第11讲 6.4.3 第2课时 正弦定理（知识清单+11类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第11讲 6.4.3 第2课时 正弦定理 课程标准 学习目标 ①能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。 ②掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题。 ③利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系。 ④利用正弦、余弦定理判断三角形的形状。 ⑤掌握正弦、余弦定理的简单应用。 1.利用余弦定理加上本节课学习的正弦定理就可以正式进行解三角形的问题的训练与提升，提高学生数学核心素养，提升数学学习能力 知识点01：正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 【即学即练1】（23-24高一下·天津·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 知识点02：解决几何问题的常见公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【即学即练2】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）的内角的对边分别为,若, ，, 求的面积. 题型01 已知两角及任意一边解三角形 【典例1】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例2】（24-25高三上·北京昌平·开学考试）在 中，若，，，则 . 【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求BC． 【变式1】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式2】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）在中，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3】（24-25高三上·上海松江·阶段练习）中，，，，则 ． 题型02 已知两边和其中一边的对角解三角形 【典例1】（23-24高二上·浙江温州·开学考试）已知中，角所对的边分别为，若，则角的大小是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·山西大同·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求C、a及A． 【变式1】（23-24高一下·贵州·期中）在中，若，则是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2】（23-24高一下·云南红河·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三上·海南儋州·阶段练习）在中，若，，，则 ． 题型03三角形解的个数 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【典例2】（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一下·全国·课堂例题）下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知. (1)，，； (2)，，； (3)，，. 【变式1】（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【变式3】（多选）（22-23高一下·河北邯郸·期中）在中，内角所对的边分别为．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 题型04 判断三角形的形状 【典例1】（24-25高二上·广东潮州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 【典例2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【典例3】（多选）（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）在中，若，，若，则可能是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．含角的钝角三角形 【变式1】（24-25高二上·北京·开学考试）在中，已知，则下列说法正确的是（） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 【变式2】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在中，若，则此三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【变式3】（23-24高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（    ） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 题型05 利用正（余）弦定理求范围或最值 【典例1】（23-24高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三上·陕西渭南·期末）在中，，求的最大值． 【变式1】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在中，的对边分别是，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式2】（23-24高二下·浙江金华·期中）在锐角三角形中，边长为1，且，则边的长度取值范围是 ． 【变式3】（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 题型06 综合运用正弦定理、余弦定理解三角形 【典例1】（23-24高三下·河南·阶段练习）的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C．2 D． 【典例2】（23-24高一下·福建泉州·期中）记锐角的内角的对边分别为.已知，. (1)求b的值； (2)若，求. 【典例3】（24-25高三上·北京·阶段练习）在中， 为锐角，且. (1)求的值； (2)若，，求和面积. 【变式1】（24-25高一上·广东佛山·开学考试）在中，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【变式2】（23-24高一下·河南南阳·期中）在中，为边上的任一点，若，，则 . 【变式3】（湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求B； (2)若，，求c.（提示：.） 题型07求三角形面积（定值） 【典例1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求证： (2)若，，求的面积. 【典例2】（24-25高三上·广西南宁·开学考试）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，且，求的面积. 【变式1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求锐角的大小； (2)若，且的周长为，求的面积. 【变式2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在中，内角，，满足. (1)证明：； (2)若，求的面积. 题型08根据三角形面积求参数 【典例1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求. 【典例2】（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）在中，． (1)求； (2)当的面积为，，求的值． 【变式1】（24-25高三上·江苏·开学考试）在中，内角的对边分别为，且，． (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高． 【变式2】（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)若，求出的值； (2)若，且的面积，求的值． 题型09三角形面积最值（范围）问题 【典例1】（23-24高二下·内蒙古·期末）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)已知，求面积的最大值． 【典例2】（23-24高一下·浙江台州·期中）的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【变式1】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【变式2】（24-25高二上·云南昭通·开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C； (2)若，求的面积S的取值范围. 题型10求三角形周长（定值） 【典例1】（2024·广西来宾·模拟预测）在中，角所对的边分别为.已知. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【典例2】（23-24高二下·云南·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，，成等差数列，求的面积； (2)若，，成等比数列，求当取得最大值时，的周长． 【变式1】（23-24高一下·重庆·期中）在中，角所对的边为，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 【变式2】（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知，且． (1)求A； (2)已知角A的平分线交于点M，若，求的周长． 题型11三角形周长最值（范围）问题 【典例1】（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 (1)求； (2)若，求周长的取值范围． 【典例2】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 . (1)求角B的大小； (2)若，求周长的取值范围； 【典例3】（2024·辽宁·模拟预测）在中，内角所对的边分别为. (1)求角； (2)若的面积为，求周长的最小值. 【变式1】（2024·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，对应的三边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【变式3】（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·广西·开学考试）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，，，已知，则中最小的边长为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在中，，则（    ） A． 或 B． C． 或 D． 或 5．（23-24高一下·广东汕尾·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则边长b等于（    ） A．1 B． C． D．2 6．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河南·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有两解 D．若，则有两解 8．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，最大边与最小边之比为，则最大角为（附：）（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知角，，是三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则是直角三角形 10．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（    ） A．8 B． C．9 D． 三、填空题 11．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，则 . 12．（23-24高一下·山西晋城·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则是 三角形． 四、解答题 13．（2024·海南·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的外接圆直径为，求的周长. 14．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）在锐角中，内角所对的边为，其中 (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. B能力提升 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）在锐角三角形ABC中，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北·阶段练习）记的三个内角，，的对边分别为，，，已知，其中，若的面积，，且，则的长为 ． 4．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知锐角的三个内角，所对的边为，. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 5．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）在中，角的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若是边上的一点， 且满足，，求的最大值． C综合素养 6．（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． (1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； (3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 6.4.3 第2课时 正弦定理 课程标准 学习目标 ①能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。 ②掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题。 ③利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系。 ④利用正弦、余弦定理判断三角形的形状。 ⑤掌握正弦、余弦定理的简单应用。 1.利用余弦定理加上本节课学习的正弦定理就可以正式进行解三角形的问题的训练与提升，提高学生数学核心素养，提升数学学习能力 知识点01：正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 【即学即练1】（23-24高一下·天津·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理得，解得. 故选：A. 知识点02：解决几何问题的常见公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【即学即练2】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）的内角的对边分别为,若, ，, 求的面积. 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理和得到关于的方程，与条件等式联立求得，代入三角形面积公式计算即得. 【详解】 由余弦定理得，即， 又,联立解得，， 故的面积为：. 题型01 已知两角及任意一边解三角形 【典例1】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由，，可得， 由正弦定理可得，故， 故选：B 【典例2】（24-25高三上·北京昌平·开学考试）在 中，若，，，则 . 【答案】/ 【知识点】正弦定理解三角形、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据题意，求得的值，结合正弦定理，即可求解. 【详解】因为，，且，可得， 又因为，由正弦定理得，所以. 故答案为：. 【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求BC． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得， 因此. 【变式1】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）在中，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为，由正弦定理， 即，解得. 故选：D 【变式3】（24-25高三上·上海松江·阶段练习）中，，，，则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由三角形三个角的和为得出的值，利用正弦定理解出边. 【详解】， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 题型02 已知两边和其中一边的对角解三角形 【典例1】（23-24高二上·浙江温州·开学考试）已知中，角所对的边分别为，若，则角的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】先应用正弦定理得出，再计算得出角. 【详解】由正弦定理,可得, 所以，. 故选：A. 【典例2】（23-24高一下·山西大同·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求出，即可求出． 【详解】由正弦定理得，所以， 因为，所以，所以， 则， 故选：B． 【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求C、a及A． 【答案】，， 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】首先由正弦定理求得 , 得到角 的大小, 然后由三角形内角和定理求得 , 再由正弦定理求得 . 【详解】在中，， 由正弦定理可得:，即，， ，， . 则由，得， . 【变式1】（23-24高一下·贵州·期中）在中，若，则是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角. 【详解】在中，由正弦定理得， 而，所以或． 故选：C 【变式2】（23-24高一下·云南红河·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由已知结合正弦定理求出，然后结合三角形大边对大角即可求解. 【详解】因为=，，， 由正弦定理得：，所以， 因为，所以，所以或. 故选：B 【变式3】（23-24高三上·海南儋州·阶段练习）在中，若，，，则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】在中，若，，， 由正弦定理得，所以， 所以， 故答案为： 题型03三角形解的个数 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理计算出，结合正弦值的范围判断. 【详解】由正弦定理得， 则, 故不存在，即满足条件的三角形不存在． 故选：C 【典例2】（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【分析】根据三角形内角和为及三角形三边关系，结合正弦定理和余弦定理逐项判断即可. 【详解】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 【典例3】（24-25高一下·全国·课堂例题）下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知. (1)，，； (2)，，； (3)，，. 【答案】(1)无解 (2)一解，答案见解析 (3)两解，答案见解析 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】（1）由已知，可得，又，所以三角形无解； （2）由已知，可得，又，所以三角形只有一解，由正弦定理可求得，进而求得，再由正弦定理可求得； （3）由已知，可得，所以三角形有两解，由正弦定理，可得或，再利用三角形内角和为和正弦定理，分情况求出和即可. 【详解】（1）由，，可得，所以， 又由，所以这样的三角形无解. （2）由，，可得，所以， 又由，所以这样的三角形只有一解， 由正弦定理，可得， 所以，所以， 所以. （3）由，，可得， 又由，且，所以， 所以这样的三角形有两解； 由正弦定理，可得， 所以或， 当时，，， 当时，，， 所以，，或，，. 【变式1】（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】只有已知两边及一边的对角时才可能有两解，还需通过正弦定理、三角形的性质判断． 【详解】对于选项A：已知两边及夹角，由三角形全等可知只有一解，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得， 所以无解，故B错误； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，可知角B有两解，所以有两解，故C正确； 对于选项D：已知三边，根据的取值要么无解，要么只有一解，不可能有两解，故D错误． 故选：C． 【变式2】（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理及三角形的性质分别判断出所给命题的真假． 