第8章 整式乘法（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第8章 整式乘法（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．若，则m的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查多项式乘多项式．利用多项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：B． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂的除法运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及乘法公式；根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 【答案】B 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】利用整体思想进行，将所求的代数式进行化简成和已知代数式相同的形式，然后进行代入求值． 本题考查了代数式的求值，解题的关键是：运用等式的性质进行变形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查整式乘法与几何的应用，理解题意，能用代数式表示图中阴影部分的面积是解答的关键． 【详解】解：左图中阴影部分的面积为， 右图中阴影部分的面积为， ∴相应的代数恒等式为， 故选：C． 6．定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了新定义运算，单形式乘以多项式；由新定义得，进行单形式乘以多项式运算，即可求解；理解新定义，正确进行单形式乘以多项式运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 原式 ， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．计算： ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式：计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．如果，则的值为 ． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据即可求解 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 9．已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则 ． 【答案】/ 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．根据题意有，结合整式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．如果是完全平方式，那么 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的特点即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 11．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有 ．（填序号） 【答案】①④⑥ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的特点：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此判断即可． 【详解】解：①符合平方差公式的特点； ②不符合平方差公式的特点； ③，不符合平方差公式的特点； ④，符合平方差公式的特点； ⑤不符合平方差公式的特点； ⑥，符合平方差公式的特点； ∴符合平方差公式特征的有①④⑥． 故答案为：①④⑥． 12．若正方形的边长增加，其面积将增加，则该正方形的边长是 · 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，完全平方公式，设该正方形的边长是，根据等量关系列方程求解即可得到答案，读懂题意，列方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设该正方形的边长是，则 ，解得， 设该正方形的边长是， 故答案为：． 13．的展开式中不含项和常数项，则 ； 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了无关型问题．熟练掌握多项式相乘法则合并同类项法则，代数式求值，是解题的关键． 用多项式乘多项式法则展开，合并同类项，根据不含项和常数项，令项系数和常数项都为0，解方程求出a、b的值，代入计算即得． 【详解】∵ 中不含项和常数项， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 【答案】 1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可． 【详解】恒成立， ． 故答案为：1，． 15．若，，则M N（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题主要考查整式的四则混合运算的应用，掌握运用整式相减的方法比较代数式大小的方法成为解题的关键． 先运用整式减法运算法则计算，然后根据的正负即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故答案为：>． 16．如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共 张． 【答案】9 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．由，得A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为，因此需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：， ∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为， ∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张，共9张． 故答案为：9． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．先化简，再求值：其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式先展开合并，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10201 (2)1 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 19．若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 20．小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）设被遮住的一次项系数为，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 即 ， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴， 解得：， ∴被遮住的一次项系数为． 21．我国在西昌卫星发射中心成功将“天通一号”发射升空，某校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型截面图：下面为等腰梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)请用含a，b的式子表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 【答案】(1) (2)这个截面的面积为 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，单项式乘以单项式运算的应用，解题的关键是正确列出算式． （1）根据梯形、长方形和三角形的面积公式列式计算即可； （2）直接把，代入（1）中结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时，． 答：这个截面的面积为． 22．同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 【答案】[基础公式] [公式变形] [应用]（1） （2） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式及其变形计算是解题的关键． [基础公式]由完全平方和公式即可求解； [公式变形]根据完全平方公式的变形即可求解； [应用]（1）根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可； （2）运用完全平方公式变形得到，代入计算即可． 【详解】解：[基础公式]， 故答案为：； [公式变形]， 故答案为：； [应用]（1）∵，， ∴原式； （2）∵，， ∴原式． 23．对于有理数，规定新运算，例如，因为，所以． (1)计算：①_____；②_____；③若，则_____；（直接写出结果）； (2)若，且，求的值； (3)记，，判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②；③ (2)； (3)，理由见解析； 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、计算单项式乘多项式及求值、整式的加减运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解一元一次方程，整式的运算，能根据新运算展开是解本题的关键． （1）①根据新运算的规则展开，再求出即可；②根据新运算的规则展开，再求出即可；③分和两种情形列一元一次方程求解即可； （2）由，，且，得代入即可得解； （3）先根据新运算的规则展开，再求出，，最后用差值法比较和的大小． 