第16讲 第六章 平面向量及其应用 章末题型大总结(（13类热点题型讲练)-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第16讲 第六章 平面向量及其应用 章末题型大总结 题型01平面向量的线性运算及坐标运算 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）如图，在中，是的中点.若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）如图，为内一点，为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）在如图所示的正六边形ABCDEF中，若，则（    ）    A．2 B．5 C．3 D．4 4．（23-24高一下·山东东营·期末）如图，已知，则（   ） A． B． C． D． 题型02平面向量的共线及其推论 1．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 2．（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 3．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型03平面向量的数量积（定值，最值，范围）（定义法） 1．（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的最大值是 . 题型04平面向量的数量积（定值，最值，范围）（坐标法） 1．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）在平行四边形中，，边的长分别为. 若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05平面向量的数量积（定值，最值，范围）（极化恒等式法） 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知点，，.动点满足，则的最大值为（   ） A． B． C．30 D．31 2．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）在平面四边形中， ；若为边上的动点，且，则的取值范围为 . 题型06平面向量的夹角（锐角，钝角，直角） 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高二上·山东淄博·开学考试）已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，. (1)求在上的投影向量的坐标. (2)若，，求证：、、三点共线. (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 题型07求向量的夹角（定值，最值，范围） 1．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知向量在向量方向上的投影向量的模，向量在向量方向上的投影向量的模为，且，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 3．（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，是边BC的中点，是边AC上靠近点的三等分点，AM与BN交于点． (1)求； (2)求的余弦值． 题型08向量的模与距离（定值，最值，范围） 1．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知单位向量满足，若非零向量，其中，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知平面向量满足， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广西桂林·开学考试）平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是 ． 题型09利用正（余）弦定理解三角形 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设的内角所对的边分别为，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）的内角对应的边分别为，若，则（    ） A． B． C．或 D．无解 3．（2024高二下·河北）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 5．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知，，. (1)求c的值； (2)求的值； 题型10三角形中周长（边）的定值，最值，范围问题 1．（2024·河南周口·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，若，且满足，则的取值范围为 ． 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）锐角中，角的对边分别为，且 (1)求的值； (2)求的周长的取值范围. 4．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）在五边形ABCDE中，，，，，. (1)求BE的长度； (2)求三角形ABE周长的最大值为多少？ 5．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知、、分别为内角的对边，已知且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的值； (3)求周长的取值范围． 题型11三角形(四边形）中面积的定值，最值，范围问题 1．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为 2．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知的内角的对边分别为，且为锐角三角形，，则面积的取值范围为 ． 3．（2024·河北·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则面积的最大值为 ． 4．（2024·广东珠海·一模）在中，角，，的对边分别为，b，其中，，且． (1)求的值； (2)若的外接圆半径为5，求面积的最大值． 5．（23-24高三上·山东济南·期末）在中，角的对边分别是，已知． (1)求角； (2)若点在边上，且，求面积的最大值． 6．（2024·江苏南京·模拟预测）在凸四边形中，已知 (1)若，求的值； (2)求四边形面积的最大值. 题型12三角形中的中线问题 1．（2024·黑龙江大庆·三模）在中，，若边上的两条中线相交于点，则 ； . 2．（23-24高三上·广东广州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若中边上中线的长度为3，求面积的最大值. 3．（23-24高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 4．（23-24高一下·四川宜宾·期末）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c． 条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 题型13三角形中角平分线问题 1．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则 . 2．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，的角平分线交于，则 . 3．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，内角的角平分线长为，则的面积为 . 4．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 5．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)已知，的面积为，且AD为角A的角平分线，求线段AD的长. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 第六章 平面向量及其应用 章末题型大总结 题型01平面向量的线性运算及坐标运算 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）如图，在中，是的中点.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】因为是的中点，，， 所以 . 故选：C. 2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）如图，为内一点，为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量 【分析】结合图形，由向量的加法法则求解即可； 【详解】. 