【详解】①中，，，， 由正弦定理可得，即，可得， 因为角为锐角，所以角有两解，所以①不正确； ②中，由三边为定值，且满足任意两边之和大于第三边，所以②唯一确定三角形；所以②正确； ③中，由两边和夹角确定唯一三角形，可得③正确； ④中，由正弦定理可得，所以不存在这样的三角形，所以④不正确． 故选：B． 【变式3】（多选）（22-23高一下·河北邯郸·期中）在中，内角所对的边分别为．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理结合三角函数单调性即可逐一判断求解. 【详解】对于A，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故A符合题意； 对于B，由正弦定理，即，解得， 而，所以有两个可能的值，这表明有两个解，故B不符合题意； 对于C，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故C符合题意； 对于D，由正弦定理，即，解得， 而，所以有唯一解，也随之唯一确定，故D符合题意； 故选：ACD. 题型04 判断三角形的形状 【典例1】（24-25高二上·广东潮州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解． 【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 此时，不等构成三角形，故命题错误. 故选：D. 【典例2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据特殊角的三角函数值可得，即可结合正弦定理求解． 【详解】由，,则， 由，则， 由于，则， ，均为三角形的内角，，即， 故该三角形的形状是等腰三角形． 故选：B． 【典例3】（多选）（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）在中，若，，若，则可能是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．含角的钝角三角形 【答案】BC 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量平行得出等量关系，利用边角互化可得答案. 【详解】因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，由正弦定理得，即， 所以或，即或， 所以可能是等腰三角形或直角三角形. 故选：BC 【变式1】（24-25高二上·北京·开学考试）在中，已知，则下列说法正确的是（） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据正弦定理逐项判断即可. 【详解】因为，由正弦定理得， 对于，当时，，由且可知，，可得， 所以为钝角三角形,错误； 对于，当时，，即为直角，正确； 对于，当时，，可知不存在，三角形不存在，错误； 对于，当时，，又，所以，所以， 显然不可能是等腰三角形，D错误. 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在中，若，则此三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得求解. 【详解】由可得， 又， 所以， 由于为的内角，所以， 故为等腰三角形， 故选：B 【变式3】（23-24高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（    ） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项. 【详解】对于A:因为由正弦定理, 当时，是钝角三角形, 当时，是钝角三角形,A选项错误； 对于B:因为,由, 所以是直角三角形,B选项正确； 对于C:因为,由 当时，,是锐角三角形,C选项错误； 对于D:因为,由,,, 因为，所以不是等腰三角形,D选项错误； 故选：B. 题型05 利用正（余）弦定理求范围或最值 【典例1】（23-24高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦定理化简题中条件，得到，再利用基本不等式求的取值范围即可. 【详解】中，， 解得； ，由余弦定理得：， ， ． 故选：D． 【典例2】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由正弦定理和余弦定理求出，从而得到，由正弦定理化边为角，，结合，利用正弦函数图象，求出，得到答案. 【详解】因为， 所以，整理得， 所以， 又，所以， 又，所以，解得， 所以 又，则， 所以， 即的取值范围为. 故选：C. 【典例3】（23-24高三上·陕西渭南·期末）在中，，求的最大值． 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、辅助角公式 【分析】根据正弦定理可得，进而利用三角函数的性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 因此，因为，且，， 故当时，取到最大值为． 【变式1】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在中，的对边分别是，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求积的最大值 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式即可得解. 【详解】由，代入余弦定理可得： ， 当且仅当时取等号，所以， 故选：B 【变式2】（23-24高二下·浙江金华·期中）在锐角三角形中，边长为1，且，则边的长度取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用二倍角的正弦公式和正弦定理，结合锐角三角形确定角的范围，从而求出边的取值范围. 【详解】因为，所以， 再由正弦定理角化边得：，因为，所以， 又由是锐角三角形，，解得：， 则. 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用边角互化思想得，由余弦定理求出的值，从而得出角的值； （2）由三角形的面积公式得出的值，再由基本不等式即可计算得解． 【详解】（1）由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为是三角形内角，所以； （2）由三角形面积公式得： ， 解得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4，此时为等边三角形． 题型06 综合运用正弦定理、余弦定理解三角形 【典例1】（23-24高三下·河南·阶段练习）的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】直接利用余弦定理,即可求得. 【详解】在中，， 由余弦定理， 得，即. 故选：C. 【典例2】（23-24高一下·福建泉州·期中）记锐角的内角的对边分别为.已知，. (1)求b的值； (2)若，求. 【答案】(1)5 (2) 【知识点】余弦定理解三角形、已知数量积求模、向量的线性运算的几何应用 【分析】（1）根据余弦定理解得或，再结合锐角三角形分析取舍； （2）根据向量可得，两边同时平方结合数量积求模长. 【详解】（1）在中，因为，， 由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或， 此时边为最大边，即角为最大角， 若为锐角三角形，则，解得， 所以. （2）由（1）可知：，则， 因为，则，可得， 则， 所以． 【典例3】（24-25高三上·北京·阶段练习）在中， 为锐角，且. (1)求的值； (2)若，，求和面积. 【答案】(1) (2)； 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据题意，利用正弦的倍角公式，得到，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解； （2）由题意，求得，根据正弦定理求得，再由两角和的正弦公式，求得的值，集合正弦定理和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 又因为为锐角，可得，所以， 所以. （2）解：由（1）知，， 因为，可得， 又由正弦定理，可得， 又因为， 则， 所以的面积为. 【变式1】（24-25高一上·广东佛山·开学考试）在中，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】根据题意可知，所以根据两角和的正弦公式可求得，再根据正弦定理可求得. 【详解】根据三角形内角和为，所以可知， 则， 根据正弦定理可知，代入解之可得. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·河南南阳·期中）在中，为边上的任一点，若，，则 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】化简已知等式可得，结合余弦定理可得，可求，从而利用同角三角函数基本关系式即可求解的值. 【详解】设的内角，，的对边分别为，，，    因为，所以， 又由余弦定理可得， 所以，可得， 可得，即，即， 所以由余弦定理，可得， 所以. 故答案为： 【变式3】（湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求B； (2)若，，求c.（提示：.） 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理角化边再结合余弦定理求解即可； （2）由正弦定理得到，结合求得，，然后由正弦定理求解边即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得：，即， 所以由余弦定理的：， 因为，所以. （2）由（1）可知，，， 由正弦定理得，所以， 所以， 所以，因为， 所以由正弦定理得：，所以. 题型07求三角形面积（定值） 【典例1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求证： (2)若，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】余弦定理解三角形、证明三角形中的恒等式或不等式、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可证； （2）由正弦定理及三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）由正弦定理，知， 所以，即为， 所以， 即， 所以 因为，， 所以或，即或（舍去）； （2）由，得， 所以，即 由余弦定理，得， 即，解得， 所以 又由，可得， 得， 所以的面积 【典例2】（24-25高三上·广西南宁·开学考试）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由余弦定理及二倍角的正弦公式化简即可得解； （2）由正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，即可由三角形面积公式求解. 【详解】（1）由，可得, 由可知，可得，故. （2）由可得, 因为，所以， 由可得， 故 ， 又，可得, 所以. 【变式1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求锐角的大小； (2)若，且的周长为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）首先求出，即可得到，再由正弦定理得到，，，由周长求出，即可得到，，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 因， 代入得， 又因，则，又为锐角，故； （2）由可得，因为，则. 由（1）可得， 由正弦定理， 其中， 设比值为，则，，， 因的周长为，即， 即，则，， 故的面积. 【变式2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在中，内角，，满足. (1)证明：； (2)若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、证明三角形中的恒等式或不等式、三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据三角恒等变换可得，即可得，结合二倍角的正切公式可得解； （2）根据正弦定理可知，再根据三角恒等变换可知，进而可得. 【详解】（1）由， 则， 化简可得， 又，，， 则或（舍）， 即， 则； （2）由已知，， 则，， 则，，， 所以， 又由正弦定理可知，即， 面积. 题型08根据三角形面积求参数 【典例1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、辅助角公式、正弦定理及辨析 【分析】（1）利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角及特殊角三角函数值，即可求解； （2）根据条件及（1）中结果，得到，利用正弦定理得到，再利用面积公式，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 又，，得到，即， 所以，得到，又，所以， 所以，解得. （2）因为，由（1）知，所以， 由正弦定理，得到， 又，所以， 又的面积为，所以， 整理得到，解得. 【典例2】（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）在中，． (1)求； (2)当的面积为，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将条件转化为角的关系，利用二倍角公式化简可得，结合角的范围可得结论； （2）由条件结合三角形面积公式可求，结合，求，再由余弦定理求. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，， 又，所以，得到， 又，所以， 又，所以，得到， 所以. （2）因为，所以， 又，得到， 代入，得到， 解得，所以， 由余弦定理得，， 所以. 【变式1】（24-25高三上·江苏·开学考试）在中，内角的对边分别为，且，． (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理以及已知条件代入化简即可求解； （2）由（1）求出，由同角三角函数的基本关系求出，最后由三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1），由余弦定理得，， 又因， 所以，化简得， 所以. （2）由（1）得，                           所以为锐角，则， 所以的面积， 所以， 设边上的高为， 则的面积， 所以，即边上的高为. 【变式2】（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)若，求出的值； (2)若，且的面积，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）由已知根据正弦定理将角转化为边可得，由余弦定理可得，再根据，结合同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式即可求得和，根据求解即可； （2）由面积公式可得，由余弦定理可得，再结合正弦定理可得，根据二倍角公式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 所以， 所以； （2），所以， ，所以， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以. 题型09三角形面积最值（范围）问题 【典例1】（23-24高二下·内蒙古·期末）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)已知，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的信息，利用基本不等式求出最大值，再利用三角形面积公式求出最大面积. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，即， 由余定理得，又， 所以. （2）由（1）知，则， 因此，即，当且仅当时取等号， 则的面积， 所以面积的最大值为. 【典例2】（23-24高一下·浙江台州·期中）的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【详解】（1）由题设及正弦定理得， ∵，∴， [法一]∵，∴或 当时，，，符合 当时，，即，得，舍 综上，. [法二]∵，， ∴， 又∵，∴化简得， ∵，则，∴，∴ （2）由（1）知，又，∴， 正弦定理得， ∵为锐角三角形，∴，∴， ∴， ∴，∴，∴， 从而，即面积的取值范围是. 【变式1】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】正弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）应用正弦定理将转化为只含角的方程，再结合余弦的单调性求出角即可； （2）应用余弦定理与均值不等式可求出的最大值，进而可求出面积的最大值. 【详解】（1）解：因为， 所以. 由正弦定理得， 因为，所以，故， 则 因为，所以，， 又因为函数在上单调递减， 所以，即． （2）解：由余弦定理知，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积， 即面积的最大值为： 【变式2】（24-25高二上·云南昭通·开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C； (2)若，求的面积S的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）结合已知，利用余弦定理、正弦定理及倍角公式化简得，解三角形即可求解； （2）由面积公式得，由正弦定理得，根据锐角三角形得，则，即可求解面积范围. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得， 再由正弦定理及倍角公式得， 得，即， 故在锐角中有. （2），，则. 由正弦定理，有， 所以， 又是锐角三角形，有得，则， 所以， 即的面积S的取值范围为. 题型10求三角形周长（定值） 【典例1】（2024·广西来宾·模拟预测）在中，角所对的边分别为.已知. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、逆用和、差角的正切公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）先由已知条件结合两角和的正切公式得，再结合角A的范围和即可得解. （2）先由（1）结合已知条件和求出，再由余弦定理求出进而得解. 【详解】（1）由题得， 因为，， 故，故，所以. （2）由（1）得，故由和得， 所以，故， 所以的周长为. 【典例2】（23-24高二下·云南·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，，成等差数列，求的面积； (2)若，，成等比数列，求当取得最大值时，的周长． 【答案】(1) (2)3 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、等比中项的应用 【分析】（1）由正弦定理边化角得，由，，成等差数列求出，然后由三角形的面积公式求解即可； （2）由，，成等比数列，得，然后由余弦定理结合重要不等式求解当取得最大值时，，求解周长即可. 【详解】（1）由及正弦定理， 得， 则，解得． 因为，，成等差数列，所以， 则，所以． 故的面积． （2）因为，，成等比数列，所以，结合（1）有． 由余弦定理可知， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，此时，故的周长为3． 【变式1】（23-24高一下·重庆·期中）在中，角所对的边为，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理及两角和差正弦公式计算求出正切值求角即可； （2）由正弦定理结合和比定理求出进而得出周长即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 在中，， ，， . （2）， ， 所以的周长为. 【变式2】（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知，且． (1)求A； (2)已知角A的平分线交于点M，若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简求得，得到，即可求解； （2）根据题意，利用，化简得到，再由余弦定理，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 所以， 又因为， 所以， 可得， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）解：因为，交的内角平分线交于点，且， ， 又因为， 所以，可得， 由余弦定理得： ， 整理得，解得或（舍去）， 所以，即的周长为. 题型11三角形周长最值（范围）问题 【典例1】（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 (1)求； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理和余弦差角公式，辅助角公式得到，结合，即可求解； （2）由余弦定理和基本不等式，结合三角形两边之和大于第三边，得到，得到周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 故， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以； （2）由（1）可知，，， 又，所以， 由基本不等式得：，即， 所以，当且仅当时，等号成立. 又， 即，又，所以， 所以， 即周长的取值范围是. 【典例2】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 . (1)求角B的大小； (2)若，求周长的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）①②可利用正弦定理化边为角，结合内角和定理与三角恒等变换可得；③可利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求角可得； （2）由余弦定理得，应用基本不等式得的最大值，结合两边之和大于第三边可得，进而得周长的范围； （3），求a的范围即可，由余弦定理得，，结合锐角三角形的等价条件，消得关于的不等式组求解即可得. 【详解】（1）若选①，由得， 由正弦定理得，由，， 则，所以， 故，又B是三角形的内角，所以， 所以，解得； 若选②， ， 由正弦定理得，， 所以， 由，， 则，即， 又B是三角形的内角，所以； 若选③， 由正弦定理得，即， 所以，又B是三角形的内角，所以； （2）由（1）得，又， 由余弦定理，， 则， 解得， 又三角形两边之和大于第三边，所以， 则. 所以周长的取值范围是； 【典例3】（2024·辽宁·模拟预测）在中，内角所对的边分别为. (1)求角； (2)若的面积为，求周长的最小值. 【答案】(1) (2)6 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据正弦定理以及三角形内角之间的关系，利用三角恒等变换计算可得； （2）由三角形面积公式和基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理得； 即， 所以； 所以 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，． （2）因为的面积为，所以，可得． 由余弦定理得， 所以． 当且仅当时，等号成立， 此时的周长最小，且最小值为6． 【变式1】（2024·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，对应的三边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合角度范围与正弦函数值即可得角的大小； （2）利用正弦定理边化角可得，结合三角恒等变换将周长转化为关于角的正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可得的周长的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，即， 因为，所以，即； （2）因为，，由正弦定理得， 则，又， 则，且， 所以 因为，所以，则， 所以， 综上可知，三角形的周长的取值范围是． 【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）利用正弦定理及三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求周长的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理得， 故， 在中，，，所以， 可得，而，故即. （2）由正弦定理的得，， 因为，则， 所以， 因为为锐角三角形，则，，，故， 所以周长的取值范围. 【变式3】（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 【答案】(1). (2)6 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积 【详解】（1）选①， 由正弦定理可得，即得， 即有，由于，可得，即. 选②， 由正弦定理可得， 因为，，所以，即. 由于，可得. 选③， 由正弦定理和诱导公式可得，即为， 由余弦定理可得. 由于，可得. （2）由（1）知，由余弦定理可得， 即为，而，即. 若，则，可得（当且仅当时取得等号）， 则，所以周长的最小值为6. A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·广西·开学考试）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理可得，代入计算即可. 【详解】由正弦定理，得. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，，，已知，则中最小的边长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】由大边对大角以及正弦定理即可列式求解. 【详解】因为， 由三角形的边角关系小角对小边，可知最小的边长为， 由正弦定理，得， 所以， 所以中最小的边长为4． 故选：B. 3．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状； 【详解】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在中，，则（    ） A． 或 B． C． 或 D． 或 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理结合已知条件求解即可. 【详解】解：在中，， 则由正弦定理得，即，解得， 因为且，所以或. 故选：A 5．（23-24高一下·广东汕尾·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则边长b等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】直接根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得，， 所以 故选：C 6．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理，结合三角形解的个数，即可列式求解. 【详解】根据正弦定理，，则， 若满足条件的有两个，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 7．（24-25高二上·河南·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有两解 D．若，则有两解 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理建立方程，利用每个选项中的条件，可得答案. 【详解】由正弦定理，得， 当时，，故A正确； 当时，，故B正确； 当时，，故B有两解，故C正确； 当时，，得，仅有一解，故D错误. 故选：D. 8．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，最大边与最小边之比为，则最大角为（附：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】设为最大角，则为最小角，由三角恒等变换列方程求得的值即可得解. 【详解】设为最大角，则为最小角， ， ， ，． 又为锐角，，． 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知角，，是三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则是直角三角形 【答案】AC 【知识点】诱导公式二、三、四、正弦定理边角互化的应用 【详解】对A，因为，所以，A正确； 对B，因为，所以，B错误； 对C，设的外接圆半径为， ，可得， 即，所以，C正确； 对D，如在，， ，但该三角形不是直角三角形，D错误； 故选：AC. 10．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（    ） A．8 B． C．9 D． 【答案】AB 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理得，由三角形面积公式得，进而得出，再根据余弦定理求得或，即可求解． 【详解】由正弦定理得，得，则， 由，得，所以， 由余弦定理，得或17， 所以或， 所以的周长为8或， 故选：AB． 三、填空题 11．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，则 . 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解. 【详解】对于， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 又，所以. 故答案为：. 12．（23-24高一下·山西晋城·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则是 三角形． 【答案】等腰三角形或直角三角形. 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由已知式运用余弦定理将其化成，利用正弦定理，得到，即得或，即可确定三角形形状. 【详解】由余弦定理，，则，同理可得，， 由可得，化简得，, 由正弦定理得，则, 而， 则得或，即或， 故是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 四、解答题 13．（2024·海南·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的外接圆直径为，求的周长. 【答案】(1) (2)4 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、数量积的坐标表示 【分析】（1）借助向量垂直数量积为零结合余弦定理即可得解； （2）借助正弦定理计算可得，再利用余弦定理计算可得，即可得其周长. 【详解】（1）由，得， 整理得，所以由余弦定理，得， 因为，所以； （2）由（1）根据正弦定理，得，解得， 由余弦定理，得， 解得，所以的周长为. 14．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）在锐角中，内角所对的边为，其中 (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再逆用两角和的正弦公式、三角形内角和定理、正弦的诱导公式、特殊角的正弦值进行求解即可； （2）根据（1）的结论，运用余弦定理、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1） 因为，所以， 因此由， 因为，且三角形为锐角三角形，所以； （2）由余弦定理可知：， 由基本不等式可知： ，当且仅当时取等号， 面积为，即， 当且仅当该三角形为正三角形时取等号. B能力提升 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理求得，求得，然后再利用正弦定理，即可求得外接圆的半径，得到答案. 【详解】因为，且， 所以， 由正弦定理，可得，即， 所以， 又因，所以，所以 外接圆的半径为. 故选：A. 2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）在锐角三角形ABC中，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由正弦定理可得，把展开，即求的取值范围. 【详解】由正弦定理得:， 所以 ， 由锐角，得，即，解得：. 所以，即，所以. 故选：A 3．（24-25高二上·湖北·阶段练习）记的三个内角，，的对边分别为，，，已知，其中，若的面积，，且，则的长为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】利用正弦定理对化简，可得，再由三角形面积公式求出，根据题意写出，等式两边平方后，可求出的值，由余弦定理，求出的长. 【详解】, 由正弦定理可得:， ， ， , ，即,， ,得， ∵，∴，， 即，由，解得或， 根据余弦定理， 当时，，此时，不满足题意， 当时，. 故答案为：. 4．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知锐角的三个内角，所对的边为，. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用同角三角函数关系式转化，再应用正弦定理和余弦定理即可求值； （2）应用正弦定理转化为角的关系，再由三角恒等变换转化为只含角三角函数关系，应用角的范围求出函数值域即可. 【详解】（1）解：由 可得， 即, 由正弦定理可得，即， 所以， 因为，所以. （2）解：应用正弦定理可得，设， 因为，，为锐角三角形， 所以，所以 所以 因为， 所以， 所以， 即的取值范围为. 5．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）在中，角的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若是边上的一点， 且满足，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题、向量夹角的计算 【分析】（1）根据题意可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）根据题意结合向量夹角公式可得，利用面积关系可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为，即， 由正弦定理可得， 且， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以. （2）因为，即， 可得，即， 可知平分，则， 因为， 即，整理可得， 又因为， 则， 当且仅当，即，时取等号， 可得，所以的最大值为. C综合素养 6．（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． (1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； (3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理求外接圆半径、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据题意可知：，利用正弦定理求外接圆半径； （2）先根据表示出三角形得面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证； （3）根据（2）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证. 【详解】（1）由题意可知：， 所以的外接圆的半径. （2）若， 则 , 所以， 在中， 分别由余弦定理得：， ，， 三式相加整理得， 因为，所以. （3）由（2）得， 所以, 由， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得. 【点睛】关键点点睛：根据表示出三角形的面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键. / 学科网（北京）股份有限公司 $$