第12讲 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第12讲 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 课程标准 学习目标 ①会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题。 ②培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力。 ③理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式。 ④.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用。 ⑤掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用。 1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式； 2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基础上熟练应用是关键； 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用； 知识点01：基线 在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 知识点02：仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 【即学即练1】（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 【答案】D 【知识点】高度测量问题、余弦定理解三角形、距离测量问题、角度测量问题 【分析】在中，米，由余弦定理可得米，在中可求的米，由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得米，即可求解. 【详解】由，，得， 故米，由得， 在中由余弦定理可得， 解得米， 故米， 由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得， 故米， 故楼高米. 故选：. 知识点03：方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是. 【即学即练2】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题、角度测量问题 【分析】由正弦定理得到，由余弦定理得，从而由正弦定理得到，结合，得到，得到答案. 【详解】如图，在中，，    由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 知识点04：方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)， 例：(1)北偏东：(2)南偏西： 知识点05：坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即. 题型01测量距离问题 【典例1】（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求出，得到答案. 【详解】在中，，，，则， 由正弦定理得，即，故，解得. 在中，，，， 则由余弦定理得 ， 所以，即灯塔C与D处之间的距离为海里. 故选：B. 【典例2】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，，后，可以计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】距离测量问题 【分析】求出，再利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，, 所以， 在中，由正弦定理得, 即，解得. 所以A，B两点的距离为m. 故选：A. 【典例3】（23-24高一上·陕西宝鸡·开学考试）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，求A，B两点间的距离（参考数据：，，结果取整数）． 【答案】193海里 【知识点】距离测量问题 【分析】作于D，由题意解直角三角形，即可求得答案. 【详解】如图，作于D，则为等腰直角三角形， ，故, 又， 故A，B两点间的距离（海里）. 【变式1】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）甲船在湖中岛的正南处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船从岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】先由已知得出知，再应用余弦定理计算得出即可. 【详解】如图，设行驶15分钟时，甲船到达处， 由题意知， 所以由余弦定理，得， 所以. 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定处，测得米，，则该河流的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】利用正弦定理求出，再求出边上的高即可. 【详解】在中，由，得， ， 由正弦定理得，即， 因此边上的高为， 所以该河流的宽度是米. 故选：A 【变式3】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）一质点沿着正西方向从点到达点，在点处测得点在其北偏西方向，且，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】直接利用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知，在中，由余弦定理可得 故答案为： 题型02测量高度问题 【典例1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）为了测量河对岸一古树高度的问题（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得树顶的仰角为，则树高约为（    ）（取，） A．100.8m B．33.6m C．81.6m D．57.12m 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】先在中，利用正弦定理求出，再在中求即可. 【详解】在中，，，所以，又， 由正弦定理得：. 在中，. 故选：D 【典例2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】高度测量问题 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系建立方程，再求解即得. 【详解】在中，，则， 在中，，， 解得，所以主塔. 故选：A 【典例3】（24-25高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求出山高（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 【答案】 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】在中利用正弦定理求出，再在中利用锐角三角函数求出，即可得解. 【详解】依题意可得，， 在中，由正弦定理得，即， 所以， 在中，，即， 所以， 所以山高． 【变式1】（2024·湖南·模拟预测）为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】高度测量问题 【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出塔AB的高度即可. 【详解】平面，平面， 过点作，交于点，则有，， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 则. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·河南周口·开学考试）如图，某课外实践活动小组为了测量某山的高度，在山脚A处测得山顶P的仰角为，然后由A沿倾斜角为的斜坡向上走100米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若点A，B，C，P，Q在同一铅垂面内，则山的高度为 米． 【答案】 【知识点】高度测量问题 【分析】作出辅助线，设，表达出其他各边，利用列出方程，求出，从而求出山的高度 【详解】由题意得，， 过点作⊥于点，则， 则，，则， 设，则， 由于为等腰直角三角形，故，即， 解得， 故. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·吉林白山·期中）如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点A，B．现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高CD为          【答案】米 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】先利用正弦定理求，再利用直角三角形的边角关系求. 【详解】在中，易知， 由正弦定理：. 在中，，， 所以：（米） 故答案为：米 题型03测量角度问题 【典例1】（23-24高一下·浙江·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，结合正弦定理可得，再根据平方关系可求. 【详解】由题意，在中，由余弦定理， ； 因为，所以， 在中，由正弦定理所以， 解得 由题意，因为为锐角，所以 故选：D. 【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】距离测量问题、角度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）设，则，，，由余弦定理得到，得到答案； （2）由余弦定理求出B的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 【典例3】（23-24高一下·江苏连云港·期末）如图，设A，B是海岸线相距n mile的两个观察所，一渔轮在C处遇险，发出求救信号，两观察所同时收到求救信号，收到求救信号时，测得∠CAB=45°，∠ABC=15°，并发现渔轮正在以9n mile/h的速度向观察所B行驶，若观察所A，B的救援舰艇的最高速度都是n mile/h．试判断从何处派遣救援舰艇更合理，请说明理由并说出具体救援路线.（参考数据：）    【答案】从A处派救援船，且救援船应该沿着与海岸线AB成角得方向前去救援. 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题、角度测量问题 【分析】利用正弦定理、余弦定理解三角形，然后结合条件即得. 【详解】在中，∠CAB=45°，∠ABC=15°，所以∠ACB=120°，又， 由正弦定理有：，解得， 若从B处派救援船，救援时间为（h）， 在中，由正弦定理有：，解得， 若从A处派救援船，假设救援船与渔轮在处相遇，救援时间为，    在中，由余弦定理得：， 即，整理得：， 解得，负值舍去；因为，故应该从A处派船救援； 在中，， 故，. 故从A处派救援船，且救援船应该沿着与海岸线AB成角得方向前去救援. 【变式1】（23-24高三上·湖北·阶段练习）一艘客船在处测得灯塔在它的北偏东,在处测得灯塔在它的北偏西,距离为n mile.客船由处向正北航行n mile到达处,再看灯塔在它的南偏东,则 n mile;设灯塔在处的南偏西度,则 . 【答案】 36 60 【知识点】距离测量问题、角度测量问题、正弦定理解三角形、三角函数与解三角形 【分析】根据题意画出草图,在中由正弦定理得长度,在中,由余弦定理,得长度,发现在中符合勾股定理,从而得到值. 【详解】解:由题意画草图如下: 在中,由已知得,, 则,. 由正弦定理,得, 在中,由余弦定理, 得 即, , ,从而, 所以灯塔在处的南偏西. 故答案为: 【变式2】（23-24高一·全国·随堂练习）在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流．一渡船从长江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达北岸的B码头（如图）．设为正北方向，已知B码头在A码头北偏东的方向上，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度确到0.1km/h）？    【答案】渡船应按北偏西的方向，并以11.7km/h的速度航行． 【知识点】距离测量问题、角度测量问题 【分析】根据题意，以AC为边，AB为对角线作，结合余弦定理可得，然后再由余弦定理即可得到，即可得到结果. 【详解】如图所示，船按方向开出，方向为水流方向， 以AC为边，AB为对角线作，其中，． 在中，由余弦定理，得 ， 所以． 因此，船的航行速度为． 在中，由余弦定理，得 ， 所以． 因此． 即渡船应按北偏西的方向，并以11.7km/h的速度航行． 【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追起渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处． (1)求渔船甲的速度； (2)求的值； 【答案】(1)14海里/小时； (2)； 【知识点】距离测量问题、角度测量问题、反三角函数 【分析】（1）由余弦定理求得BC长，即可求得速度； （2）由正弦定理即可求； 【详解】（1）由题意，，，，， 由余弦定理得，∴. ∴渔船甲的速度为海里/小时. （2）由正弦定理得，，即 题型04 综合应用题 【典例1】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【知识点】正、余弦定理的其他应用 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 【典例2】（23-24高一下·四川绵阳·期末）某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】设，利用三角函数分别表示，然后分别在中利用余弦定理表示，因为，所以可得,进而求解即可. 【详解】设， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：, 因为,所以， 即，解得， 所以该古建筑的高度为. 故选：C. 【典例3】（23-24高二上·湖北·阶段练习）如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求． (1)当时，求线段的长度； (2)问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远） 【答案】(1) (2)设计时，工厂产生的噪声对居民影响最小 【知识点】距离测量问题、正、余弦定理的其他应用、三角恒等变换的化简问题、三角函数与解三角形综合 【分析】（1）根据题意分析可得，结合直角三角形的性质运算求解；（2）在中，利用正弦定理进行边化角可得，在中，利用余弦定理结合三角恒等变换整理可得，以为整体结合正弦函数求的最大值. 【详解】（1）因为且， 故，故， 故，则 （2）设，由题意， 在中，由正弦定理，所以 在中，由余弦定理可得： ， 又由（1）可得，所以， 当且仅当，即时，取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时 【变式1】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）台风中心从地以每小时40km的速度向西北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市在地正西40km处，则城市处于危险区内的时间长为（   ） A．0．5h B．1h C．1.5h D．2h 【答案】A 【知识点】距离测量问题 【分析】作出辅助线，求出各边长，确定城市处于危险区内的路径长度，进而得到时间长. 【详解】如图所示，过点作⊥于点， 由，km，则km， 分别使得，由勾股定理得km， 故城市处于危险区内的路径长度为km，则城市处于危险区内的时间长为h. 故选：A 【变式2】（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【知识点】距离测量问题 【分析】先求得，然后利用梯形的知识求得. 【详解】依题意可知，， ，由于是直角梯形， 所以千米. 故选：A 【变式3】（24-25高二上·四川遂宁·开学考试）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60 m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 m. 【答案】30 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】作出图形，设柱CD的高度为h，结合三角函数得到，，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案. 【详解】如图所示，设水柱CD的高度为h， 在Rt△ACD中，∵，∴， ∵，∴， 又∵B，A，C在同一水平面上， ∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形， 在Rt△BCD中，，∴， 在中，由余弦定理可得， ∴，即，解得， ∴水柱的高度是30 m． 故答案为：30 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·福建·阶段练习）“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与．现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度（    ） A．47.6m B．35.7m C．23.8m D．11.9m 【答案】C 【知识点】高度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】设，利用两个直角三角形分别求出与，在中，由余弦定理列方程，求解即得. 【详解】 设，在中，因,则， 在中，因,则， 在中，由余弦定理得，， 即，解得 故选：C. 2．（23-24高一下·山东威海·期末）一艘轮船从处出发，以海里/小时的速度沿西偏南的方向直线航行，分钟后到达处.在处有一座灯塔，轮船在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则，两点间的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】依题意，作出图形，求出相关边长和角，利用正弦定理求解即得. 【详解】 如图，由题意知 , 由正弦定理，， 则. 故选：A. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】在中，由余弦定理求得，在中，运用正弦定理求得即可. 【详解】在中，设，则， 由余弦定理得， 即，解得． 在中，． 由正弦定理得，即，解得． 故选：B． 4．（23-24高一下·北京大兴·期末）如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高=（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】距离测量问题 【分析】先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解． 【详解】在中，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以. 故选：C. 5．（23-24高一下·河南商丘·期末）如图所示，测量人员在楼AB的楼顶上的点B处测量塔CD的高度.已知点P，A，C在同一条直线上，在点B处测得塔顶D的仰角为30°，地面上的点P的俯角为45°，在点P处测得塔顶D的仰角为60°，，则塔CD的高度为（    ）参考数据：.    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】高度测量问题 【分析】首先求解出BP长度，然后利用正弦定理求解得出结论. 【详解】由已知，得△APB为等腰直角三角形，在Rt△APB中，， ∴m，由题知， ∴. 在△BPD中，由正弦定理得， ∴m. 在Rt△PCD中，m. 故选：B. 6．（23-24高一下·山东临沂·期中）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】A 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】根据题意利用正弦定理求得，进而可得该船航行的速度. 【详解】如图所示， 在中，由题意可知：海里， 由正弦定理可得（海里）， 且该船航行时间为4小时，所以该船航行的速度为海里/小时. 故选：A. 7．（23-24高一下·四川成都·期中）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离约为的点（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据算出即可. 【详解】由题意知：，，所以，， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，m. 故选：C 8．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）2022年12月26日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得，，米，在点A处测得碑顶C的仰角为30°，则纪念碑高CD约为（    ）（结果保留整数，参考数据：，） A．27米 B．33米 C．39米 D．40米 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】在中利用正弦定理求出，再在中利用可求得. 【详解】在中，，，，则 ， ， 由正弦定理得，， 得，解得， 在中，，则由， 得. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高一下·河南·阶段练习）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练．在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ）    A．舰艇所需的时间为1小时 B．舰艇所需的时间为2小时 C． D． 【答案】AD 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】设出所需时间，分别表示,在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得的值，即可判断结果. 【详解】    如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得，解得或（舍去）， 故.由正弦定理得，解得 故选：AD. 10．（23-24高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 【答案】AB 【知识点】角度测量问题 【分析】画出示意图如图所示，在三角形中，由正弦定理即可求出的值，讨论船在B处和处时，即可求出答案. 【详解】画出示意图如图所示，由题意得，，， 所以，解得， 所以或． 当船在B处时，，所以； 当船在处时，，所以． 综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向． 故选：AB. 三、填空题 11．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔的距离为 ． 【答案】海里 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】在中利用正弦定理计算可得. 【详解】依题意在中，，，， 由正弦定理有，即，解得（海里）． 故答案为：海里 12．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为 米.    【答案】90 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】中，，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，（米）， 故答案为：90. 四、解答题 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某学校老师组织高一年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量.已知信号柱直立在地面上，学生在处测得信号柱顶端的仰角为，沿斜坡从点走到点，米，坡比为，在处测得信号柱顶端的仰角为，求信号柱的高度. 【答案】米. 【知识点】高度测量问题 【分析】延长交的延长线于，过作于，即可求出，再由锐角三角函数求出、，，最后在中利用锐角三角函数计算可得. 