第13讲 拓展一：平面向量综合问题（7类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第13讲 拓展一：平面向量综合问题 题型01 平面向量共线定理及其推论 1．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东日照·开学考试）已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 5．（多选）（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 6．（23-24高一下·安徽·期中）如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若，，求的最大值. 题型02平面向量数量积（最值，范围）问题 1．（2024·湖北·一模）如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东德州·模拟预测）在中，，若是所在平面上的一点，则的最小值为 . 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 5．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为 . 6．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）在矩形中，边，的长分别为，，若，分别是边，上的点（不包括端点），且满，则的取值范围是 . 题型03平面向量的模（最值，范围）问题 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 2．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．4 3．（24-25高二上·湖北·开学考试）已知单位向量满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北保定·开学考试）平面向量满足，若，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（2024·安徽·一模）已知平面向量、满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·天津南开·期末）已知向量，向量在向量上的投影向量，则的最小值为 ． 7．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)当时，若，求的最小值. 题型04平面向量夹角（最值，范围）问题 1．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为 . 2．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 .若，则余弦值的最小值为 . 3．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是 . 4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知，，设，的夹角为，则的最小值为 . 5．（23-24高一下·福建三明·期末）已知向量. (1)若，求； (2)若 为单位向量，对任意实数恒成立，求向量的夹角的取值范围. 题型05 向量夹角为锐角（钝角） 1．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 4．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 . 5．（23-24高一下·湖北·阶段练习）若，且为锐角，则实数的取值范围是 . 题型06平面向量投影（投影向量） 1．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量满足，且，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 . 3．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）设向量、满足，则在方向上的投影向量是 . 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的坐标为 ． 5．（24-25高三上·天津武清·阶段练习），向量在方向上的投影 . 题型07平面向量中的新文化，新定义题 1．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·期末）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（    ） A．正三角形的的费马点是正三角形的中心 B．若P为的费马点, 且 ，则一定为正三角形 C．若三边长分别为，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为 D．的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c， ，若点P为的费马点，则 2．（24-25高三上·上海·开学考试）在边长为1的正六边形中，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，若分别为的最小值､最大值，其中.则的值为 . 3．（24-25高二上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 4．（24-25高二上·河北保定·开学考试）给定平面上一个图形D，以及图形D上的点，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称为关于图形D的一组稳定向量基点. (1)已知为图形D，判断点是不是关于图形D的一组稳定向量基点； (2)若图形D是边长为2的正方形，是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围； (3)若给定单位圆及其内接正2024边形为该单位圆上的任意一点，证明是关于圆的一组稳定向量基点，并求的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 拓展一：平面向量综合问题 题型01 平面向量共线定理及其推论 1．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：B 2．（24-25高二上·山东日照·开学考试）已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、利用平面向量基本定理求参数、平面向量共线定理的推论 【分析】根据题意，得到，由三点共线，求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为为的中点，， 因为三点共线，可得，解得，即， 又因为是边长为6的等边三角形， 所以 . 故选：A. 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用重心及向量的中线公式得到，结合条件及向量共线的推论，即可求出结果. 