第15讲 拓展三：三角形周长（边长）与面积问题（6类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第15讲 拓展三：三角形周长（边长）与面积问题 题型01 三角形周长定值问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知的角，，的对边分别为，，，且，若平分交线段于点，且，，求的周长. 2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）记的内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若的面积为，求的周长. 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中的对边分别为且满足_______________. 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题. (1)求； (2)若AB边上的高为1，的面积为，求的周长. 4．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角； (2)若的面积为，求的周长. 5．（24-25高三上·山西运城·开学考试）记中的内角所对的边分别是，已知， (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 题型02三角形周长（边）最值问题 1．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．9 2．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A= ，△ABC周长的最大值为 . 3．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则 ，若，且，则的最小值为 ． 4．（2024·四川内江·三模）在中，角A的平分线AD与BC边相交于点D，若，则的最小值为 ． 5．（2024·辽宁·模拟预测）在中，为的中点，，记，. (1)证明：或； (2)若，且，求的最大值. 6．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）在中，内角所对的边分别是，，. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围； (3)如图，为平面上一点，且四点共圆，，求四边形的周长的最大值. 题型03三角形周长（边）范围问题 1．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北·阶段练习）在△中，角所对的边分别为且． (1)求△的外接圆半径； (2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围． 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在锐角三角形中，内角所对的边分别为. (1)求角的大小； (2)若，求的周长的取值范围. 4．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求周长的取值范围. 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 6．（23-24高一下·河北邯郸·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，，为的中点，求的长； (3)若，求的取值范围. 题型04三角形面积定值问题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知的角A，B，C对的边分别为a，b，c， (1)求B； (2)若，，求的面积． 3．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，. (1)求； (2)若，.求的面积. 题型05三角形面积最值问题 1．（2024·河南新乡·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）的内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若点在上，且满足，求面积的最大值. 3．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）在中，内角所对的边分别是，已知向量，满足. (1)求； (2)若角的平分线交边于点，求面积的最小值. 4．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且．    (1)求； (2)如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值． 题型06三角形面积范围问题 1．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 2．（2024·广东湛江·二模）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求面积的取值范围． 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在锐角中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，外接圆周长为，且． (1)求c； (2)记的面积为S，求S的取值范围． 4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：． (1)求A； (2)求面积取值范围． 5．（24-25高三上·河南洛阳·阶段练习）在中，角的对边分别是且满足. (1)求角的大小； (2)若，求锐角的面积的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 拓展三：三角形周长（边长）与面积问题 题型01 三角形周长定值问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知的角，，的对边分别为，，，且，若平分交线段于点，且，，求的周长. 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由平分，所以，再由等面积法得到，结合，列出关于方程组解出，最后由余弦定理解出，求得三角形周长即可. 【详解】 因为平分，所以， 由， 得，如图：作于， 则， 由，解得， 由余弦定理，得，所以， 故的周长为. 2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）记的内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解， （2）根据面积公式可得的值，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 根据正弦定理，得， 因为，所以. 又，所以. （2）在中，由已知， 因为 由余弦定理可得，即7， 即，又,所以. 所以的周长周长为. 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中的对边分别为且满足_______________. 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题. (1)求； (2)若AB边上的高为1，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）若选①，则利用诱导公式和降幂公式化简后可求出角，若选②，则先利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，然后利用余弦定理可求出角； （2）由的面积及AB边上的高可求出，再利用的面积及可求出，然后利用余弦定理可求出，从而可求出的周长. 【详解】（1）若选①，则，得， 所以， ，， 所以， 因为，所以， 所以，得； 若选②，则由， 得， 所以， 所以由正弦定理得， 化简整理得， 所以由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为AB边上的高为1，的面积为， 所以，得， 由（1）知，所以，得， 由余弦定理得，即， 得， 所以，即， 所以， 所以， 即的周长为. 4．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换得，进一步即可求解； （2）根据三角形面积公式得，进一步结合余弦定理可得，由此即可得解. 【详解】（1）由题意，因为， 所以， 由正弦定理可得， 即， 因为，所以，所以， 又，所以. （2）由（1）可知，，则， 因为的面积，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的周长为. 5．（24-25高三上·山西运城·开学考试）记中的内角所对的边分别是，已知， (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）先应用正弦定理边角互化，再结合余弦定理求出角 （2）应用面积公式得出，再应用余弦定理求出，最后应用完全平方公式求周长即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 化简得，， 在中，由余弦定理得，， 又因为，所以； （2）由，得， 由，得，所以， 所以， 所以， 所以的周长. 题型02三角形周长（边）最值问题 1．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出角，再利用余弦定理及基本不等式求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理， 得， 而， 则， 而，整理得， 又，解得， 由余弦定理，得 ， 解得，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为9. 故选：D 2．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A= ，△ABC周长的最大值为 . 【答案】 9 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、数量积的坐标表示 【分析】根据向量的数量积运算、正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，利用三角形外接圆的面积求得，利用余弦定理、基本不等式等知识求得三角形周长的最大值. 【详解】已知向量， 则，则， 所以， 则，所以， 又，故且， 所以，又，则； 由余弦定理有：，则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 故答案为：； 3．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则 ，若，且，则的最小值为 ． 【答案】 8 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据三角恒等变换可得，即可求解，根据向量的模长关系即可求解，由基本不等式即可求解最值. 【详解】由可得，， 即， 即， 由于，则， 化简可得，由于，故， 由于，所以， 故， 故, 即， 化简得， 故，当且仅当时取等号， 故答案为：，8 4．（2024·四川内江·三模）在中，角A的平分线AD与BC边相交于点D，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求和的最小值 【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式的妙用即可得解. 【详解】依题意，，设， 依题意是角A的角平分线，， 所以，，    由三角形的面积公式得， 整理得，则， 所以 . 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 5．（2024·辽宁·模拟预测）在中，为的中点，，记，. (1)证明：或； (2)若，且，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明三角形中的恒等式或不等式、求三角形中的边长或周长的最值或范围、二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据题意，在与中分别用正弦定理即可得到，再结合正弦的二倍角公式，即可证明； （2）分别讨论与，结合列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）∵， ∴， ∴，    在中，则； 在中，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或，即或. （2）时，    ∵， ∴， ∴， 由已知，矛盾； 时，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为. 6．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）在中，内角所对的边分别是，，. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围； (3)如图，为平面上一点，且四点共圆，，求四边形的周长的最大值. 【答案】(1)； (2)面积的取值范围为； (3)四边形的周长的最大值为. 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、求三角形面积的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）由条件，结合，利用两角和正弦公式化简可得； （2）由条件结合正弦定理可得，，利用三角形面积公式表示面积并化简可得，结合正切函数性质及范围可求结论； （3）由条件利用余弦定理解三角形可求，结合平面几何知识求，再利用余弦定理结合基本不等式求的最大值，由此可得结论. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 又， ， 所以， 所以，又， 故. （2）由正弦定理可得，又，， 所以，， 所以的面积， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，，又， 所以， 所以，故， 所以， 所以面积的取值范围为. （3）因为，，故， 又， 由余弦定理可得， 所以，即， 因为四点共圆，， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，四边形的周长取最大值，最大值为. 题型03三角形周长（边）范围问题 1．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得,在锐角三角形中，可得.由锐角中，可得角B的范围，可得的范围，再由正弦定理可得的范围. 【详解】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 故选：B. 2．（24-25高三上·河北·阶段练习）在△中，角所对的边分别为且． (1)求△的外接圆半径； (2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理角化边，在结合余弦定理求得，即可求解； （2）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 由， 可得：，即， 又，所以， 所以，， 所以， 所以△的外接圆半径为. （2）由（1）知，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在锐角三角形中，内角所对的边分别为. (1)求角的大小； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）由已知结合正弦定理边化角得，进而得解. （2）先由正弦定理边化角得到，接着利用三角变换公式计算化简得到，再根据角A的范围即可得解. 【详解】（1）由已知及正弦定理得 ，故，即， 又. （2）若，则， ， ， 又由得， ， ， 的周长的取值范围为. 4．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求周长的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用两角和差正弦公式、正弦定理和余弦定理角化边可整理得到关于a的方程，解方程可求得结果； （2）由三角形面积公式，结合余弦定理可求得，由此可得A，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可将整理为关于的三角函数的形式，根据正弦型函数值域可求得结果. 【详解】（1）， ， ，解得或（舍去）， 所以的值为2. （2），， ，又，， ，则， ， 又，所以, 即，，，， ，又, 周长的取值范围. 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)1 (3) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、辅助角公式、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用辅助角公式得到，结合，求出； （2）由余弦定理列出方程，求出，故，求出答案； （3）由正弦定理，表达出，结合，求出的取值范围. 【详解】（1），故， 因为，所以， 故，解得； （2）由余弦定理得， 又，，所以， 故，所以， 故，； （3）由正弦定理得，为外接圆半径， 故， 又，故， 因为，故， 故， 又， 则 ， 因为，所以，故， . 6．（23-24高一下·河北邯郸·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，，为的中点，求的长； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)1； (3). 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）依题意可得，将两边平方，根据数量积的运算律计算可得； （3）利用正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 又，所以. （2）因为为的中点，所以， 则， 所以， 所以， 解得，所以的长为1. （3）由正弦定理知， 所以，， 所以 ， 因为，所以，所以， 则， 所以的取值范围为. 题型04三角形面积定值问题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而结合余弦定理可得，进而结合面积公式即可求解. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 即， 即， 即， 因为，则， 所以，即， 所以， 又， 则，即， 又， 所以的面积为. 故选：A. 2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知的角A，B，C对的边分别为a，b，c， (1)求B； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再用三角恒等变化由值求角即可； （2）由三角方程求角，结合条件（1）可知三个内角，再利用向量关系和已知的长度去求边，即可得到面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理边化角，所以 即 在中，，所以， 又因为，所以； （2）由，得， ， ， 因为，所以，所以，所以 所以且 在中，，所以 ， 解得， 所以的面积. 3．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解. （2）利用三角函数的平方关系与余弦定理求得所需要线段长，再利用正弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理 ，解得； 又，解得； 外接圆的半径为； （2）因为，为锐角， 则； 设，则， 在中，， 由余弦定理得，解得； 所以； 由正弦定理，即，解得； 所以， 即的面积为. 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，. (1)求； (2)若，.求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）结合余弦定理即可求解； （2）由，求出，再利用正弦定理求出，最后利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由， 则， 又，则. （2）由，则， 又，且由（1）知 则， 又，即，解得， 则. 题型05三角形面积最值问题 1．（2024·河南新乡·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得，结合正弦定理得到，即可求解； （2）根据题意，由余弦定理得，结合基本不等式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由余弦定理可得， 由正弦定理可得，所以， 又因为，所以． （2）解：因为且，由余弦定理得，即 又因为，当且仅当时，等号成立， 即，解得， 所以的面积， 即面积的最大值为． 2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）的内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若点在上，且满足，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用向量的线性运算、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理得， ， ， ， ， ， ， ， . （2）， ， ， 又， ， ， ，当且仅当时，等号成立， 的面积， 即面积的最大值为.    3．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）在中，内角所对的边分别是，已知向量，满足. (1)求； (2)若角的平分线交边于点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由向量平行可以列出等式，然后用正弦定理将角化边，再用余弦定理即可; （2）由题可知，分别利用面积公式即可得到关于的等式，再用基本不等式求解即可. 【详解】（1） ， ，即， ， ， ， ， . （2）， ， ， , ，即， ，则，当且仅当时取等号， 即面积的最小值为. 4．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且．    (1)求； (2)如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，运用三角形内角关系与和角公式化简即可求得； （2）利用等面积推理得到，由基本不等式求出的最小值，代入三角形面积公式即可求出最小值. 【详解】（1）由，及正弦定理得， 因，代入可得，， 因为，所以，又，所以． （2）由（1）得，因为，所以． 由， 可得． 又，可得，即． 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 由，可得， 所以， 所以的面积的最小值为． 题型06三角形面积范围问题 1．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理得，结合三角形内角和的性质，即可求解； （2）由（1）得到，作为边上的高，设，根据题意，求得，得到的面积为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以. （2）由（1）知，即， 如图所示，为边上的高，不妨设为锐角， 设， 当为锐角时，则，故， 当为钝角时，则，故， 因为，所以，整理得， 所以的面积为， 因为，可得， 当时，取得最大值，最大值为，且， 所以的面积的取值范围为. 2．（2024·广东湛江·二模）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由得出，结合，即可得出答案； （2）由得出，由余弦定理得出，再由及得出，结合三角形面积公式，即可得出面积的范围． 【详解】（1）因为， 所以． 由余弦定理得． 因为， 所以． （2）由及正弦定理，得， 所以， 由余弦定理得，， 所以 当且仅当时，等号成立， 因为， 所以，则， 所以， 因为的面积为， 所以面积的取值范围是． 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在锐角中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，外接圆周长为，且． (1)求c； (2)记的面积为S，求S的取值范围． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）由正弦定理即可求得角和. （2）由正弦定理可得，根据的范围，即可求得面积的范围. 【详解】（1）因为外接圆周长为， 则有，解得， 由正弦定理可得：， 又， ，又， ，，， 由正弦定理可知：. （2），， 由正弦定理得：， ， 是锐角三角形， ，， ，， 则. 4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：． (1)求A； (2)求面积取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据正弦定理边化角，利用两角和差关系得，即，结合角度范围即可得角A； （2）根据正弦定理及三角形面积公式转化为关于角的正切函数，根据锐角得角的范围，即可求得面积取值范围． 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得：， 因为， 所以， 化简得，所以， 因为，所以， （2）解：由正弦定理，得 又 ， 因为锐角，所以解得，则 所以. 5．（24-25高三上·河南洛阳·阶段练习）在中，角的对边分别是且满足. (1)求角的大小； (2)若，求锐角的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据向量数量积的定义及正弦定理化简计算即可得到角的大小； （2）根据正弦定理结合三角函数的性质得到的取值范围 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理可得 所以， 因为，所以，且，所以 （2）因为，，所以， 所以 ， 在锐角三角形中，，所以， 所以 故的面积S的取值范围是 / 学科网（北京）股份有限公司 $$