【详解】如图，延长交的延长线于，过作于. 在中，因为坡比为，所以， 所以，又米， 则（米）， （米）. ∵，， ∴（米）， ∴（米）. 设米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米，（米）. ∵， ∴，解得， ∴信号柱的高度为米. 14．（2024高三·全国·专题练习）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向海里处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.    (1)当时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和的正切值； (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? 【答案】(1);海里/时; (2)25海里 【知识点】距离测量问题 【分析】（1）当时,确定的横坐标,代入抛物线方程可得的纵坐标,利用两点间距离公式求出的长即可确定救援船速度; （2）设救援船的时速为海里/时,经过小时追上失事船,此时位置为,从而可得关于的关系式,利用基本不等式,即可求解. 【详解】（1）当时,的横坐标, 代入抛物线方程中,得的纵坐标, 则, 根据两点间距离公式得 , 所以救援船速度的大小为海里/时, 则, 即的正切值为. （2）设救援船的时速为海里/时,经过小时追上失事船, 此时位置为, 由, 整理得, 因为,当且仅当时等号成立, 所以, 即, 因此,救援船的时速至少是海里才能追上失事船. B能力提升 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，，，，都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），，为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于处测得点和点的仰角分别为，，于处测得点和点的仰角均为，，求点，间的距离（提示：）． 【答案】 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】方法一：通过仰角以及三角形外角定理，用正弦求出AD，以及AB，再在 中用余弦定理求解即可； 方法二：通过说明△AMC≌△DMC，先求AB，再利用正弦定理求BD. 【详解】方法一   在中，，， 由正弦定理，得． 在中，，， 由正弦定理，得． 在中，， 由余弦定理，得． 即点，间的距离为． 方法二   如图，过点作垂直水平线于点，过点作垂直水平线于点，记与的交点为． 由外角定理，得， 所以． 又易知， 所以，所以为的中点，所以， 又， 所以． 所以点，间的距离为． 16．（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 【答案】(1)； (2)①；②万元，. 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、辅助角公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求出，再利用正弦定理求出距离. （2）①利用正弦定理及差角的正弦公式求出；②令，利用辅助角公式，结合正弦函数的性质求出最小值及的值. 【详解】（1）在中，由，得，解得， 则， 由正弦定理，得， 所以，两点间的距离. （2）①在中，由正弦定理得， 解得，， 所以. ②令，则，则， 其中锐角由确定，于是， 则有，而，解得，当且仅当时取等号， 即当时，有最小值， 所以总费用的最小值为万元，此时的长度为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 课程标准 学习目标 ①会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题。 ②培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力。 ③理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式。 ④.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用。 ⑤掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用。 1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式； 2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基础上熟练应用是关键； 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用； 知识点01：基线 在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 知识点02：仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 【即学即练1】（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 知识点03：方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是. 【即学即练2】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 知识点04：方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)， 例：(1)北偏东：(2)南偏西： 知识点05：坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即. 题型01测量距离问题 【典例1】（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【典例2】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，，后，可以计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高一上·陕西宝鸡·开学考试）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，求A，B两点间的距离（参考数据：，，结果取整数）． 【变式1】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）甲船在湖中岛的正南处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船从岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定处，测得米，，则该河流的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）一质点沿着正西方向从点到达点，在点处测得点在其北偏西方向，且，则 ． 题型02测量高度问题 【典例1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）为了测量河对岸一古树高度的问题（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得树顶的仰角为，则树高约为（    ）（取，） A．100.8m B．33.6m C．81.6m D．57.12m 【典例2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（    ）．    A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求出山高（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 【变式1】（2024·湖南·模拟预测）为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·河南周口·开学考试）如图，某课外实践活动小组为了测量某山的高度，在山脚A处测得山顶P的仰角为，然后由A沿倾斜角为的斜坡向上走100米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若点A，B，C，P，Q在同一铅垂面内，则山的高度为 米． 【变式3】（23-24高一下·吉林白山·期中）如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点A，B．现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高CD为          题型03测量角度问题 【典例1】（23-24高一下·浙江·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【典例3】（23-24高一下·江苏连云港·期末）如图，设A，B是海岸线相距n mile的两个观察所，一渔轮在C处遇险，发出求救信号，两观察所同时收到求救信号，收到求救信号时，测得∠CAB=45°，∠ABC=15°，并发现渔轮正在以9n mile/h的速度向观察所B行驶，若观察所A，B的救援舰艇的最高速度都是n mile/h．试判断从何处派遣救援舰艇更合理，请说明理由并说出具体救援路线.（参考数据：）    【变式1】（23-24高三上·湖北·阶段练习）一艘客船在处测得灯塔在它的北偏东,在处测得灯塔在它的北偏西,距离为n mile.客船由处向正北航行n mile到达处,再看灯塔在它的南偏东,则 n mile;设灯塔在处的南偏西度,则 . 【变式2】（23-24高一·全国·随堂练习）在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流．一渡船从长江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达北岸的B码头（如图）．设为正北方向，已知B码头在A码头北偏东的方向上，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度确到0.1km/h）？    【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追起渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处． (1)求渔船甲的速度； (2)求的值； 题型04 综合应用题 【典例1】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【典例2】（23-24高一下·四川绵阳·期末）某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（    ）    A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·湖北·阶段练习）如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求． (1)当时，求线段的长度； (2)问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远） 【变式1】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）台风中心从地以每小时40km的速度向西北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市在地正西40km处，则城市处于危险区内的时间长为（   ） A．0．5h B．1h C．1.5h D．2h 【变式2】（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【变式3】（24-25高二上·四川遂宁·开学考试）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60 m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 m. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·福建·阶段练习）“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与．现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度（    ） A．47.6m B．35.7m C．23.8m D．11.9m 2．（23-24高一下·山东威海·期末）一艘轮船从处出发，以海里/小时的速度沿西偏南的方向直线航行，分钟后到达处.在处有一座灯塔，轮船在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则，两点间的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（23-24高一下·北京大兴·期末）如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高=（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河南商丘·期末）如图所示，测量人员在楼AB的楼顶上的点B处测量塔CD的高度.已知点P，A，C在同一条直线上，在点B处测得塔顶D的仰角为30°，地面上的点P的俯角为45°，在点P处测得塔顶D的仰角为60°，，则塔CD的高度为（    ）参考数据：.    A． B． C． D． 6．（23-24高一下·山东临沂·期中）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 7．（23-24高一下·四川成都·期中）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离约为的点（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）2022年12月26日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得，，米，在点A处测得碑顶C的仰角为30°，则纪念碑高CD约为（    ）（结果保留整数，参考数据：，） A．27米 B．33米 C．39米 D．40米 二、多选题 9．（23-24高一下·河南·阶段练习）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练．在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ）    A．舰艇所需的时间为1小时 B．舰艇所需的时间为2小时 C． D． 10．（23-24高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 三、填空题 11．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔的距离为 ． 12．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为 米.    四、解答题 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某学校老师组织高一年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量.已知信号柱直立在地面上，学生在处测得信号柱顶端的仰角为，沿斜坡从点走到点，米，坡比为，在处测得信号柱顶端的仰角为，求信号柱的高度. 14．（2024高三·全国·专题练习）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向海里处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.    (1)当时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和的正切值； (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? B能力提升 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，，，，都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），，为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于处测得点和点的仰角分别为，，于处测得点和点的仰角均为，，求点，间的距离（提示：）． 16．（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. / 学科网（北京）股份有限公司 $$