专题17 相似-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题17 相似 课标要求 考点 考向 1．了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题． 2．了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些简单的实际问题． 3．了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质. 相似 考向一 比例线段 考向二 相似三角形性质判定 考向三 相似三角形应用 考向四 相似综合 考点 相似 ►考向一 比例线段 比例线段 1．比例线段的定义 在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 即a：b=c：d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例线段的基本性质 ＝⇔a d＝b c. 3．黄金分割 把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点. （） 1．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程． ►考向二 相似三角形性质判定 1．定义 各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形． 2．判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）两角对应相等，两三角形相似； （3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （4）三边对应成比例，两三角形相似； （5）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 3．性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方． 位似变换与位似图形 1．定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个图形叫做位似图形。位似图形对应点连线的交点是位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质 位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形对应线段的比等于相似比；位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。  1．（2024•浙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 2．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4） 3．（2023•绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F，N是线段BF上的点，BN＝2NF，M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（　　） A．△AFE的面积 B．△BDF的面积 C．△BCN的面积 D．△DCE的面积 4．（2023•衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2． （1）若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 　　． （2）若，则＝　　． 5．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝　　（结果用含k的代数式表示）． 6．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是 　　． 7．（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝． （1）若AB＝8，求线段AD的长． （2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积． ►考向三 相似三角形应用 1．（2022•衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝x B．y＝x+1.6 C．y＝2x+1.6 D．y＝+1.6 2．（2023•湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 　 　米． 3．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝　　m． ►考向四 相似综合 1．（2023•湖州）【特例感知】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM． 【变式求异】 （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 2．（2023•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA＝，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y． （1）求CE的长和y关于x的函数表达式； （2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值； （3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ＝x﹣3时，求MN的长． 1．（2023•婺城区模拟）下列各组数中，成比例的是（　　） A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1， 2．（2024•温州三模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•温州模拟）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD，立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺＝10寸）”根据译文信息，则井深AD为（　　） A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸 4．（2024•杭州一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α （0°＜α＜90°）．点D，E在AB边上，点F，G分别在BC和AC边上．若四边形DEFG为正方形，则＝（　　） A． B． C． D． 5．（2024•杭州三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．6 C． D．8 6．（2024•温州模拟）如图，在▱ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，则的值是（　　） A． B． C． D． 7．（2024•钱塘区三模）如图，已知AB∥CD∥EF，若，EF＝4，CD＝6，则线段AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（2024•瓯海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为边，在其右侧作正方形ABDE，分别交AC、BC于点E、I，以AC为边，在其下侧作正方形ACFG，已知，则sin∠ACB＝（　　） A． B． C． D． 9．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH＝α（0°＜α＜90°），令，当α＝60°时，n＝　 　；当时，S△ABC＝　 　． 10．（2024•钱塘区二模）已知，则代数式的值为 　 　． 11．（2024•浙江模拟）如图，⊙O的弦BC垂直平分半径OA，点E是弦BC上一点，且BE＞CE，连接AE并延长交⊙O于点D，连结OD，OE，设DE＝nOE． （1）当点E是AD中点时，的度数为 　 　°； （2）连接AC，当时，则m与n的关系为 　 　． 12．（2024•嘉善县一模）如图，将菱形ABCD的边BC翻折到BC′，使C的对应点C′落在对角线BD上，再将边BC翻折到CB′，使B的对应点B′与△ABD的外心重合，连结B′C′．则△BB′C′与△BCC′的面积比为 　 　． 13．（2024•西湖区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，AB上，且DE＝DF，AC与DE，DF分别交于点M，N． （1）若∠ADF＝∠EDF，AN＝，则AD＝　 　； （2）设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2，若S2＝2S1，则的值为 　 　． 14．（2024•滨江区校级三模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，已知，用含a的代数式表示平行四边形DFCE的面积为 　 　． 15．（2024•金华模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，连结BD，点E，F分别为AD，BD边上一点，AF⊥BE于点H． （1）若AE＝2，则DF＝　 　． （2）若DF：AE＝k，则k可取的最大整数值为 　 　． 16．（2024•钱塘区一模）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝y，则y关于x的函数表达式是 　 　． 17．（2024•杭州一模）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，点F分别在AB，AC上，连结DE，DF． （1）若，求证：△BDE∽△CFD． （2）如图2，在（1）的条件下，连结EF，若EF＝9，BE＝10，求DE的值． 18．（2024•台州模拟）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD． （1）求证：AB2＝AD•AC； （2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度数． 19．（2024•温州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E在CD上，∠DAE＝45°，F为BC的中点，连结AE，AF，分别交BD于点G，H，连结EF． （1）求证：BD＝2EF． （2）当EF＝6时，求GH的长． 20．（2024•钱塘区一模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且． （1）若AC＝25，求线段AE，GF的长． （2）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积． 21．（2024•钱塘区二模）如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连结AG并延长交BC的延长线于点F，连结BD交AF于点E，连结CE． （1）若BE＝BC，∠ABC＝80°，请直接写出∠DAE的度数． （2）求证：EC2＝EF•EG． （3）若AB＝6，，求CF的长． 22．（2024•镇海区校级三模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝6，BC＝12点F在AB上，连结CF并延长，交⊙O于点D，连结BD，作BE⊥CD，垂足为E． （1）求证：△DBE∽△ABC． （2）若DE＝3，求CE的长． 23．（2024•普陀区二模）在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作验算 如图1，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，D为AB上一点，∠ACD＝30°．甲同学沿EF对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕分别交射线CA、射线CB于点E、点F． ①求的值，②若，求BD、的值； （2）迁移探究 如图2，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，D为线段AB上任意一点．乙同学沿EF对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕分别交射线CA、射线CB于点E、点F． 探究与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 如图3，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，丙同学在AB取点D，使，沿EB对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕交线段CA于点E，连结DE，求证：BE＝3DE． 24．（2024•西湖区校级二模）【基础巩固】 （1）如图（1），在△ABC和△EDB中，点E在BC上，AC∥BD，∠A＝∠BED，求证：△ABC∽△EDB． 【尝试应用】 （2）如图（2），在（1）的条件下，连结CD．若∠BCD＝90°，AC＝EC＝2，BE＝4，求DE的长． 【拓展提高】 （3）如图（3），在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边CD上一点，DE＝2CE，连结AE交BD于点F，线段AE与BC的延长线交于点P，若∠AFB＝∠ABC，OF＝1，求BC的长． 25．（2024•浙江一模）正方形ABCD边长为3，点E是CD上一点，连结BE交AC于点F． （1）如图1，若CE＝1，求CF的值； （2）如图1，，若，求m的值． （3）如图2，点G为BC上一点，且满足∠GAC＝∠EBC，设CE＝x，GB＝y，试探究y与x的函数关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 相似 课标要求 考点 考向 1．了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题． 2．了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些简单的实际问题． 3．了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质. 相似 考向一 比例线段 考向二 相似三角形性质判定 考向三 相似三角形应用 考向四 相似综合 考点 相似 ►考向一 比例线段 比例线段 1．比例线段的定义 在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 即a：b=c：d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例线段的基本性质 ＝⇔a d＝b c. 3．黄金分割 把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点. （） 1．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程． 【答案】2． 【分析】由＝2，得到a＝2c，因此＝，得到b＝c，故＝＝，＝＝，所以＝＝． 【解答】解：当＝2时，＝＝，理由如下： ∵＝2， ∴a＝2c， ∴＝， ∴b＝c， ∴＝＝，＝＝， ∴＝＝． 故答案为：2． 【点评】本题考查比例线段，关键是由＝2，＝＝，得到b＝c． ►考向二 相似三角形性质判定 1．定义 各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形． 2．判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）两角对应相等，两三角形相似； （3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （4）三边对应成比例，两三角形相似； （5）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 3．性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方． 位似变换与位似图形 1．定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个图形叫做位似图形。位似图形对应点连线的交点是位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质 位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形对应线段的比等于相似比；位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。  1．（2024•浙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 【答案】A 【分析】根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2， ∵点B的坐标为（﹣2，4）， ∴点B的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8）， 故选：A． 【点评】本题主要考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键． 2．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4） 【答案】C 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1， ∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2， ∵点C的坐标为（3，2）， ∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4）， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 3．（2023•绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F，N是线段BF上的点，BN＝2NF，M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（　　） A．△AFE的面积 B．△BDF的面积 C．△BCN的面积 D．△DCE的面积 【答案】D 【分析】如图所示，连接ND，证明△FBD∽△EDC，得出＝，由已知得出 ，则 ，又∠NFD＝∠MEC，则△NFD∽△MEC，进而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，结合题意得出，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接ND， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC． ∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC． ∴＝， ∵DM＝2ME，BN＝2NF， ∴，ME＝DE， ∴ ∴， 又∵∠NFD＝∠MEC， ∴△NFD∽△MEC． ∴∠ECM＝∠FDN． ∵∠FDB＝∠ECD， ∴∠MCD＝∠NDB． ∴MC∥ND． ∴S△MNC＝S△MDC． ∵DM＝2ME， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 4．（2023•衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2． （1）若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 　9　． （2）若，则＝　　． 【答案】（1）9； （2）． 【分析】（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，由cos∠ABC＝，可得CT＝BC，CM＝AC，故CT•CM＝BC•AC＝BC•AC，而△ABC的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为CT•BT＝CT•CM＝9； （2）标识字母如图，设NT＝19t，证明△BFN≌△CBW（ASA），可得BN＝CW＝34t，由△BCT∽△WBT，有CT•WT＝BT2，即CT•（34t﹣CT）＝（15t）2，可得CT＝9t或CT＝25t，而BK＝CT，AK＝WT，即可得到答案． 【解答】解：（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图： ∵CT∥AB， ∴∠ABC＝∠BCT， ∵cos∠ABC＝， ∴cos∠BCT＝，即＝， ∴CT＝BC， ∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC， ∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝，即＝， ∴CM＝AC， ∴CT•CM＝BC•AC＝BC•AC， ∵△ABC的面积为16， ∴BC•AC＝16， ∴BC•AC＝32， ∴CT•CM＝18， ∴纸片Ⅲ的面积为CT•BT＝CT•CM＝9； 故答案为：9； （2）如图： ∵＝， ∴＝， 设NT＝19t，则BT＝15t，BN＝34t， ∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°， ∴△BFN≌△CBW（ASA）， ∴BN＝CW＝34t， ∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°， ∴△BCT∽△WBT， ∴＝， ∴CT•WT＝BT2， ∴CT•（34t﹣CT）＝（15t）2， 解得CT＝9t或CT＝25t， 当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去； 当CT＝25t时，WT＝9t， 而BK＝CT，AK＝WT， ∴＝． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理． 5．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝　　（结果用含k的代数式表示）． 【答案】． 【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题． 【解答】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称， ∴DB＝DF， ∵AD＝DF， ∴AD＝DB， ∵AD＝DF， ∴∠A＝∠DFA， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴∠BDE＝∠FDE， ∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA， ∴∠FDE＝∠DFA， ∴DE∥AC， ∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴∠DEB＝∠DEF， ∴∠C＝∠EFC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∵∠ACB＝∠EFC， ∴△ABC∽△ECF， ∴＝， ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C， ∴△BDE∽△BAC， ∴＝＝， ∴EC＝BC， ∵＝k， ∴BC＝k•AB， ∴EC＝k•AB， ∴＝， ∴CF＝k2•AB， ∴＝＝＝＝． 方法二：如图，连接BF， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴DB＝DF， ∵AD＝DF， ∴AD＝DB＝DF， ∴BF⊥AC， 设AB＝AC＝1， 则BC＝k， 设CF＝x， 则AF＝1﹣x， 由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2， ∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2， ∴x＝， ∴AF＝1﹣x＝， ∴＝． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF． 6．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是 　　． 【答案】． 【分析】如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．由tan∠CBT＝3＝，可以假设BT＝k，CT＝3k，证明△ATC≌△CJD（AAS），推出DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，再利用勾股定理，构建方程求解即可． 【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ． ∵tan∠CBT＝3＝， ∴可以假设BT＝k，CT＝3k， ∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°， ∴∠CAT＝∠JCD， 在△ATC和△CJD中， ， ∴△ATC≌△CJD（AAS）， ∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k， ∵∠CJD＝∠CED＝90°， ∴C，E，D，J四点共圆， ∵EC＝DE， ∴∠CJE＝∠DJE＝45°， ∴ET＝TJ＝10﹣2k， ∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2， ∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2， 整理得4k2﹣25k+25＝0， ∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0， ∴k＝5（舍去）或， ∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝， 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 7．（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝． （1）若AB＝8，求线段AD的长． （2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】（1）2； （2）6． 【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答； （2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16，同理可得△EFC的面积＝9，根据面积差可得答案． 【解答】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形， ∴DE∥BF， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∵AB＝8， ∴AD＝2； （2）∵△ADE∽△ABC， ∴＝（）2＝（）2＝， ∵△ADE的面积为1， ∴△ABC的面积是16， ∵四边形BFED是平行四边形， ∴EF∥AB， ∴△EFC∽△ABC， ∴＝（）2＝， ∴△EFC的面积＝9， ∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6． 【点评】本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键． ►考向三 相似三角形应用 1．（2022•衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝x B．y＝x+1.6 C．y＝2x+1.6 D．y＝+1.6 【答案】B 【分析】根据题意和图形，可以得到AF＝BG＝x m，EF＝EG﹣FG，FG＝AB＝1.6m，EG＝y m，然后根据相似三角形的性质，可以得到y与x的函数关系式． 【解答】解：由图2可得， AF＝BG＝x m，EF＝EG﹣FG，FG＝AB＝1.6m，EG＝y m， ∴EF＝（y﹣1.6）m， ∵CD⊥AF，EF⊥AF， ∴CD∥EF， ∴△ADC∽△AFE， ∴， 即， ∴， 化简，得y＝x+1.6， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2023•湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是 　4.1　米． 【答案】见试题解答内容 【分析】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可． 【解答】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图， ∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线， ∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米， ∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米）， 又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG， ∴△CHE∽△AGE， ∴，即， 解得：AG＝3.6米， ∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）． 故答案为：4.1． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 3．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝　9.88　m． 【答案】9.88． 【分析】根据平行投影得AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m． ∴AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵AB⊥BC，DE⊥EF， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF， ∴，即， 解得AB＝9.88， ∴旗杆的高度为9.88m． 故答案为：9.88． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键． ►考向四 相似综合 1．（2023•湖州）【特例感知】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM． 【变式求异】 （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据正方形的性质及角的和差推出∠A＝∠DCM，AD＝DC，∠ADP＝∠CDM，利用ASA即可证明△DAP≌△DCM； （2）作QN⊥BC于点N，则四边形DBNQ是矩形，根据矩形的性质推出∠DQN＝90°，QN＝DB，根据角的和差推出∠DQP＝∠MQN，结合∠QDP＝∠QNM＝90°，推出△DQP∽△NQM，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理求出AB＝6，则DB＝2，根据矩形的性质推出DQ∥BC，进而推出△ADQ∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可； （3）根据题意推出CQ＝mnAB，AQ＝（m﹣mn）AB，根据勾股定理求出BC＝AB，根据四边形内角和定理及邻补角定义推出∠AQP＝∠NQM，结合∠A＝∠QNM＝90°，推出△QAP∽△QNM，根据相似三角形的性质得出，根据题意推出△QCN∽△BCA，根据相似三角形的性质求出，据此求解即可． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC， ∴∠DCM＝180°﹣∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠DCM， ∵DM⊥PD， ∴∠ADP+∠PDC＝∠CDM+∠PDC＝90°， ∴∠ADP＝∠CDM， 在△DAP和△DCM中， ， ∴△DAP≌△DCM（ASA）； （2）解：如图2，作QN⊥BC于点N， ∵∠ABC＝90°，DQ⊥AB，QN⊥BC， ∴四边形DBNQ是矩形， ∴∠DQN＝90°，QN＝DB， ∵QM⊥PQ， ∴∠DQP+∠PQN＝∠MQN+∠PQN＝90°， ∴∠DQP＝∠MQN， ∵∠QDP＝∠QNM＝90°， ∴△DQP∽△NQM， ∴， ∵BC＝8，AC＝10，∠ABC＝90°， ∴， ∵AD＝2DB， ∴DB＝2， ∵∠ADQ＝∠ABC＝90°， ∴DQ∥BC， ∴△ADQ∽△ABC， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵AC＝mAB，CQ＝nAC， ∴CQ＝mnAB， ∴AQ＝AC﹣CQ＝（m﹣mn）AB， ∵∠BAC＝90°， ∴， 如图3，作QN⊥BC于点N， ∵∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN＝360°，∠BAC＝90°， ∴∠ABN+∠AQN＝180°， ∵∠ABN+∠PBN＝180°， ∴∠AQN＝∠PBN， ∵∠PQM＝∠PBC， ∴∠PQM＝∠AQN， ∴∠AQP＝∠NQM， ∵∠A＝∠QNM＝90°， ∴△QAP∽△QNM， ∴， ∵∠A＝∠QNC＝90°，∠QCN＝∠BCA， ∴△QCN∽△BCA， ∴， ∴， ∴． 【点评】此题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 2．（2023•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA＝，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y． （1）求CE的长和y关于x的函数表达式； （2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值； （3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ＝x﹣3时，求MN的长． 【答案】（1）CE＝，y＝﹣x+4； （2）a的值为或或； （3）MN的长为． 【分析】（1）先求出CD的长，由平行线分线段成比例可得，可求CE的长，通过证明△BCE∽△NME，可得，即可求解； （2）分三种情况讨论，由相似三角形的性质列出方程可求解； （3）由锐角三角函数可求BG的长，由线段的数量关系列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，连接OD， ∵CD切半圆O于点D， ∴OD⊥CE， ∵OA＝，AC＝1， ∴OC＝，BC＝4， ∴CD＝＝2， ∵BE⊥CE， ∴OD∥BE， ∴， ∴， ∴CE＝， 如图2，∵∠AFB＝∠E＝90°， ∴AF∥CE， ∴MN∥CB， ∴四边形APMC是平行四边形， ∴CM＝PA＝＝＝＝x， ∵NM∥BC， ∴△BCE∽△NME， ∴， ∴＝， ∴y＝﹣x+4； （2）∵PN＝y﹣1＝﹣x+4﹣1＝﹣x+3，PH＜PN，△BCE的三边之比为3：4：5， ∴可分为三种情况， 当PH：PN＝3：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝， ∴a＝x＝， 当PH：PN＝4：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝， ∴a＝x＝， 当PH：PN＝3：4时，x＝﹣x+3，解得：x＝， ∴a＝x＝， 综上所述：a的值为或或； （3）如图3，连接AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G， 则∠AQB＝∠AGQ＝90°，PH＝QG＝x， ∴∠QAB＝∠BQG， ∵NQ＝x﹣3，PN＝y﹣1＝﹣x+3， ∴HG＝PQ＝NQ+PN＝x， ∵AH＝x， ∴AG＝AH+HG＝3x， ∴tan∠BQG＝tan∠QAB＝＝＝， ∴BG＝QG＝x， ∴AB＝AG+BG＝x＝3， ∴x＝， ∴y＝﹣x+4＝， ∴MN的长为． 【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的有关知识，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1．（2023•婺城区模拟）下列各组数中，成比例的是（　　） A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1， 【答案】D 【分析】根据比例的性质解决此题． 【解答】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故A不符合题意． B．由4×2≠1×（﹣8），得1，4，2，﹣8不成比例，故B不符合题意． C．由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意． D．由，得，，1，成比例，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键． 2．（2024•温州三模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，依据△ADE∽△BNE，即可得出BN＝1.5；再根据△DHM∽△NFM，即可得到的值． 【解答】解：如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2， ∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴BE＝1，DH＝BF＝2， ∵AD∥BN， ∴△ADE∽△BNE， ∴＝，即＝， ∴BN＝1.5， ∵DH∥NF， ∴△DHM∽△NFM， ∴＝＝＝， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是延长CB，DE，构造两对“8”字模型相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行计算． 3．（2024•温州模拟）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD，立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺＝10寸）”根据译文信息，则井深AD为（　　） A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸 【答案】D 【分析】根据数学常识和相似三角形的性质，构建方程求解即可． 【解答】解：5尺＝50寸， 设BC＝x尺． ∵四边形ABCD是矩形， ∴CF∥AB， ∴△EFC∽△EAB， ∴＝， ∴＝， 解得x＝575， 经检验：x＝575是分式方程的解． ∴AD＝575（寸）． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 4．（2024•杭州一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α （0°＜α＜90°）．点D，E在AB边上，点F，G分别在BC和AC边上．若四边形DEFG为正方形，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作CH⊥AB于H，设正方形DEFG的边长为m，证明△ADG∽△AHC，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得AG＝，求出HC＝m（1+sinα），表示出正方形DEFG和△ABC的面积，即可求解． 【解答】解：作CH⊥AB于H，设正方形DEFG的边长为m， ∵四边形DEFG为正方形， ∴∠EDG＝90°， ∴DG∥CH，DE∥FG， ∴△ADG∽△AHC， ∴， ∵DE∥FG， ∴∠B＝∠CFG， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠C＝∠CFG， ∴CG＝FG＝m， 在Rt△ADG中，sinA＝， ∴AG＝， ∴， ∴HC＝m（1+sinα）， ∴S正方形DEFG＝m2，S△ABC＝AB•HC＝AC•HC＝（+m）•m（1+sinα）， ∴＝． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 5．（2024•杭州三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：OE＝15cm，CD＝8cm，OF＝10cm，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得：∠A＝∠C，∠B＝∠D从而可得△ABO∽△CDO，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F， 由题意得： OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD， ∴OF⊥AB， ∴OF＝10cm， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴△ABO∽△CDO， ∴＝， ∴＝， 解得：AB＝， ∴蜡烛火焰的高度是cm， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（2024•温州模拟）如图，在▱ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，得到两组相似三角形，根据边的比例得出面积之比，从而得出的值． 【解答】解：∵AG平分∠BAD， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADF∽△GBF，△ABG∽△ECG， ∴， ∴， 设AD＝BC＝3a，则AB＝2a，GB＝2a， ∴CG＝a， ∴， ∴S△ABG＝4S2， 设S△GBF＝4S，则S△ADF＝9S， ∴S△ABF＝6S， ∴S△ABG＝S△GBF+S△ABF＝10S， ∴4S2＝10S， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 7．（2024•钱塘区三模）如图，已知AB∥CD∥EF，若，EF＝4，CD＝6，则线段AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接BE交CD于G，根据平行线分线段成比例先求出，再求出DG＝，则CG＝，根据平行线分线段成比例即可求解． 【解答】解：连接BE交CD于G， ∵AB∥CD∥EF，， ∴，， ∴， ∵CD∥EF， ∴， ∴ ∴DG＝， ∴CG＝CD﹣DG＝6﹣＝， ∵AB∥CD， ∴， ∴， ∴AB＝9， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 8．（2024•瓯海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为边，在其右侧作正方形ABDE，分别交AC、BC于点E、I，以AC为边，在其下侧作正方形ACFG，已知，则sin∠ACB＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形ABDE、ACFG都是正方形得到∠BAE＝∠AED＝∠D＝90°，AB∥DE，设正方形ABDE的边长为a，根据＝解得EI＝a，由△CEI∽△CAB求得CE＝a，得到AC＝a，再由勾股定理求出BC＝a，即可求出sin∠ACB． 【解答】解：∵四边形ABDE、ACFG都是正方形， ∴∠BAE＝∠AED＝∠D＝90°，AB∥DE， 设正方形ABDE的边长为a， ∴S四边形AEIB＝AE（AB+EI）＝a（a+EI），S△BDI＝BD•DI＝a（a−EI） ∵＝， ∴＝， 解得EI＝a ∵AB∥DE， ∴△CEI∽△CAB， ∴＝＝＝， ∴CE＝AC＝（AE+CE）＝（a+CE）， 解得CE＝a， ∴AC＝AE+CE＝a， ∴BC＝＝＝a， ∴sin∠ACB＝＝＝， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、求锐角三角函数值、相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键， 9．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH＝α（0°＜α＜90°），令，当α＝60°时，n＝　　；当时，S△ABC＝　　． 【答案】，． 【分析】第一空：由α＝60°可推出∠A＝30°，进而可以把两个三角形的面积都求出，即可求解； 第二空：作GM⊥AB，则有△DGM∽△ADE，再根据n＝得出相似比即可，然后得到tan∠DAE＝＝tan∠GDM，对于正方形GHIJ可以考虑构造弦图解决，从而可以求得AB边长，进而求出BC和AC的长度，即可求解． 【解答】第一空：如图作GM⊥AB于M， ∵α＝60°， ∴∠DGJ＝120°， ∵DG＝JG， ∴∠GDM＝∠GJM＝30°， ∴∠A＝30°， ∴AE＝DE＝， ∴S△ADE＝AD•DE＝， ∵GM＝DG＝，DM＝， ∴DJ＝， S△DGJ＝DJ•GM＝， ∴n＝＝， 故答案为：． 第二空：过点G作GM⊥AB于点M，作IN⊥AB于点N， ∵n＝， ∴＝， ∴＝， ∵∠GDM＝∠A，∠AED＝∠GMD＝90°， ∴△DGM∽△ADE， ∴＝＝（）2 ∴＝， ∴AD＝． ∴AE＝2＝2， ∴tan∠DAE＝＝tan∠GDM， ∴GM＝，DM＝， ∵∠MJG＝∠NIJ＝90°﹣∠NJI，∠GMD＝∠JNI，GJ＝JI， ∴△MGJ≌△NJI（AAS）， ∴NJ＝GM＝， ∵∠B+∠A＝90°＝∠B+∠BIN， ∴∠A＝∠GDM+∠GJM＝∠NIJ＝∠BIN， ∴BN＝NJ＝， ∴AB＝AD+DM+MJ+NJ+BN＝， ∴BC＝，AC＝， ∴S△ABC＝AC•BC＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 10．（2024•钱塘区二模）已知，则代数式的值为 　﹣5　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用设k法进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴设a＝2k，则b＝3k， ∴＝＝＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 11．（2024•浙江模拟）如图，⊙O的弦BC垂直平分半径OA，点E是弦BC上一点，且BE＞CE，连接AE并延长交⊙O于点D，连结OD，OE，设DE＝nOE． （1）当点E是AD中点时，的度数为 　30　°； （2）连接AC，当时，则m与n的关系为 　m＝　． 【答案】（1）30； （2）m＝． 【分析】（1）连接OC，设AO和BC相交于点M，因为BC垂直平分OA，则，∠OMC＝90°，AE＝OE＝ED，推出∠OCM＝30°，因为OA＝OC，E是AD中点，则OE⊥AD，∠AOE＝∠DOE＝45°，所以∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝90°，则∠OMC+∠AOD＝180°，推出BC∥OD，则∠BCO＝∠COD＝30°，即 的度数为30°； （2）连接AC，CD，由题可得DE＝nOE，，则AC＝mDE＝mnOE，设OE＝t，则DE＝nt，AC＝mnt，可证得△ACE∽△ADC，得出＝，即＝，即可求得答案． 【解答】解：（1）连接OC，设AO和BC相交于点M， ∵BC垂直平分OA， ∴，∠OMC＝90°，AE＝OE＝ED， ∴∠OCM＝30°， ∵OA＝OC，E是AD中点， ∴OE⊥AD，∠AOE＝∠DOE＝45°， ∴∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝90°， ∴∠OMC+∠AOD＝180°， ∴BC∥OD， ∴∠BCO＝∠COD＝30°， 即 的度数为30°； （2）连接AC，CD， 由题可得DE＝nOE，，∴AC＝mDE＝mnOE， 设OE＝t，则DE＝nt，AC＝mnt， ∵BC垂直平分OA， ∴＝，AE＝OE＝t， ∴∠ACE＝∠ADC， ∵∠CAE＝∠DAC， ∴△ACE∽△ADC， ∴＝， ∴＝， 整理得：m2n2＝n+1， 解得：m＝或m＝﹣（舍去）， 故答案为：m＝． 【点评】本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2024•嘉善县一模）如图，将菱形ABCD的边BC翻折到BC′，使C的对应点C′落在对角线BD上，再将边BC翻折到CB′，使B的对应点B′与△ABD的外心重合，连结B′C′．则△BB′C′与△BCC′的面积比为 　﹣2　． 【答案】﹣2． 【分析】连接DB′、AB′，则AB'＝DB'＝BB'，由菱形性质CB＝CD，则点A、B′、C在线段BD的垂直平分线 上，即A、B′、C三点在同一直线上，即B在菱形的 对角线AC上，设AC、BD交于点O，则AC⊥BD，设菱形的边长为a；易证△B′AB∽△BAC，由相似三角形的性质得，从而可求得AC、OC、OB′，则△BBC与△BCC的面积比为OB′：OC，从而可求得比值． 【解答】解：如图，连接DB′、AB′， ∵B′为△ABD的外心， ∴AB′＝DB′＝BB′， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CB＝CD＝AB＝AD＝a， ∴点A、B′、C在线段BD的垂直平分线上，即A、B′、C三点在同一直线上， ∴点B′在菱形的对角线AC上； 设AC、BD交于点O，菱形的边长为a； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC，OC＝OA＝AC， ∴∠BAC＝∠BCA； ∵AB′＝BB′， ∴∠BAC＝∠ABB′， ∴∠ABB′＝∠BCA， ∴△B′AB∽△BAC， ∴＝，即AB2＝AB'•AC＝AB'（AB'+CB'）， 由已知得CB′＝BC＝a， ∴a2＝AB'2+aAB'， 解得AB'＝a（负值已舍去）， ∴AC＝AB'+CB'＝a， ∴OC＝AC＝a，OB'＝CB'﹣OC＝a， ∴＝＝（a）÷（a）＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，三角形的外接圆与外心，翻折变换（折叠问题），解答本题的关键是是证明A、B′、C三点共线． 13．（2024•西湖区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，AB上，且DE＝DF，AC与DE，DF分别交于点M，N． （1）若∠ADF＝∠EDF，AN＝，则AD＝　+1　； （2）设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2，若S2＝2S1，则的值为 　﹣1　． 【答案】（1）+1；（2）﹣1． 【分析】（1）由正方形的性质，可得KN＝AK＝1，证明Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），可得∠ADF＝∠EDF＝∠CDE＝30°，即可求解； （2）通过证明△ADF∽△HFN，可得，设＝k，NH＝AH＝b，则FH＝kb，由面积关系可得方程，即可求解． 【解答】解：（1）过N作NK⊥AD于K，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC＝45°， ∴△ANK是等腰直角三角形， ∴AK＝KN＝AN＝1， 在Rt△ADF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL）， ∴∠ADF＝∠CDE， ∵∠ADF＝∠EDF， ∴∠ADF＝∠EDF＝∠CDE＝30°， ∴DK＝KN＝， ∴AD＝AK+DK＝+1， 故答案为：+1； （2）过N作NH⊥AB于H，如图： ∵∠FHN＝∠FAD＝90°， ∴HN∥AD， ∴△ADF∽△HFN， ∴， 设＝k，NH＝AH＝b，则FH＝kb， ∴AF＝b+kb， ∵k＝， ∴AD＝， ∴S2＝AF•HN＝b2（1+k），S1＝S△ADC﹣2S△ADN＝﹣2וb•b， ∵S2＝2S1， ∴b2（1+k）＝2•[﹣2וb•b]， 整理得：k2+2k﹣2＝0， 解得：k＝﹣1或﹣﹣1（舍弃）， ∴k＝＝， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 14．（2024•滨江区校级三模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，已知，用含a的代数式表示平行四边形DFCE的面积为 　a　． 【答案】a． 【分析】根据DE∥BC，可以证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积，同理求得△BDF的面积，用△ABC的面积减去△ADE的面积和△BDF的面积即可求得． 【解答】解：∵＝， ∴＝，＝， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝（）2＝（）2＝， ∴S△ADE＝S△ABC＝a， 同理，S△BDF＝S△ABC＝a， ∴平行四边形DFCE的面积为：a﹣S△ADE﹣S△BDF＝a﹣a﹣a＝a． 故答案为：a． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解相似三角形的性质，求得△ADE的面积和△BDF的面积是解答本题的关键． 15．（2024•金华模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，连结BD，点E，F分别为AD，BD边上一点，AF⊥BE于点H． （1）若AE＝2，则DF＝　　． （2）若DF：AE＝k，则k可取的最大整数值为 　2　． 【答案】；2． 【分析】（1）先证明△ABE∽△DAG，得到DG的长，再根据平行得到，从而得出DF的长； （2）设AE＝x，则DF＝kx，根据（1），得出k和x的关系式，根据x＞0，得出k的取值范围，从而求得k的最大整数值． 【解答】解：（1）延长AF交CD于点G， ∵AB＝6，AD＝8， ∴BD＝10， ∵AF⊥BE， ∴△ABE∽△DAG， ∴， ∴， ∴DG＝， ∵AB∥CD， ∴， ∴， ∴DF＝， 故答案为：； （2）设AE＝x，则DF＝kx， ∵△ABE∽△DAG， ∴， ∴， ∴DG＝， ∵， ∴， ∴x＝， ∵x＞0， ∴＞0， ∴0＜k＜， ∴k可取的最大整数值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握性质与判定方法是解题的关键． 16．（2024•钱塘区一模）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝y，则y关于x的函数表达式是 　y＝1+　． 【答案】y＝1+． 【分析】首先解析的性质证明△AFD∽△FEC，然后利用相似三角形的性质和折叠的性质即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴∠FEC+∠EFC＝90°， 由折叠得： BE＝EF，AB＝AF＝DC＝DF+CF，∠B＝∠AFE＝90°， ∵∠EFC+∠AFD＝90°， ∴∠AFD＝∠FEC， ∴△AFD∽△FEC， ∴＝， ∴＝， 而＝y， ∴y＝， ∴y＝1+， ∴y＝1+． 故答案为：y＝1+． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），函数关系式，熟练掌握一线三等角模型相似是解题的关键． 17．（2024•杭州一模）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，点F分别在AB，AC上，连结DE，DF． （1）若，求证：△BDE∽△CFD． （2）如图2，在（1）的条件下，连结EF，若EF＝9，BE＝10，求DE的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据等腰三角形的性质推出∠ABD＝∠ACD＝∠EDF，根据三角形外角性质求出∠BED＝∠CDE，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）结合（1）根据相似三角形的性质得出＝，则＝，结合∠B＝∠EDF，推出△BDE∽△DFE，根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACD＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A， ∵∠EDF＝90°﹣∠A， ∴∠ABD＝∠ACD＝∠EDF， ∵∠EDC＝∠ABD+∠BED，∠EDC＝∠EDF+∠CDE， ∴∠BED＝∠CDE， ∴△BDE∽△CFD； （2）解：∵△BDE∽△CFD， ∴＝， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴＝＝， ∴＝， ∴＝， 又∵∠B＝∠EDF， ∴△BDE∽△DFE， ∴＝， ∵EF＝9，BE＝10， ∴DE＝3（负值已舍）． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 18．（2024•台州模拟）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD． （1）求证：AB2＝AD•AC； （2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由∠ABC＝2∠ABD，∠ADB＝2∠ABD，得∠ADB＝∠ABC，而∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，得＝，所以AB2＝AD•AC； （2）由相似三角形的性质得∠ABD＝∠C，因为∠ABD＝∠DBC，所以∠C＝∠DBC，求得DB＝DC＝2，AD＝1，所以AC＝3，则AB2＝AD•AC＝3，AD2＝1，DB2＝4，所以AB2+AD2＝DB2，则∠A＝90°． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵∠ADB＝2∠ABD， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴＝， ∴AB2＝AD•AC． （2）解：∵△ADB∽△ABC， ∴∠ABD＝∠C， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠C＝∠DBC， ∵DC＝2AD＝2， ∴AD＝1，DB＝DC＝2， ∴AC＝AD+DC＝1+2＝3， ∵AB2＝AD•AC＝1×3＝3，AD2＝12＝1，DB2＝22＝4， ∴AB2+AD2＝DB2＝4， ∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°， ∴∠A的度数是90°． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，证明△ADB∽△ABC是解题的关键． 19．（2024•温州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E在CD上，∠DAE＝45°，F为BC的中点，连结AE，AF，分别交BD于点G，H，连结EF． （1）求证：BD＝2EF． （2）当EF＝6时，求GH的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）4． 【分析】（1）根据矩形的性质得出AB＝CD＝2AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，结合直角三角形的性质、等腰三角形的判定求出AD＝ED，则DE＝CE，即可求出EF是△BCD的中位线，根据三角形中位线的性质求解即可； （2）结合（1）求出BD＝12，根据矩形的性质求出＝，＝，CD∥AB，AD∥BC，即可判定△DEG∽△BAG，△FBH∽△ADH，根据相似三角形的性质求出DG＝4，BH＝4，根据线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2AD， ∴AB＝CD＝2AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，AD＝BC， ∵∠DAE＝45°， ∴∠DEA＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE， ∴AD＝ED， ∴CD＝2DE， ∴DE＝CE， ∵F为BC的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴BD＝2EF； （2）解：由（1）知，BD＝2EF， ∵EF＝6， ∴BD＝12， ∵AB＝CD＝2AD＝2DE，AD＝BC，F为BC的中点， ∴＝，＝， 在矩形ABCD中，CD∥AB，AD∥BC， ∴△DEG∽△BAG，△FBH∽△ADH， ∴＝＝，＝＝， ∴＝，＝， ∴DG＝4，BH＝4， ∴GH＝BD﹣DG﹣BH＝4． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（2024•钱塘区一模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且． （1）若AC＝25，求线段AE，GF的长． （2）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，即可判定△ADE∽△ABC，△BFG∽△BCE，根据相似三角形的性质及比例的性质求解即可； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”及比例的性质求出S△BCE＝75，再结合比例的性质、三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形DFCE是平行四边形， ∴DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∵AC＝25， ∴AE＝10， ∴CE＝25﹣10＝15， ∵＝＝， ∴＝， ∵DF∥AC， ∴△BFG∽△BCE， ∴＝＝， ∴GF＝9； （2）∵△BFG∽△BCE，＝， ∴＝＝， ∵S△BFG+S四边形GFCE＝S△BCE， ∴＝＝， ∵四边形GFCE的面积为48， ∴S△BCE＝75， ∵＝，AE+CE＝AC， ∴＝， ∴＝， ∴S△ABC＝125． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 21．（2024•钱塘区二模）如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连结AG并延长交BC的延长线于点F，连结BD交AF于点E，连结CE． （1）若BE＝BC，∠ABC＝80°，请直接写出∠DAE的度数． （2）求证：EC2＝EF•EG． （3）若AB＝6，，求CF的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣80°＝100°，，得出∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝100°﹣70°＝30°； （2）证明△CEG∽△FEC，即可得出EC2＝EF•EG； （3）证明△ADG∽△FCG，得出，从而得到CF＝2AD＝2×6＝12． 【解答】（1）解：∵ABCD是菱形，BE＝BC， ∴AB＝BC＝BE，AD∥BC，， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣80°＝100°，， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝100°﹣70°＝30°； （2）证明：∵ABCD是菱形， ∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE， 又∵DE＝DE， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴∠DAF＝∠DCE， 又∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠F， ∴∠DCE＝∠F， 又∵∠CEF＝∠GEC， ∴△CEG∽△FEC， ∴，即EC2＝EF•EG； （3）解：在菱形ABCD中，CD＝AB＝6， 设GE＝a，则AE＝CE＝3a， ∵EC2＝EF•EG， ∴EF＝9a， ∴AG＝AE+EG＝3a+a＝4a，FG＝FE﹣EG＝9a﹣a＝8a， 又∵AD∥BC， ∴∠ADG＝∠DCF，∠DAF＝∠F， ∴△ADG∽△FCG， ∴， ∴CF＝2AD＝2×6＝12． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，菱形的性质． 22．（2024•镇海区校级三模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝6，BC＝12点F在AB上，连结CF并延长，交⊙O于点D，连结BD，作BE⊥CD，垂足为E． （1）求证：△DBE∽△ABC． （2）若DE＝3，求CE的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据圆周角定理得∠BDE＝∠BAC，即可证明结论； （2）利用相似三角形的性质求出BE，再根据勾股定理求出答案． 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∵， ∴∠BDC＝∠BAC， ∴△DBE∽△ABC； （2）解：∵△DBE∽△ABC， ∴， ∵AC＝6，BC＝12，DE＝3， ∴， ∴BE＝6， 在Rt△BEC中，． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23．（2024•普陀区二模）在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作验算 如图1，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，D为AB上一点，∠ACD＝30°．甲同学沿EF对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕分别交射线CA、射线CB于点E、点F． ①求的值，②若，求BD、的值； （2）迁移探究 如图2，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，D为线段AB上任意一点．乙同学沿EF对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕分别交射线CA、射线CB于点E、点F． 探究与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 如图3，△ABC是等腰直角三角形纸片，∠ACB＝90°，丙同学在AB取点D，使，沿EB对折，使点C的对应点落在射线CD上，折痕交线段CA于点E，连结DE，求证：BE＝3DE． 【答案】（1）①；②，； （2）； （3）见解析． 【分析】（1）①先得出∠ECD＝∠CFE＝30°，得到；②过点D作DG⊥AC交AC于点G，，，； （2）过点D作DH⊥AC交AC于点H，DK⊥BC交BC于点K，，BD＝DK，得出，根据CH＝DK，得出，再根据tan∠CFE＝，∠CFE＝∠ACD，得出； （3）过点A作BC的平行线交CD的延长线于点M，根据△ADM∽△BDC，得出，得到CM＝3DM，再证明△AMC≌△CEB（ASA），得到CM＝BE，△AED≌△AMD（SAS），得到DM＝ED，得出BE＝3DE． 【解答】解：（1）①由题意得：CD⊥EF， ∵∠ACD＝30°， ∴∠ECD＝∠CFE＝30°， ∴； ②过点D作DG⊥AC交AC于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 过点D作DH⊥AC交AC于点H，DK⊥BC交BC于点K， ∴四边形CHDK是矩形， ∴CH＝DK， ∵，BD＝DK， ∴， ∵CH＝DK， ∴， ∵tan∠CFE＝， 又∵∠CFE＝∠ACD， ∴； （3）过点A作BC的平行线交CD的延长线于点M， ∵，由（2）可得， ∴， ∴AE＝CE， ∵△ADM∽△BDC， ∴， ∴CM＝3DM， ∵AC＝BC，∠ACM＝∠CBE，∠CAM＝∠BCE＝90°， ∴△AMC≌△CEB（ASA）， ∴CM＝BE，AM＝CE＝AE， ∵AE＝AM，∠EAD＝∠MAD＝45°，AD＝AD， ∴△AED≌△AMD（SAS）， ∴DM＝ED， ∴BE＝3DE． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24．（2024•西湖区校级二模）【基础巩固】 （1）如图（1），在△ABC和△EDB中，点E在BC上，AC∥BD，∠A＝∠BED，求证：△ABC∽△EDB． 【尝试应用】 （2）如图（2），在（1）的条件下，连结CD．若∠BCD＝90°，AC＝EC＝2，BE＝4，求DE的长． 【拓展提高】 （3）如图（3），在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边CD上一点，DE＝2CE，连结AE交BD于点F，线段AE与BC的延长线交于点P，若∠AFB＝∠ABC，OF＝1，求BC的长． 【答案】（1）证明见解析． （2）DE的长为4． （3）BC的长为2． 【分析】（1）根据两角相等三角形相似可得结论． （2）根据△ABC∽△EDB，列比例式可得BD＝12，再根据勾股定理即可求解． （3）证明△ADE∽△PCE，得＝＝2，设CP＝a，则AD＝BC＝2a，证明△DAB∽△BFP，最后由平行四边形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵AC∥BD， ∴∠C＝∠CBD， ∵∠A＝∠BED， ∴△ABC∽△EDB； （2）解：∵EC＝2，BE＝4， ∴BC＝2+4＝6， ∵△ABC∽△EDB， ∴，即， ∴BD＝12， ∵∠BCD＝90°， ∴CD＝6， ∴ED＝4； 故DE的长为4． （3）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，AC＝2AO， ∴∠ADE＝∠PCE，∠DAE＝∠P， ∴△ADE∽△PCE， ∴＝＝2， 设CP＝a，则AD＝BC＝2a， ∴BP＝3a， 同理可得：△ADF∽△PBF， ∴＝＝， ∴BF＝BD， ∵OF＝1， ∴BF﹣OB＝BD﹣BD＝1， ∴BD＝10，BF＝6，OB＝5， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠DAB＝180°，∠ADB＝∠FBP， ∵∠AFB+∠BFP＝180°，∠AFB＝∠ABC， ∴∠DAB＝∠BFP， ∴△DAB∽△BFP， ∴＝，即＝， ∴a＝（负值舍）， ∴BC＝2． 故BC的长为2． 【点评】本题考查了相似形综合应用，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质． 25．（2024•浙江一模）正方形ABCD边长为3，点E是CD上一点，连结BE交AC于点F． （1）如图1，若CE＝1，求CF的值； （2）如图1，，若，求m的值． （3）如图2，点G为BC上一点，且满足∠GAC＝∠EBC，设CE＝x，GB＝y，试探究y与x的函数关系． 【答案】（1）； （2）m＝1； （3）（0≤x≤3）． 【分析】（1）证△CEF∽△ABF可得，结合AF＝AC﹣CF即可求解； （2）由可得，进一步可得，据此即可求解； （3）由（1）可得，证△ACG∽△BCF得即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：AB∥CE，AB＝BC＝3， ∴， ∴， 即：， 解得：； （2）∵， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：m＝1； （3）由（1）得：， 即：， 解得：， ∵∠GAC＝∠EBC，∠ACG＝∠BCF， ∴△ACG∽△BCF， ∴， 即：， ∴， 整理得：， ∵y≥0， ∴9﹣3x≥0，x≤3， 又x≥0， ∴0≤x≤3， 故：（0≤x≤3）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形判定定理的内容是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$