故选：B. 3．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）在如图所示的正六边形ABCDEF中，若，则（    ）    A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】建立直角坐标系坐标表示向量，由向量相等关系建立方程组求解系数即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设正六边形ABCDEF边长为， 则， ， 由， 则， 所以有，解得， 则. 故选：D.    4．（23-24高一下·山东东营·期末）如图，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用坐标表示平面向量、由向量线性运算结果求参数、利用平面向量基本定理求参数、解析法在向量中的应用 【分析】题中有90°，因此建立平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算即可． 【详解】建立如图所示的直角坐标系， ， ， 设， ， ，解得， 所以. 故选：A. 题型02平面向量的共线及其推论 1．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值、平面向量共线定理的推论 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】根据题意，， 所以 又， 所以 因为三点共线， 所以，即，由图可知，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1. 故选：B.    2．（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据共线向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以设，故， 即， 又， 故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 3．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先由共线定理得出，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】因为为上任意一点，， 因为三点共线，所以由共线定理得， 则， 当且仅当且，即时取等号，此时的最小值是12． 故选：C 4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值、平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】根据在线段上得到，结合已知条件得到，和的关系式，最后转化为二次函数求最小值. 【详解】在线段上，，， 为线段的一个三等分点，，， ， 由平面向量基本定理得，， ， 当时，取得最小值. 故选：C. 题型03平面向量的数量积（定值，最值，范围）（定义法） 1．（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【详解】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 2．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的最大值是 . 【答案】6 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】利用数量积的几何意义，结合图形分析即可得解. 【详解】， 如下图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，所以， 因为，所以，所以， 所以. 故答案为：6.    题型04平面向量的数量积（定值，最值，范围）（坐标法） 1．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）在平行四边形中，，边的长分别为. 若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】利用坐标法，设，可得，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，， 设，， 则， 所以， 因为，函数的对称轴为， 所以时，， 故选：B. 2．（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【详解】正八边形的每个内角为， 延长交直线于点，延长交直线于点， ，则为等腰直角三角形， 且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、， 设点，则，，， 所以，， 故选：B. 题型05平面向量的数量积（定值，最值，范围）（极化恒等式法） 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知点，，.动点满足，则的最大值为（   ） A． B． C．30 D．31 【答案】C 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、轨迹问题——圆、数量积的运算律、由标准方程确定圆心和半径 【分析】设，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，整理可得，结合圆的性质运算求解. 【详解】设， 则， 整理可得， 故点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 又因为， 且， 可得，所以的最大值为30. 故选：C. 2．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）在平面四边形中， ；若为边上的动点，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由可知平面四边形是平行四边形，由可知四边形是菱形且边长为2，由可知，即可求出相关的角度和长度，再利用向量极化恒等式，即可求解. 【详解】如图，设交于，.不妨设点到点的距离大于点到点的距离， 因为且， 所以平面四边形是平行四边形， 设，所以， 所以， 所以，则平面四边形是菱形， 又，所以， 所以，又，则， 所以， 所以， 设的中点为，则， 所以， 又易知的最小值为，最大值为， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：， 题型06平面向量的夹角（锐角，钝角，直角） 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得. 【详解】由向量与的夹角为锐角，得，且不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．（24-25高二上·山东淄博·开学考试）已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答. 【详解】向量，，由与的夹角是锐角，得且不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围是且. 故答案为：且 3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、利用数量积求参数 【分析】由与的数量积小于0且不共线即可求得实数的取值范围. 【详解】解：向量、满足，，且、的夹角为， 故. 因为与向量的夹角为钝角， 所以且向量与向量不共线， 所以且， 解之得：且， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，. (1)求在上的投影向量的坐标. (2)若，，求证：、、三点共线. (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】（1）根据给定条件，直接求出在上的投影向量的坐标. （2）利用向量共线证明三点共线. （3）利用向量夹角公式，结合向量共线列式计算即得. 【详解】（1）依题意，在上的投影向量为. （2）依题意，不共线，由，，得， 即向量共线，且与有公共点， 所以、、三点共线. （3）依题意，，， 由与的夹角为钝角，得，且与不共线， 则且，解得，且， 所以实数的取值范围是. 题型07求向量的夹角（定值，最值，范围） 1．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知向量在向量方向上的投影向量的模，向量在向量方向上的投影向量的模为，且，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、求投影向量 【分析】根据投影向量的模长公式计算出，再由向量垂直关系列出方程，求出向量与向量的夹角余弦，得到夹角. 【详解】由题可得，所以. 因为，所以， 设向量与向量的夹角为， 所以，所以， 即. 因为，所以， 故向量与向量的夹角为. 故选：B. 2．（2024·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 【答案】-1 【知识点】相反向量、数量积的运算律、用向量解决夹角问题、向量与几何最值 【分析】先根据向量模长相关不等式得到，解出，设，，夹角为，将两边平方，得到，结合，求出，得到答案. 