【详解】如图，因为为的重心，所以在中线上，且， 又，所以， 设，所以， 又，所以，又三点共线， 所以，得到，所以， 故选：B. 4．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意，由三点共线定理可得，再由基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 5．（多选）（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 【答案】BC 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值、用基底表示向量、基本不等式求积的最大值 【分析】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到，进而利用基本不等式与“1”的妙用即可得解. 【详解】如图所示，因为，则，即， 所以，故A错误； 又因为， 所以，故C正确； 因为三点共线，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确. 故选：BC. 6．（23-24高一下·安徽·期中）如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若，，求的最大值. 【答案】(1) (2)1 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）建系，利用向量坐标运算，建立方程，即可求解； （2）建系，设正方形的边长为1，，构建函数模型，根据基本不等式，即可求解. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6， 则，所以，， 设点，则， 由，得， 所以，即，得到， 设，则， 所以，解得. （2）因为三点共线，且， 所以， 设正方形的边长为1，， 则， 所以，，， 所以， 又，所以， 所以，， 所以， 若，则， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述：的故大值为1. 题型02平面向量数量积（最值，范围）问题 1．（2024·湖北·一模）如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可. 【详解】由，解得. 设， 则. 故选：C 2．（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【详解】正八边形的每个内角为， 延长交直线于点，延长交直线于点， ，则为等腰直角三角形， 且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、， 设点，则，，， 所以，， 故选：B. 3．（2024·山东德州·模拟预测）在中，，若是所在平面上的一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】用坐标表示平面向量、数量积的坐标表示、解析法在向量中的应用 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】由题设，可建立如图所示平面直角坐标系： 则，，，即为腰长为1的等腰直角三角形， 设，则，，， 则， 所以， 当，时，取得最小值. 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、辅助角公式 【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得． 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为等边的边长为6， 所以的内切圆圆心在上，半径， 则，，，，， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值． 故答案为：． 5．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】用基底表示向量、利用数量积求参数、用坐标表示平面向量 【分析】第一空：解法一：由图结合向量加减法可得答案；解法二：如图建立直角坐标系，由题意可得答案；第二空：在上一空解法二的基础上，设，结合题意可得关于的表达式 ，即可求得取值范围. 【详解】第一空：解法一：因为，即，则， 可得，所以； 解法二：由题意可知： 以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 第二空：因为点在线段上， 设，且为中点，则， 可得， 则， 因为时函数递增， 所以当时，取到最小值为； 当时，取到最大值为； 则的取值范围为， 故答案为：；. 6．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）在矩形中，边，的长分别为，，若，分别是边，上的点（不包括端点），且满，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意，建立坐标系，设，根据条件，求得、的关系，代入数量积公式，即可求得答案. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 所以，设，，其中，， 因为，所以，即， 又，， 所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 题型03平面向量的模（最值，范围）问题 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】把平方转化为数量积运算，结合二次函数知识得最小值． 【详解】设，又， 所以， 所以当时，， 故选：D． 2．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】C 【知识点】已知数量积求模、数量积的坐标表示、基本不等式求和的最小值、解析法在向量中的应用 【分析】在平面直角坐标系中，设，，，根据平面向量数量积的坐标运算可得出，的值，以及的值，再利用平面向量的模长公式以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】在平面直角坐标系中，设，，， 因为，，， 所以, 所以， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高二上·湖北·开学考试）已知单位向量满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】先根据题意求出的值，进而即可求解的最小值. 【详解】由得， 两边取平方得，即， 又为单位向量，所以，即， 解得或， 因为，所以，即. 因为， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 4．（24-25高三上·河北保定·开学考试）平面向量满足，若，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】法一：应用模长转化为数量积，最后结合数量积定义应用余弦范围计算； 法二：结合图形特征得出在的垂直平分线上，进而得出最值； 法三：应用建系，设点的坐标，最后结合二次函数值域即可得出最值. 【详解】法一：因为， 得， 即，所以， 设与的夹角为，则， 当时，最小值为. 故选：B. 法二：因为，如图所示： 设中，，则， 设，由知， 点在线段的垂直平分线上，且， 则最小值为点到直线的距离. 故选：B. 法三：因为，建立如图平面直角坐标系， 则.设，由知，， 则， 当取最小值. 故选：B. 5．（2024·安徽·一模）已知平面向量、满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模 【分析】设，由题意可得，进而可求的取值范围. 【详解】设，又，， 因为，所以， 所以在以为圆心，4为半径的圆上，又， 则，即. 故选：A. 6．（23-24高一下·天津南开·期末）已知向量，向量在向量上的投影向量，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】由向量在向量上的投影向量，设出向量，再利用向量的坐标运算表示出，求出其最小值，即可得解. 【详解】因为向量在向量上的投影向量， 所以，与是共线向量，设，则， 所以，， 当时，最小，为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)当时，若，求的最小值. 【答案】(1)-7 (2)3 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、数量积的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】（1）先写出的坐标，再由，求解即可； （2）根据，展开运算，利用配方法，求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，解得. （2）当时，，， 所以＝＝ ＝， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为3. 题型04平面向量夹角（最值，范围）问题 1．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】先求得的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值. 【详解】，令，则， 所以， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 2．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 .若，则余弦值的最小值为 . 【答案】 / 【知识点】用基底表示向量、向量夹角的计算、平面向量的混合运算、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量的加法和数乘的几何意义即可求出；同理可求出，根据可得，从而得出，然后根据，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由已知可得 ； ， 因为， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以余弦值的最小值为. 故答案为：；. 3．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算、基本不等式求和的最小值、求投影向量 【分析】由投影向量定义得，即，得出向量夹角表达式，再由基本不等式得出最小值. 【详解】由已知可得，所以. 而， 易知 令，则 当且仅当， 即时，等号成立，即最小值为， 故答案为： 4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知，，设，的夹角为，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】令，利用向量的模，可得向量的数量积，利用向量的夹角公式可得，从而求得.利用向量夹角公式求得，令，求得的最值，从而求得的最小值. 【详解】设，由可得，化简可得， 根据向量夹角公式，可得， 由，可得，解得. 由，的夹角为可得， ， 分子分母同除以，可得， 令，则，所以， 当，时取得最大值；当或时，取得最小值， 所以的最小值为，的最大值为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·福建三明·期末）已知向量. (1)若，求； (2)若 为单位向量，对任意实数恒成立，求向量的夹角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、余弦函数图象的应用、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）运用向量加减，数量积的坐标运算计算即可； （2）运用模长公式两边平方，结合数量积转化为对任意的实数 恒成立，再用二次函数中根的判别式来解决恒成立问题，转化为．最后借助余弦函数的性质得到角度范围即可. 【详解】（1）因为 所以 ，，； （2）是单位向量，设的夹角为 ， 由 得：， 所以 ，即， 即 对任意的实数 恒成立， 则 ，解得：， 又因为 ，函数 在 上单调递减， 因此 ． 所以向量 的夹角的取值范围是 . 题型05 向量夹角为锐角（钝角） 1．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，求得的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】由已知得； 当与共线时，可得，解得． 当与的夹角为钝角时，可得且与不共线， 则且，解得且． 因此，当时，若，则，， 此时，与的夹角为，不是钝角，则充分性不成立； 当与的夹角为钝角时，有且，可知成立，则必要性成立． 综上， “”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件． 故选：B． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由与的夹角是钝角，得，解得， 且与的夹角不等于， 则与不反向共线，即，解得， 所以实数m的取值范围是， 故选：B 3．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量夹角为钝角，得到不等式，得到答案. 【详解】向量与的夹角为钝角， 所以，且， 解得， 故答案为：． 4．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据题意列出不等式即可. 【详解】因为的夹角为锐角， 所以且不能同向共线, 所以, 解得且 故答案为：. 5．（23-24高一下·湖北·阶段练习）若，且为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、用向量解决夹角问题、向量夹角的坐标表示 【分析】把为锐角转化为与的夹角为锐角，然后利用数量积列不等式组求解即可. 【详解】因为为锐角，所以与的夹角为锐角， 又，所以， 解得且. 故答案为：. 题型06平面向量投影（投影向量） 1．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量满足，且，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】根据已知条件求得，结合投影向量的坐标公式即可求解. 【详解】已知，所以，可得， 所以在上的投影向量的坐标为， 故选：A. 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）设向量、满足，则在方向上的投影向量是 . 【答案】或 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，则， 在方向上的投影向量为. 故答案为：或 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】利用投影向量公式计算即可得. 【详解】因为， 所以，， 则， 故在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 5．（24-25高三上·天津武清·阶段练习），向量在方向上的投影 . 【答案】/ 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】结合数量积的公式以及余弦定义即可求得结果. 【详解】由题知，令与的夹角为， 则， 则向量在方向上的投影为. 故答案为： 题型07平面向量中的新文化，新定义题 1．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·期末）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（    ） A．正三角形的的费马点是正三角形的中心 B．若P为的费马点, 且 ，则一定为正三角形 C．若三边长分别为，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为 D．的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c， ，若点P为的费马点，则 【答案】ABC 【知识点】三角形面积公式及其应用、平面向量共线定理证明点共线问题、用定义求向量的数量积、向量在几何中的其他应用 【分析】对A，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B，取的中点，由可得点是的重心，再结合条件可得点是的中心，得证；对C，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解. 【详解】对于A，如图是正三角形的中心，根据正三角形的性质易得，所以点是正三角形的费马点，故A正确； 对于B，如图，取的中点，则，因为， 所以，所以三点共线，且点是的重心， 又点是的费马点，则， 则，又，易得，同理可得， 所以所以点是的外心，所以点是的中心， 即是正三角形.故B正确； 对于C，如图，在中，，，，， 点是的费马点，将绕点顺时针旋转，得到， 易证，是正三角形， 则，，，且点共线， 所以，所以， 又， 即该三角形的费马点到各顶点距离之和为.故C正确； 对于D，由费马点定义可得， 设，，，， 由，可得， 整理得， 所以 ，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D选项的关键在于利用三角形等面积法求出. 2．（24-25高三上·上海·开学考试）在边长为1的正六边形中，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，若分别为的最小值､最大值，其中.则的值为 . 【答案】 【知识点】余弦定理及辨析、向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积 【分析】由余弦定理和勾股定理分别求出，再由向量的加法法则结合图形的关系和向量的数量积公式求出结果即可； 【详解】如图： 由向量的加法法则可得，两个向量的夹角越小，模长越大，和向量就越大；反之越小； 正六边形可得， 同理， 因为正六边形的边长为1， 由余弦定理可得，解得， 所以， 所以由图形关系可得， 所以， 同理，两个向量的模长越小，夹角越大，和向量就越小，两个括号的乘积就越小， 所以， 如图： 由图可得 ， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能用图形表示，再结合向量的数量积公式计算即可. 3．（24-25高二上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 【答案】①③④ 【知识点】诱导公式二、三、四、三角形的心的向量表示、垂直关系的向量表示、向量在几何中的其他应用 【分析】将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，，即可判断①；根据①可知，，，再由三角形内角和定理即可判断②；延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而求解③；利用三角形面积公式和奔驰定理即可证明④. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，又， 所以，故②不正确； 由②知，， 延长交于点，    所以 ， 同理可得， 所以， 所以，故③正确； 由，， 则 ， 同理， 所以， 又， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 4．（24-25高二上·河北保定·开学考试）给定平面上一个图形D，以及图形D上的点，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称为关于图形D的一组稳定向量基点. (1)已知为图形D，判断点是不是关于图形D的一组稳定向量基点； (2)若图形D是边长为2的正方形，是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围； (3)若给定单位圆及其内接正2024边形为该单位圆上的任意一点，证明是关于圆的一组稳定向量基点，并求的值. 【答案】(1)不是 (2) (3)证明见解析，4048 【知识点】数量积的运算律、坐标计算向量的模、向量在几何中的其他应用、向量新定义 【分析】（1）分别计算与重合和与重合时这两种情况下的结果，再依据一组稳定向量基点的定义得解. （2）根据向量运算法则得，再结合正方形结构性质可得的最大值和最小值，进而得解. （3）先转化，从而得，再结合和偶数边的正多边形图形结构性质即可得解. 【详解】（1）点不是关于的一组稳定向量基点，理由如下： 当与重合时，有， 当与重合时，有， 故不是关于的一组稳定向量基点. （2）因为， 所以，故由正方形结构性质得： 当与重合时，取得最大值；当与重合时，取得最小值0. 所以的取值范围为. （3）设单位圆的圆心为， 则， 所以， 因为多边形是正2024边形， 所以由偶数边的正多边形图形结构性质可知，故， 又，所以， 故是关于圆的一组稳定向量基点，且. 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，解决此类题的策略是： 1． 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等； 2． 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法； 3． 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题． / 学科网（北京）股份有限公司 $$