼顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了三次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）： 课题 测量山西省永济市鹳雀楼的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：线段GH表示鹳雀楼，测角仪的 高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H 在同一条水平直线上，A，B之间的距 离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D 都在同一竖直平面内，点C，D，E在同 一条直线上，点E在GH上． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值 ∠GCE的度数 54.6° 54.8° 54.7° 54.7° ∠GDE的度数 62.6° 62.5° 62.7° 62.6° A，B之间的距离 13.81m 13.85m 13.83m （1）任务一：三次测量A，B之间的距离的平均值是 　13.83　m． （2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出鹳雀楼的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54.7°≈0.82，cos54.7°≈0.58，tan54.7°≈1.41，sin62.6°≈0.89，cos62.6°≈0.46，tan62.6°≈1.93） 【答案】鹳雀楼的高度约为71.1m． 【分析】（1）根据求算术平均数的方法进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：CE⊥GH，AC＝BD＝EH＝1.5m，AB＝CD＝13.83m，然后设DE＝x m，则CE＝（x+13.83）m，分别在Rt△DEG和Rt△CEG中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：＝13.83（m）， ∴三次测量A，B之间的距离的平均值是13.83m， 故答案为：13.83； （2）由题意得：CE⊥GH，AC＝BD＝EH＝1.5m，AB＝CD＝13.83m， 设DE＝x m， ∴CE＝CD+DE＝（x+13.83）m， 在Rt△DEG中，∠GDE＝62.6°， ∴GE＝DE•tan62.6°≈1.93x（m）， 在Rt△CEG中，∠GCE＝54.7°， ∴GE＝CE•tan54.7°≈1.41（x+13.83）m， ∵GE+EH＝GH， ∴1.41（x+13.83）＝1.93x， 解得：x≈36.06， ∴GE＝1.93x≈69.60（m）， ∴GH＝GE+EH＝69.60+1.5≈71.1（m）， ∴鹳雀楼的高度约为71.1m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 18．（2024•余姚市校级四模）某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸柱AB，EF，折叠栏BC，CD构成，折叠栏BC绕点B转动从而带动折叠栏CD平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，EF⊥AE垂足分别为A，E，CD∥AE．已知BC＝1.8米，CD＝2.7米，AB＝EF＝1.2米，AE＝4.5米，请完成以下计算（参考数据：，） （1）若∠ABC＝135°，求点C距离地面的高度．（结果精确到0.1米） （2）若∠ABC＝150°，请问一辆宽为3米，高为2.5米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 【答案】（1）点C距离地面的高度为2.5米； （2）一辆宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸． 【分析】（1）过点C作CM⊥AE于点M，过点B作BN⊥CM于点N，在Rt△BCN中，根据三角函数求出CN，再根据CM＝CN+MN，即可作答； （2）当∠ABC＝150°，在Rt△BCN中，根据三角函数求出CN和BN，再根据CM＝CN+MN，比较高度和宽度即可作答； 【解答】解：（1）过点C作CM⊥AE于点M，过点B作BN⊥CM于点N， ∴四边形ABNM为矩形， ∴AB＝MN，∠ABN＝90°， ∵∠ABC＝135°， ∴∠CBN＝45°， 在Rt△BCN中， CN＝BC≈1.3（米）， ∴CM＝CN+MN＝1.3+1.2＝2.5（米）， ∴点C距离地面的高度为2.5米； （2）根据题意四边形ABNM为矩形， ∴AB＝HG，∠ABN＝90°， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBN＝60°， 在Rt△BCN中， CN＝BC≈1.5（米），BN＝BC＝0.9（米）， ∴CM＝CN+MN＝1.5+1.2＝2.7（米）， 2.7＞2.5， BN＝AM＝0.9米， ME＝AE﹣AM＝4.5﹣0.9＝3.6（米）， 3.6＞3， ∴一辆宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线． 19．（2024•萧山区二模）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB∥CD∥l，车轮半径为32cm，∠ABC＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为84cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过点E作EG⊥CD于点G，根据64°的正弦值可得DE的长，加上半径的长即为坐垫E到地面的距离； （2）算出坐垫E′到CD的舒适距离，根据64°的正弦值可得CE′长度，减去CE长即为EE′的长度． 【解答】解：过点E作EG⊥CD于点G， ∴∠EGC＝90°． ∵BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm， ∴CE＝70（cm）． ∵∠ABC＝64°，AB∥CD， ∴∠ECD＝64°． ∴EG＝EC•sin64°≈70×0.90＝63（cm）． ∵CD∥l，CF⊥l，l与⊙D相切，车轮半径为32cm， ∴CF＝32（cm）． ∴坐垫E到地面的距离为：63+32＝95（cm）． 答：坐垫E到地面的距离为95cm； （2）过点E′作E′G′⊥CD于点G′， ∴∠E′G′C＝90°． ∵小明的腿长约为84cm， ∴E′G′＝84×0.8＝67.2（cm）． ∵∠ECD＝64°， ∴CE′＝＝≈74.67（cm）． ∴EE′＝CE′﹣CE＝74.67﹣70＝4.67≈4.7（cm）． 答：EE′长4.7cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所给线段及角整理到直角三角形中是解决本题的关键．