【详解】，故， 因为，所以，又， 所以，解得：， 不妨设，，夹角为，则， 两边平方得：， 即，解得：， 因为，所以， 故，夹角的余弦的最小值为-1. 故答案为：-1 3．（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，是边BC的中点，是边AC上靠近点的三等分点，AM与BN交于点． (1)求； (2)求的余弦值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）取平面向量的一个基底，再利用向量的线性运算求出，利用数量积的运算律计算即得. （2）利用（1）的信息，利用向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）在中，，则，， 由是边BC的中点，得，由是边AC上靠近点的三等分点， 得，因此 . （2）由（1）知，， ， 所以的余弦值 题型08向量的模与距离（定值，最值，范围） 1．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用向量的模的计算可得，结合二次函数可求最小值. 【详解】因为均为单位向量，且且， 所以， ， 当时，的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知单位向量满足，若非零向量，其中，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知数量积求模 【分析】根据已知条件进行化简， 【详解】由两边平方得， 所以，所以， 当时，， 当时，， 当时等号成立. 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】本题的主要解题方法是化归与转化的数学思想方法，根据向量的运算，将已知条件进行平方变形，等到等量关系式，由此来化简所要求得表达式，再根据化简后的式子的结构来选择求最值的方法. 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知平面向量满足， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】依题意，，， 则， 所以. 故选：C 4．（24-25高二上·广西桂林·开学考试）平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】利用平方的方法化简已知不等式，然后根据一元二次不等式恒成立的知识求得正确答案. 【详解】由， 所以，对任意实数成立， 所以，即， 即，所以. 故答案为： 【点睛】本题是一个综合性的题目，一个是数量积的运算，包括模的处理方法，一个是一元二次不等式恒成立问题，包括一元二次不等式的解法，还需要对主参变量进行确定. 题型09利用正（余）弦定理解三角形 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设的内角所对的边分别为，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用三角形的内角和为，可求得，再利用正弦定理求解即可. 【详解】解：因为，， 所以， 又因为，， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）的内角对应的边分别为，若，则（    ） A． B． C．或 D．无解 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据给定条件利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】在中，因， 于是由余弦定理得：， 即，解得或. 故选：C 3．（2024高二下·河北）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】易知，在和中分别利用余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由，得. 故选：C 4．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】在中，利用余弦定理求出，即可求得. 【详解】在中，，由余弦定理， ， 因为，所以， 又在中，， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知，，. (1)求c的值； (2)求的值； 【答案】(1)； (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理得，，解得； （2）由，，得， 由正弦定理，得，解得； 又，由正弦定理得. 题型10三角形中周长（边）的定值，最值，范围问题 1．（2024·河南周口·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理可得，结合余弦定理可得，进而结合余弦定理和三角形三边关系可求结果. 【详解】由正弦定理及，可得， 所以， 所以，所以，因为，所以， 因为外接圆的半径为，所以， 又由余弦定理可得， ，当且仅当时取等号，所以，又， 所以的取值范围为. 故选：C. 2．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，若，且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形 【分析】由已知结合正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角函数的图象求解即可． 【详解】由得，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，， 又为锐角三角形，所以，则，即， 由正弦定理得，，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，则， 所以，即， 所以， 故答案为：． 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）锐角中，角的对边分别为，且 (1)求的值； (2)求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据正弦定两角和的正弦公式化简即可得解； （2）由正弦定理化为关于C的三角函数，利用角的范围即可得出周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理：， 所以， 在中，， 所以， 所以. （2）由（1）及正弦定理得：， 所以 ， 因为是锐角三角形且， 所以，则， 所以， 所以. 4．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）在五边形ABCDE中，，，，，. (1)求BE的长度； (2)求三角形ABE周长的最大值为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）在中，利用正弦定理，可求得，在中，由余弦定理可得关于BE的方程，解之即可； （2）在中，结合余弦定理和基本不等式求得的最大值为，即可得解. 【详解】（1）在中，由正弦定理知，所以，解得， 在中，由余弦定理知 ，所以， 化简得，解得或（舍负）， 故BE的长度为； （2）在中，由余弦定理知，， 所以，所以， 即，当且仅当时，等号成立， 此时，的最大值为， 所以三角形ABE周长的最大值为． 5．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知、、分别为内角的对边，已知且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的值； (3)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简求解； （2）由面积公式得，再根据余弦定理求的值； （3）根据，，将周长化为三角函数求最值． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 所以， ，则，所以，即， ，则，故，因此，． （2）由三角形的面积公式可得， ，由余弦定理可得： ， 即 因此． （3）由正弦定理可得， 故， 所以， 所以 ， ，所以，则，所以， 所以， 因此，的周长的取值范围是． 题型11三角形(四边形）中面积的定值，最值，范围问题 1．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为 【答案】12 【知识点】求三角形面积的最值或范围、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】设，，则，结合正弦定理表示得，由余弦定理可得与的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解. 【详解】设，，则对，由正弦定理可得①， 对，由正弦定理可得②， 又，所以，又， 联立①②式可得，则， 则， 对，由余弦定理可得， 则 ， 当时，有最大值，，所以. 故答案为：12 2．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知的内角的对边分别为，且为锐角三角形，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求得，利用正弦定理和三角恒等变换的化简可得，结合和正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】由，，则， 即，又， 又，所以. 由正弦定理得， 所以， 又，，，所以， 则，得，所以， 所以. 即的面积的取值范围为. 故答案为： 3．（2024·河北·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、数量积的运算律 【分析】利用正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式化简，结合余弦定理求出，最后根据，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理，所以， 又，所以， 因为是中边上中线，则， 即，所以， 所以，可得，当且仅当时等号成立， 故， 即面积的最大值为． 故答案为： 4．（2024·广东珠海·一模）在中，角，，的对边分别为，b，其中，，且． (1)求的值； (2)若的外接圆半径为5，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)32 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，根据可变形为，由，即可求解； （2）由正弦定理可得，根据余弦定理结合基本不等式可得，根据面积公式即可求解面积的最大值. 【详解】（1）由题意得，， 由正弦定理可知，， 在中，因为，， 所以， 即， 因为，所以， 所以，又， 所以； （2）由正弦定理， 因为，，所以，， 由，得， 由基本不等式可知， ， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以面积的最大值为. 5．（23-24高三上·山东济南·期末）在中，角的对边分别是，已知． (1)求角； (2)若点在边上，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、平面向量的混合运算 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理得，再利用正弦的和角公式得到，即可求解； （2）根据条件，利用向量的线性运算，得到，从而有，再结合条件，利用余弦定理得到，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，整理得到， 即， 又，所以，得到， 又，所以. （2）因为， 所以， 又， 又由余弦定理， 得，所以， 所以，当且仅当取等号， 所以面积的最大值为. 6．（2024·江苏南京·模拟预测）在凸四边形中，已知 (1)若，求的值； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中的计算、求三角形面积的最值或范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由两次余弦定理得出，进而由和角公式得出的值； （2）由余弦定理得出，再由三角形面积公式结合三角恒等变换以及三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由余弦定理可得， ， 则. （2）由余弦定理可得，且 ， 当，即时，四边形的面积取最大值. 且为 题型12三角形中的中线问题 1．（2024·黑龙江大庆·三模）在中，，若边上的两条中线相交于点，则 ； . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】法一：由余弦定理得，从而得到，，以点为原点，建立空间直角坐标系，写出向量、的坐标即可求得数量积，由，由即可得到； 法二：选一组基向量，可得，分别表示出、、，利用数量积的运算法则求得、、、，由及公式求得. 【详解】法一：在中，由余弦定理得，所以. 因为，所以， 以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，， 所以， 所以. 法二： ，. 因为， ， ， ， 所以， 故答案为：，. 2．（23-24高三上·广东广州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若中边上中线的长度为3，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值 【分析】(1)根据正弦定理边角互化和三角函数恒等变换可求解； (2)通过向量的运算和基本不等式性质和三角形面积公式可求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意知， 由正弦定理得，， 所以， 又因，则， 所以， 因A为的内角，所以， 由得，则. （2）因是中边上中线， 则， 即，所以， 则， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立. 故，即面积的最大值为.    3．（23-24高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、用基底表示向量、向量夹角的计算 【分析】（1）由余弦定理即可得解；（2）与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小. 【详解】（1）因为，为的中点，所以, 在中， ， 所以 （2）因为为的中点，所以， 又， 所以, 所以， ， 所以， 又与的夹角相等， 所以， 所以的余弦值为. 4．（23-24高一下·四川宜宾·期末）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c． 条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)，或，． 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求A； （2）由选择的条件结合余弦定理，列方程组求b，c． 【详解】（1）中，已知， 由正弦定理得， 又， 则有， 由，，得， 则有， 由，有，所以，得． （2）若选择条件①： 由，余弦定理得， 由，有，得， 由，解得：，或，． 若选择条件②； 由，得， △ABC的面积，得， 由，解得：，或，． 题型13三角形中角平分线问题 1．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得. 【详解】在中，由为的角平分线，得， 由，得， 则，所以. 故答案为： 2．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，的角平分线交于，则 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】在中，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，根据角平分线的性质可得：，在中，由正弦定理可得：即可求解. 【详解】因为在中，    由余弦定理可得：，解得 由正弦定理可得：，即，解得：， 因为的角平分线交于，所以，由角平分线性质可得：，所以， 在中，由正弦定理可得：，即，解得： 故答案为： 3．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，内角的角平分线长为，则的面积为 . 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】设角的角平分线为，由面积公式得到，将两边平方，再结合余弦定理求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】设角的角平分线为，则， 即， 即，所以， 所以， 由余弦定理，即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2)①，② 【知识点】正弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值． 【详解】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）①由（1）知，又的面积为， 则，解得， 也， 则 ， 当且仅当时，等号取得到， 所以； ②由题，， 所以， 因为，所以， 所以， 又，， 故， 由基本不等式，当且仅当时，等号取得到， 故， 故，所以． 5．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)已知，的面积为，且AD为角A的角平分线，求线段AD的长. 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）利用三角形面积公式求出，结合已知求出，再利用三角形面积公式列出方程求解即得. 【详解】（1）由，得，而， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 由，得， 而，，则，由AD为角A的角平分线，得， 因此， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $$