第14讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题（6类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第14讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题 题型01 三角形中中线长（定值） 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，内角、、所对边的长分别为、、，且满足，，，是的中线，求的长. 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】利用平面向量的数量积的定义可求得的值，利用余弦定理可得出，根据题意可得出，再利用平面数量积的运算性质可求得的长. 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 可得， 由余弦定理可得，可得， 因为是的中线，则，即， 所以， ， 所以，，故. 2．（23-24高三上·浙江·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)若，求边上的中线的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、几何图形中的计算、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）将条件式用商数关系切化弦，再利用三角恒等变换和正弦定理角化边化简得，代入条件，结合余弦定理可得解； （2）由（1）得，利用正余弦定理角化边得，由向量可得，平方根据向量数量积运算可得解. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 即， 由正弦定理可得， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴．∴. （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 3．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合平面向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以，即， 所以， 由余弦定理及得：， 又，所以，即，所以； （2）由，所以，由（1）， 所以，因为为边上的中线，所以， 所以 ，所以，所以边上的中线的长为：. 4．（2024·广东广州·一模）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足. (1)求A； (2)若，，AD是的中线，求AD的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】用向量解决线段的长度问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解. （2）由可得，根据以及余弦定理即可求出. 【详解】（1）， 所以， 由正弦定理得：， ，， ，， 得，即， . （2）, ,得， 由余弦定理得：， ， 所以， 即AD的长为. 题型02三角形中中线长（最值，范围）问题 1．（2024高三上·河南·专题练习）在中，，，，若，则边中线的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、基本不等式求和的最小值 【分析】结合数量积的运算律以及基本不等式即可求解. 【详解】由条件可得， 则= ， 则，当且仅当时取等号，即的最小值. 故答案为：. 2．（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，若，则AC边上中线长的最小值 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】由正弦定理、余弦定理及基本不等式可求解. 【详解】∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列， ∴2bcosB＝ccosA+acosC，利用正弦定理得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC， 整理得：2sinBcosB＝sin（A+C），即2sinBcosB＝sinB， ∵, ∴sinB≠0，∴cosB， 则B．如图：设AC边上的中点为E 在△BAE中，由余弦定理得：BE2＝c2+（）2﹣2c（）cosA， 又cosA，由代入上式，并整理得： ，当a＝c＝2时取到”＝”， 所以AC边上中线长的最小值为． 故答案为：． 3．（23-24高三上·黑龙江大庆·期末）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的边中线的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、已知数量积求模 【分析】（1）直接由二倍角公式，正弦定理边化角即可得解. （2）首先利用向量模的公式，再结合余弦定理以及基本不等式即可得解，注意取得条件是否满足. 【详解】（1）由题意，结合已知有， 所以，而， 所以，而， 所以，解得. （2） 由题意， 所以， 而由余弦定理有， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 即，所以， 即的边中线的最大值为. 4．（23-24高三上·北京怀柔·阶段练习）在中， (1)若，求的面积； (2)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据题意求出，再根据三角形的面积公式即可得解； （2）先利用正弦定理化边为角，再结合三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简，得出角的关系，再利用正弦定理结合三角函数的性质求出边的范围，再利用余弦定理及向量化即可得解. 【详解】（1）因为， 若，则， 又，所以， 所以； （2）因为， 由正弦定理得， 所以，所以， 又，所以，所以， 由余弦定理得， 因为， 则 ， 因为， 所以， 因为，所以， 则，所以， 所以，所以， 即边上的中线的取值范围为．    5．（23-24高三下·河北石家庄·阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求： (1)求角A的大小； (2)求边中线长的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用基底表示向量、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）先使用余弦定理，再用正弦定理进行角变边即求得结果； （2）由平面向量可知，两边平方，用三角形的边及角表示并结合基本不等式得出结果. 【详解】（1），由余弦定理可得，即， 由正弦定理可得， ，. ，即，又，所以. （2）由（1）知，，的面积为， 所以，解得. 由平面向量可知，所以 ， 当且仅当时取等号， 故边中线的最小值为. 题型03已知中线长，求其它元素 1．（23-24高一下·新疆伊犁·期中）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC的长（    ） A．4 B．7 C．9 D．1 【答案】C 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】在中，结合余弦定理得，在中，结合余弦定理得,根据得到，解方程即可求出的值，进而可以求出结果. 【详解】在中，结合余弦定理得, 在中，结合余弦定理得, 由题意知,所以, 所以， 即，解得, 所以, 故选：C. 2．（23-24高一下·河北唐山·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为 . 【答案】 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形、用向量解决线段的长度问题 【分析】首先通过余弦定理可求出，根据结合向量模长与数量积的关系可求的值，最后由正弦定理求出外接圆半径进而可得结果. 【详解】. . 由是的中点，可得：，， 化为：，解得.，解得. ，解得 的外接圆面积. 故答案为：. 3．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）记的内角，，所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若是的中线，且，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换求角； （2）由三角形的面积公式得的值，再由向量的线性运算及向量的模求的值，最后由余弦定理求的值. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得， ∴， ∴， ∵， ∴.即， ∵，∴. ∴，即. （2）∵由题意得， ∴. ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， 由余弦定理得， ∴. ∴的周长为. 4．（23-24高三上·广东佛山·期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解； （2）在中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加得到，联立求得c，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）解；因为， 所以， 所以， 即 ， 因为 ， 所以 ， 所以； （2）在中，由余弦定理得， 即①， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为， 两式相加得②， 由①②得， 所以. 题型04求角平分线长（定值）问题 1．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】由余弦定理得到，由正弦定理和得，求出，进而得到，在中，由正弦定理得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 其中，， 所以，， 故， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 故， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 故选：A 2．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)给出以下三个条件：①；②；③．这三个条件中仅有两个正确，请选出这两个正确的条件并回答下面的问题： ①求边的值； ②求的角平分线的长． 【答案】(1) (2)①；②. 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、辅助角公式、余弦定理解三角形 【分析】（1）借助辅助角公式可得答案； （2）先判断出正确的两个条件，结合面积公式可求，利用等面积法可求的长. 【详解】（1）因为，所以， 所以，，因为，所以. （2）因为为钝角，所以为最大边，故②不正确，①和③正确. 由余弦定理可得，又，所以. 由可得，所以. ，所以. 3．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式求出，进而求出A； （2）先根据向量数量积公式得到，由余弦定理变形得到，由和面积公式求出. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得：， ∴， 即， 又∵， ∴，则有， ∴， 即， 又∵，∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，解得； （2）由得，，所以， 由（1）知，，    由余弦定理得：， 因为，所以， ∴， 由得：， ∴． 4．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，． (1)若为边中点，求长； (2)若为角的角平分线，求长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】（1）根据正弦定理边化角得到，结合为边中点得到，通过向量平方转化求解即可； （2）根据等面积法直接代入计算即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 因为， 所以，因为，所以， 所以，因为，所以. 因为为边中点，所以， 则， 又因为，所以， 即长为 （2）因为为角的角平分线，所以， 所以， 所以，则 5．（23-24高三上·广东·阶段练习）在中，角，，所对的三边分别为，，(三边均为正整数)，是的角平分线，，，. (1)求，的值； (2)求的大小及的长. 【答案】(1)，； (2)，. 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据余弦定理、两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】（1）根据三角形的面积公式： ，. 又因为是的角平分线，所以. 从而可得：，即有， 可得，根据大边对大角，可得为锐角. ，∴， 利用余弦定理可得：，代入数据可得：. 计算可得：或（不是正整数，舍去）， 因此，即可得：； （2）在中使用余弦定理可得： 所以的值为，的值为，所以.在中，可得. 使用正弦定理可得：，代入数据可得：. 题型05求角平分线长（最值，范围）问题 1．（2024·广西·模拟预测）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理可得，即可利用等面积法得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系可得：，则， 而，且，则． （2）因为，所以由余弦定理得，即， 所以，即（当且仅当时，等号成立）， 因为，所以， 解得，因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立），所以长度的最大值为．    2．（23-24高一下·四川达州·阶段练习）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为，求内角的角平分线AD长的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得，利用余弦定理，求得， 进而求得的值； （2）根据，列出方程求得，结合余弦的倍角公式，得到，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理，得， 整理得，所以， 因为，所以，所以. （2）解：因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以，， 由于，可得，所以， 所以， 因为，当且仅当时，等号取得到， 所以，可得. 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为． ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角A的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD的最值. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故， 因为，所以， 所以； （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由于，所以 ， 当且仅当时，等号取得到，所以； ②因为为角A的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故． 题型06已知角平分线，求其它元素 1．（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）在中，，E是边中点，线段AE长为 ，，是边上一点，是的角平分线，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】由E是边中点，得，两边平方化简可求出，再由化简可求出. 