【详解】（1）①∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：． ③当即时，， 解得； 当即时，， 解得（不符合题意，舍去）， 故答案为：； （2）∵，，且， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．观察下列各式： ①； ②； ③； ④ 请回答下列问题： (1)总结公式：______； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值； (3)已知a，b，m，n均为整数，且若，请直接写出n的值． 【答案】(1)； (2)m的值为6或； (3)n的值为22或8或或 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）根据已知算式的规律可得出答案； （2）根据（1）中的规律得，，再根据a，b，m均为整数，①，；②，；③，；④，，据此可得m的值； （3）根据中的规律得，，，再根据a，b，m，n均为整数，且得①，；②，；③，；④，，据此可得n的值． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 以此类推，， 故答案为： （2）解：， 由（1）得：，， ，b，m均为整数， 有以下四种情况： ①，；②，；③，；④，， ①当，时，， ②当，时，， ③当，时，， ④当，时，， 综上所述：m的值为6或 （3）解：，， ，，， 又，b，m，n均为整数，且， 有以下四种情况： ①，；②，；③，；④，， ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，， 综上所述：n的值为22或8或或 25．数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形． 【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：______． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片______张，乙种纸片______张，丙种纸片______张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为，，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】观察发现：；操作探究：1，2，3；拓展延伸：10 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 观察发现：根据图（2）的面积边长为的正方形的面积一个边长为的正方形的面积一个边长为的正方形面积个长为，宽为的长方形面积，列出算式即可； 操作探究：利用多项式乘多项式法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可； 拓展延伸：先根据已知条件可知，然后根据已知条件为完全平方公式，求出，最后根据阴影部分的面积边长是的正方形面积边长是的正方形的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】观察发现： 解：观察图形可知：图（2）的面积为：，还可以表示为：， 正确的等式为：， 故答案为：； 操作探究： 解： ， 需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张， 故答案为：1，2，3； 拓展延伸： 解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 阴影部分的面积 ． 26．学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减，熟练掌握整式混合运算运算法则是解题关键． （1）先计算可得到，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答； （2）设，由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与x的值无关，即有，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 的值与无关， ，即； （2）解：设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ， ． 27．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ∵，∴．因此代数式有最小值； ②． ∵，∴．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)1，13 (2) (3)18 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 即， ∴的最小值为1， ， ∵， ∴， ∴的最大值为13， 故答案为：1，13； （2）解： ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为18． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 整式乘法（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若，则m的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 5．观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 6．定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．计算： ． 8．如果，则的值为 ． 9．已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则 ． 10．如果是完全平方式，那么 ． 11．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有 ．（填序号） 12．若正方形的边长增加，其面积将增加，则该正方形的边长是 · 13．的展开式中不含项和常数项，则 ； 14．若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 15．若，，则M N（填“>”、“<”或“=”） 16．如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共 张． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．先化简，再求值：其中，． 18．用简便方法计算： (1)； (2)． 19．若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 20．小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 21．我国在西昌卫星发射中心成功将“天通一号”发射升空，某校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型截面图：下面为等腰梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)请用含a，b的式子表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 22．同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 23．对于有理数，规定新运算，例如，因为，所以． (1)计算：①_____；②_____；③若，则_____；（直接写出结果）； (2)若，且，求的值； (3)记，，判断和的大小关系，并说明理由． 24．观察下列各式： ①； ②； ③； ④ 请回答下列问题： (1)总结公式：______； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值； (3)已知a，b，m，n均为整数，且若，请直接写出n的值． 25．数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形． 【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：______． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片______张，乙种纸片______张，丙种纸片______张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为，，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 26．学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 27．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ∵，∴．因此代数式有最小值； ②． ∵，∴．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，若，求四边形面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$