用到的知识点为：sinA＝． 20．（2024•钱塘区三模）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作．无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树AB的顶端B的俯角为63°26′，同时还测得前方某建筑物CD的顶端D的俯角为36°52′．已知点A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度AB为6m，建筑物的高度CD为46m，大树与建筑物的距离AC为30m，求无人机在P处时离地面的高度． （参考数据：tan36°52′≈0.75，tan63°26′≈2.00） 【答案】无人机在P处时离地面的高度约为106m． 【分析】延长AB交PE于点F，延长CD交PE于点G，根据题意可得：AC＝FG＝30m，AF＝CG，然后设PF＝x m，则PG＝（x+30）m，从而分别在Rt△DPG和Rt△BFP中，利用锐角三角函数的定义求出DG和BF的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：延长AB交PE于点F，延长CD交PE于点G， 由题意得：AC＝FG＝30m，AF＝CG， 设PF＝x m， ∴PG＝PF+FG＝（x+30）m， 在Rt△DPG中，∠GPD＝36°52′， ∴DG＝PG•tan36°52′≈0.75（x+30）m， 在Rt△BFP中，∠BPF＝63°26′， ∴BF＝PF•tan63°26′≈2x（m）， ∵AB＝6m，CD＝46m， ∴AB+BF＝CD+DG， ∴6+2x＝46+0.75（x+30）， 解得：x＝50， ∴BF＝2x＝100（m）， ∴AF＝AB+BF＝6+100＝106（m）， ∴无人机在P处时离地面的高度约为106m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 锐角三角函数与解直角三角形 课标要求 考点 考向 1．掌握特殊三角函数值及其求解方法． 2．掌握解直角三角形及其应用 锐角三角函数以及解直角三角形 考向一 锐角三角函数概念及求值 考向二 解直角三角形 考向三 三角函数综合应用 考点 锐角三角函数及解直角三角形 ►考向一 锐角三角函数概念及解直角三角形 易错易混提醒 一些特殊角的三角函数值 1．（2024•浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 2．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 ►考向二 三角函数综合应用 1．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（　　） A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m 2．（2023•衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（　　） A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα 3．（2023•宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． （1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β． （2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 4．（2023•绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°． （1）求∠GAC的度数； （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62） 5．（2023•温州）根据背景素材，探索解决问题． 测算发射塔的高度 背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度 问题解决 任务1 分析规划 选择两个观测位置：点 　A　和点 　B（答案不唯一）　． 获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离． 任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度MN． 任务3 换算高度 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm． 6．（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67） 1．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA＝，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 2．（2024•温州模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 3．（2020•西湖区校级模拟）在锐角△ABC中，，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．（2022•西湖区校级二模）图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若∠ABC＝α，AB＝1，则CD的长为（　　） A．sinα﹣cosα B． C．cosα﹣sinα D． 5．（2024•湖州一模）如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（　　） A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm 6．（2024•温州模拟）“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示，AC⊥BC，AC＝3米，测得某地夏至正午时“表”的影长CD＝1米，冬至时的正午太阳高度角∠ABC＝α，则夏至到冬至，影长差BD的长为（　　） A．（3sinα﹣1）米 B．米 C．（3tanα﹣1）米 D．米 7．（2023•拱墅区校级二模）若cosA＝，则锐角∠A＝　 　． 8．（2024•西湖区一模）如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若△ABC的顶点都在格点上，则sinC的值为 　 　． 9．（2024•瓯海区校级三模）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方（CDIH）与青方（ABCD）是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，BE＝6． （1）四边形KIDG的面积为 　 　； （2）连结CF，则tan∠DCF的值为 　 　． 10．（2024•鄞州区模拟）如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，∠ABC＝45°，当梯子底端点B水平向左移动到点B′，端点A沿墙竖直向上移动到点A′，设∠A'B'C＝α，则AA′的长可以表示为 　 　． 11．（2024•温州模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是边AB上一点，E是CD的中点，C关于直线BE对称的点为C′，CC′交AB于点F． （1）若∠ACF＝α，则∠FBC′＝　 　度（用含α的代数式表示）． （2）若，则tan∠FBC′＝　 　． 12．（2024•下城区校级三模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则tan∠ADB＝　 　． 13．（2024•浙江模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AC2﹣AB2＝BC2﹣2，S△ABC＝，则tanB＝　 　. 14．（2024•西湖区校级三模）如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝　 　m．（结果保留根号） 15．（2024•绍兴一模）图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆AB，BC，CD，DA的长度均为20cm，螺杆AC与水平地面平行． （1）当∠DAC＝30°时，求千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长． （2）当∠DAC由30°变为40°时，千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长将增加多少？ （结果精确到0.1cm．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73） 16．（2024•拱墅区校级模拟）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°． （参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈） （1）求点P到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数． 17．（2024•定海区三模）我国有登高祈福的传统．春节期间，在山西省永济市鹳雀楼景区，游客纷纷登上鹳雀楼，极目远眺黄河，感受唐代诗人王之涣《登鹳雀楼》“欲穷千里目，更上一层楼”的意境．某“综合与实践”小组来到鹳雀楼景区，开展了测量鹳雀楼高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用寒假完成了实地测量．他们在鹳雀楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了鹳雀楼顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了三次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）： 课题 测量山西省永济市鹳雀楼的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：线段GH表示鹳雀楼，测角仪的 高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H 在同一条水平直线上，A，B之间的距 离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D 都在同一竖直平面内，点C，D，E在同 一条直线上，点E在GH上． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值 ∠GCE的度数 54.6° 54.8° 54.7° 54.7° ∠GDE的度数 62.6° 62.5° 62.7° 62.6° A，B之间的距离 13.81m 13.85m 13.83m （1）任务一：三次测量A，B之间的距离的平均值是 　 　m． （2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出鹳雀楼的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54.7°≈0.82，cos54.7°≈0.58，tan54.7°≈1.41，sin62.6°≈0.89，cos62.6°≈0.46，tan62.6°≈1.93） 18．（2024•余姚市校级四模）某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸柱AB，EF，折叠栏BC，CD构成，折叠栏BC绕点B转动从而带动折叠栏CD平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，EF⊥AE垂足分别为A，E，CD∥AE．已知BC＝1.8米，CD＝2.7米，AB＝EF＝1.2米，AE＝4.5米，请完成以下计算（参考数据：，） （1）若∠ABC＝135°，求点C距离地面的高度．（结果精确到0.1米） （2）若∠ABC＝150°，请问一辆宽为3米，高为2.5米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 19．（2024•萧山区二模）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB∥CD∥l，车轮半径为32cm，∠ABC＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为84cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 20．（2024•钱塘区三模）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作．无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树AB的顶端B的俯角为63°26′，同时还测得前方某建筑物CD的顶端D的俯角为36°52′．已知点A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度AB为6m，建筑物的高度CD为46m，大树与建筑物的距离AC为30m，求无人机在P处时离地面的高度． （参考数据：tan36°52′≈0.75，tan63°26′≈2.00） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$