【详解】因为E是边中点，所以， 所以， 所以， 所以，即，得， 因为是的角平分线，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得. 故选：A 2．（多选）（23-24高一下·青海海东·阶段练习）在中，角的对边分别为，角的角平分线交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】AD 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】对A，利用余弦定理和勾股定理逆定理得到，再利用二倍角的余弦公式即可判断A；对B，直接根据即可求出；对C，利用三角形面积公式即可证明角平分线定理；对D直接利用三角形面积公式即可判断. 【详解】对A，由余弦定理得，即， 所以，又，为三角形内角， 所以，，解得（负舍）. 在中，，故A正确； 对B，在中，，代入，解得.故B错误； 对C，，解得，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：AD. 3．（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为 ． 【答案】2 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】作出图形，利用余弦定理求得，进而求得的值，利用正弦定理可求得的值，最后在中利用余弦定理求得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 由余弦定理得， 由题意可得，，， 在中，由正弦定理得，① 在中，由正弦定理得，② ①②得，，则， 在中，由余弦定理得. 故答案为：. 4．（23-24高三上·福建泉州·期中）在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 . 【答案】6 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，再由余弦定理求得及，利用同角三角函数关系得，结合面积公式即可求解. 【详解】因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为，且，所以， 又，所以，设， 则由余弦定理得， ， 所以，化简得，解得，所以， 所以，所以， . 故答案为：6 5．（2024高一下·全国·专题练习）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、图形的性质 【分析】 根据角平分线性质定理可得，设，由余弦定理可得关于m的方程，求得m的值，可得答案. 【详解】 由题意是的角平分线，， 由角平分线的性质知：， 设， 因为，则，则, 所以，整理得，解得或（舍）. 所以,. 故答案为： 6．（23-24高一下·辽宁·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题 题型01 三角形中中线长（定值） 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，内角、、所对边的长分别为、、，且满足，，，是的中线，求的长. 2．（23-24高三上·浙江·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)若，求边上的中线的长． 3．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长. 4．（2024·广东广州·一模）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足. (1)求A； (2)若，，AD是的中线，求AD的长. 题型02三角形中中线长（最值，范围）问题 1．（2024高三上·河南·专题练习）在中，，，，若，则边中线的最小值为 . 2．（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，若，则AC边上中线长的最小值 ． 3．（23-24高三上·黑龙江大庆·期末）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的边中线的最大值. 4．（23-24高三上·北京怀柔·阶段练习）在中， (1)若，求的面积； (2)求边上的中线的取值范围． 5．（23-24高三下·河北石家庄·阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求： (1)求角A的大小； (2)求边中线长的最小值. 题型03已知中线长，求其它元素 1．（23-24高一下·新疆伊犁·期中）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC的长（    ） A．4 B．7 C．9 D．1 2．（23-24高一下·河北唐山·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为 . 3．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）记的内角，，所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若是的中线，且，的面积为，求的周长． 4．（23-24高三上·广东佛山·期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线，求的面积. 题型04求角平分线长（定值）问题 1．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)给出以下三个条件：①；②；③．这三个条件中仅有两个正确，请选出这两个正确的条件并回答下面的问题： ①求边的值； ②求的角平分线的长． 3．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长． 4．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，． (1)若为边中点，求长； (2)若为角的角平分线，求长． 5．（23-24高三上·广东·阶段练习）在中，角，，所对的三边分别为，，(三边均为正整数)，是的角平分线，，，. (1)求，的值； (2)求的大小及的长. 题型05求角平分线长（最值，范围）问题 1．（2024·广西·模拟预测）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 2．（23-24高一下·四川达州·阶段练习）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为，求内角的角平分线AD长的最大值. 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为． ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角A的角平分线长的最大值． 题型06已知角平分线，求其它元素 1．（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）在中，，E是边中点，线段AE长为 ，，是边上一点，是的角平分线，则（ ） A． B．1 C．2 D． 2．（多选）（23-24高一下·青海海东·阶段练习）在中，角的对边分别为，角的角平分线交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 3．（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为 ． 4．（23-24高三上·福建泉州·期中）在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 . 5．（2024高一下·全国·专题练习）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 . 6．（23-24高一下·辽宁·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $$