第17讲 第六章 平面向量及其应用 章节验收测评卷-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第17讲 第六章 平面向量及其应用 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知在中， ，分别为，的中点， ， ，则可以用含，的式子表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东惠州·期中）已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山西·阶段练习）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．图（正八边形）是由图（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）在正方形中，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则必是等腰直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则 D．在中，若，则必是等边三角形 11．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（    ） A．若平行四边形的面积为4，则 B．在正中，若，则 C．若，，则的最小值为12 D．若，，且为单位向量，则的值可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知向量，，若，则 . 13．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）海上某货轮在处看灯塔，在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里C处，货轮由处向正北航行到处时看灯塔在东偏南，则灯塔与处之间的距离为 海里． 14．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知平面向量，， ，，且与的夹角为． (1)求和的值； (2)若与垂直，求λ的值． 16．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设，． (1)若，，求的值； (2)若点为线段的中点，求的最小值． 17．（中学生标准学术能力（TDA）诊断性测试2024-2025学年高二上学期9月测试数学（A）试卷）在中，角的对边分别是，且． (1)求角； (2)已知为边上一点，且，求的长． 18．（河北省部分地区2025届高三上学期10月摸底考试数学试卷）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知 (1)若，求的大小； (2)求的取值范围. 19．（24-25高二上·黑龙江大庆·开学考试）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于 时，使得 的点即为费马点；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为 ，且，点 为的费马点. （ⅰ）若 ，求 ; （ⅱ）若 ，求的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 第六章 平面向量及其应用 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量数量积的坐标运算计算可得结果. 【详解】由可得，即， 也即，解得. 故选：D 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知在中， ，分别为，的中点， ， ，则可以用含，的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】由向量的加减法则，，分别与相应的关系，再消元构建三者的关系，得出结果. 【详解】由题意得，，，故， 故. 故选：B. 3．（24-25高三上·广东惠州·期中）已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量、数量积的运算律 【分析】根据题意，由数量积的运算律可得，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由，得，即， 由已知得，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4．（24-25高三上·山西·阶段练习）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．图（正八边形）是由图（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】方法一：作，，可知四边形为正方形，根据长度关系和向量线性运算可求得的值，进而得到结果； 方法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算可求得的值，进而得到结果. 【详解】方法一：过作，，垂足分别是， ，四边形为正方形， ，又， ，即，； 方法二：分别以射线为轴，轴的正半轴建立直角坐标系， 设，则， ，，， 由得：， ，解得：，. 故选：A. 5．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形 【分析】由已知及余弦定理求，再应用平方关系求正弦值. 【详解】由题设， 由三角形内角性质，知. 故选：B 6．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）在正方形中，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可. 【详解】 建立平面直角坐标系，设正方形的棱长为， 因为， 则，，，， 所以，， 所以. 故选：C 7．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理得， 即，由余弦定理得，， 则，当且仅当时取等号，因此， 的面积， 所以当时，的面积取得最大值. 故选：C 8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得. 【详解】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得 ， 因为，化简可得， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，所以可得， 所以， 则， 因为锐角，所以， 则，在单调递增， 则，令，所以， 所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，是极小值，当或时，最大值， 则. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据共线向量定理，即可判断选项． 【详解】对于A，因为，，故，即，故A正确； 对于B，因为，，则，故B正确； 对于C，，，由于不共线，故，所以向量不平行，故C错误． 对于D，，故，此时，故D正确， 故选：ABD． 10．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则必是等腰直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则 D．在中，若，则必是等边三角形 【答案】BCD 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】A由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系；B由，则，结合正弦函数的单调性可得证；C由正弦定理的边角关系判断；D利用余弦定理，结合已知得，进而判断△的形状. 【详解】A：由题设，可得， 又，则或，故为等腰或直角三角形，错误； B：在锐角中，，则， 又在单调递增，所以，正确； C：若，由大角对大边知，又，可知，正确； D：由题设，，故，即，又， 可知，故必是等边三角形，正确. 故选：BCD 11．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（    ） A．若平行四边形的面积为4，则 B．在正中，若，则 C．若，，则的最小值为12 D．若，，且为单位向量，则的值可能为 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、向量新定义 【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为平行四边形的面积为4，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，所以B正确； 对于C，因为，，所以，， 所以，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C错误； 对于D，若，，且为单位向量， 则当，，，时，， ， 此时，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知向量，，若，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量平行得到方程，求出，从而得到，利用模长公式求出答案. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以. 故答案为： 13．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）海上某货轮在处看灯塔，在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里C处，货轮由处向正北航行到处时看灯塔在东偏南，则灯塔与处之间的距离为 海里． 【答案】 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理和余弦定理求解即可． 【详解】如图：由题意，， 所以， 在中，由正弦定理，即，所以， 在中，，所以. 故答案为：． 14．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、用基底表示向量、用定义求向量的数量积 【分析】利用基底，结合向量的线性运算表示，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】设，其中， 已知边长为2的菱形中，， 则为等边三角形，又， 则 又，故 故． 故答案为：    四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知平面向量，， ，，且与的夹角为． (1)求和的值； (2)若与垂直，求λ的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、数量积的运算律、利用向量垂直求参数 【分析】（1）由向量数量积的定义求出，再利用向量数量积的运算律计算； （2）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得. 【详解】（1）∵，，且与的夹角为， ∴, 故； （2）∵与垂直， ∴， 即，解得：． 16．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设，． (1)若，，求的值； (2)若点为线段的中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据图形用表示，再用表示，由三点共线即可求解. （2）用表示，再由三点共线的等式关系，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为为线段上靠近点的三等分点， 所以， 设，即，， 所以， 又因为，， 所以，， 所以， 即， 又因为三点共线，则，解得， 所以，所以. （2）由（1）可知，， 而，， 所以， 又因为点为线段的中点， 所以,即， 又由三点共线， 所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 17．（中学生标准学术能力（TDA）诊断性测试2024-2025学年高二上学期9月测试数学（A）试卷）在中，角的对边分别是，且． (1)求角； (2)已知为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2)1 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据正弦定理边化角，然后结合两角和的正弦公式及特殊角的余弦值求解即可. （2）利用三角形相似得，求得，然后在中由余弦定理求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， 由可得：， ， ， 可得：， ，，. （2）， 与相似，满足：， 设，则有， 解得：（舍去），即：， ， 在中，由余弦定理可得：， 即：， 解得：（舍去），的长为1. 18．（河北省部分地区2025届高三上学期10月摸底考试数学试卷）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知 (1)若，求的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、正弦定理边角互化的应用、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式化简，再利用正弦函数性质求出角的关系即可得解. （2）由（1）已知角，结合正弦定理化边为角，再利用二倍角公式变换，结合余弦函数的性质求解. 【详解】（1）在中，由， 得， 即，而， 则，而，因此， 又，所以. （2）由（1）知，，则，， 由正弦定理得：， 所以的取值范围是. 19．（24-25高二上·黑龙江大庆·开学考试）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于 时，使得 的点即为费马点；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为 ，且，点 为的费马点. （ⅰ）若 ，求 ; （ⅱ）若 ，求的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ） ; （ⅱ） 【知识点】基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）运用费马点定义，结合等边三角形性质可解； （2）（ⅰ）由正弦定理得 ，由费马点定义可知，，结合 得，再用数量积可解；（ⅱ）设,可以推得，则 ，由余弦定理和勾股定理，得到，再结合基本不等式和二次不等式计算即可. 【详解】（1）因为 为等边三角形，三个内角均小于 ， 故费马点 在三角形内，满足，且， 如图：过作 于，则 ，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为 .    （2）（ⅰ）因为 ，由正弦定理 ，且 ， 所以得，所以的三个角都小于 ， 则由费马点定义可知，， 设 ，，由 得 ，整理得， 则 .    （ⅱ）由（ⅰ）知 ，所以点 在 内部，且 ， 设， 所以 ，由余弦定理得，， ，由勾股定理得，， 即， 所以 ，即， 而，当且仅当， 即时，等号成立. 设，则 ，解得 或 （舍去）， 故最小值为 . 【点睛】知识点点睛：本题主要借助新定义，以三角形为载体，综合考查正余弦定理，向量数量积，基本不等式运用，一元二次不等式解法，属于难题. / 学科网（北京）股份有限公司 $$