第10讲 6.4.3 第1课时 余弦定理（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第10讲 6.4.3 第1课时 余弦定理 课程标准 学习目标 ①掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法。 ②会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 1.通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理； 2.在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用； 知识点01：余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 【即学即练1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 （2）余弦定理的推论 ； ； 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 知识点02：解三角形 （1）解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【即学即练3】（23-24高一下·天津西青·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． （2）余弦定理在解三角形中的应用 ①已知三角形的三边解三角形 连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角. ②已知两边和它们的夹角解三角形 用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角. ③已知两边及其中一边的对角解三角形 例如已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角. 题型01 已知三边解三角形 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 【典例2】（2024高二下·河北）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高一下·天津西青·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． 【变式1】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 【变式3】（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 题型02 已知两边及一角解三角形 【典例1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【典例2】（23-24高一下·新疆·期中）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，则 ． 【变式1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（23-24高一下·天津·期中）在中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 题型03判断三角形的形状 【典例1】（23-24高一下·湖北·期中）已知的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【典例2】（23-24高二上·陕西咸阳·开学考试）在中，内角的对边分别为，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【典例3】（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，试判断的形状. 【变式1】（23-24高一下·山西晋中·期中）若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2】（23-24高一下·四川内江·期中）若三角形的三边长分别为，，，则该三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定的 【变式3】（23-24高一下·天津·期中）若是钝角三角形，，，，则x的取值范围是 ． 题型04 求三角形中边长（周长）取值范围 【典例1】（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·福建福州·期中）在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则周长的最大值为 ． 【典例3】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知的三个角所对的边为满足：. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【变式1】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在中，的对边分别是，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）在钝角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高三上·河南·专题练习）在中，，，，若为的中点，且，则的最大值为 ． 【变式4】（23-24高一下·浙江金华·阶段练习）在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 2．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高一下·山东聊城·期中）长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 5．（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）在中，，且有，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D．1 7．（23-24高一下·山东临沂·期中）的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”．可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的长为（    ） A．9 B． C．3 D． 二、多选题 9．（23-24高一下·河南·阶段练习）在中，，，则边的长可能为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，则角 . 12．（24-25高二上·山西·开学考试）设的三个内角的对边分别为，已知，则 . 四、解答题 13．（24-25高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，，． 14．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是，求三角形的另一边的长； （2）在中，已知，，，解这个三角形． B能力提升 1．（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）如图，在四边形中，，为线段中点，，则（    ） A． B．15 C．18 D．9 2．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知空间向量，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则 ． 4．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的长. C综合素养 1．（23-24高一下·贵州·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 6.4.3 第1课时 余弦定理 课程标准 学习目标 ①掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法。 ②会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 1.通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理； 2.在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用； 知识点01：余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 【即学即练1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得,即， 解得或， 故选：C （2）余弦定理的推论 ； ； 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得． 故选：C． 知识点02：解三角形 （1）解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【即学即练3】（23-24高一下·天津西青·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】（1）结合余弦定理进行求解即可； （2）结合正弦定理进行求解即可. 【详解】（1）由， 则， 又，则； （2）由（1）知，又， 则由正弦定理知，，即 . （2）余弦定理在解三角形中的应用 ①已知三角形的三边解三角形 连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角. ②已知两边和它们的夹角解三角形 用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角. ③已知两边及其中一边的对角解三角形 例如已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角. 题型01 已知三边解三角形 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得． 故选：C． 【典例2】（2024高二下·河北）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】易知，在和中分别利用余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由，得. 故选：C 【典例3】（23-24高一下·天津西青·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】（1）结合余弦定理进行求解即可； （2）结合正弦定理进行求解即可. 【详解】（1）由， 则， 又，则； （2）由（1）知，又， 则由正弦定理知，，即 . 【变式1】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, ，即， 故选：D 【变式2】（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据已知条件直接利用余弦定理求解即可 【详解】由余弦定理知， 因为，所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】在中，利用余弦定理求出，即可求得. 【详解】在中，，由余弦定理， ， 因为，所以， 又在中，， 所以. 故答案为：. 题型02 已知两边及一角解三角形 【典例1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理得到方程，求出. 【详解】由余弦定理得，即， 解得，解得或（舍去）， 故. 故选：D 【典例2】（23-24高一下·新疆·期中）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得. 故选：B 【典例3】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理求解即可． 【详解】由余弦定理得，，解得或（舍）， 所以， 故答案为：． 【变式1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】将已知数据代入余弦定理中即得的长度. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·天津·期中）在中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】运用余弦定理可解. 【详解】，即，解得（负值舍去）. 故选：C. 【变式3】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求解． 【详解】由余弦定理，得， 即，解得（负值舍去）， 故答案为：． 题型03判断三角形的形状 【典例1】（23-24高一下·湖北·期中）已知的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】设边长为8的边对应的角为，利用余弦定理可判断. 【详解】设边长为8的边对应的角为， 由余弦定理可得， 所以为钝角，因此，三角形为钝角三角形， 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·陕西咸阳·开学考试）在中，内角的对边分别为，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据余弦定理确定正确答案. 【详解】依题意，，则， 所以，所以为钝角， 所以三角形是钝角三角形. 故选：D 【典例3】（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，试判断的形状. 【答案】(1) (2)等边三角形 【知识点】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】（1）由题意得，结合余弦定理即可求解； （2）由题意在中，运用余弦定理结合已知得，联立即可得，由此即可判断. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，， 所以. （2）在中，由余弦定理有， 所以，联立，解得， 所以，也就是说的形状是等边三角形. 【变式1】（23-24高一下·山西晋中·期中）若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案 【详解】设，该三角形的最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，三角形形状为钝角三角形. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·四川内江·期中）若三角形的三边长分别为，，，则该三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定的 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形 【分析】不妨设中，，，利用余弦定理得到，从而得到为钝角，即可判断. 【详解】不妨设中，，， 因为，则， 由余弦定理可得，又， 所以为钝角，故该三角形为钝角三角形. 故选：B 【变式3】（23-24高一下·天津·期中）若是钝角三角形，，，，则x的取值范围是 ． 【答案】,, 【知识点】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由于未说明哪个角是钝角，需分或为钝角进行解答，再结合三角形三边关系和余弦定理求解即可得答案． 【详解】 由题意知钝角三边长分别为3，4，， 设为钝角， 则， ． 由于两边之差小于第三边，． ． 设为钝角， 则， ，即． 由于两边之和大于第三边，． ． 综上，或． 故答案为：,,． 题型04 求三角形中边长（周长）取值范围 【典例1】（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据三角形两边之和大于第三边和余弦定理，求解的范围，判断选项. 【详解】由，则， 所以，故， 由为钝角三角形，则， 即，得，故， 故的取值范围为， 故选：A 【典例2】（23-24高一下·福建福州·期中）在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则周长的最大值为 ． 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】依题意利用余弦定理及基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，，由余弦定理得，， 即，即，所以， 当且仅当时取“”； 所以，所以，当且仅当时取“”； 所以周长的最大值为； 故答案为： 【典例3】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知的三个角所对的边为满足：. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由余弦定理得到，结合得到，从而求出； （2）由余弦定理及得到，从而得到，结合三角恒等变换及正弦函数图象求出最大值. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得：， 因为， 所以 故 ， ， ； （2）， 由余弦定理：， ， ， ， 故， ∵， ∴当时，. 【变式1】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在中，的对边分别是，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求积的最大值 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式即可得解. 【详解】由，代入余弦定理可得： ， 当且仅当时取等号，所以， 故选：B 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）在钝角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】讨论C是钝角和B是钝角两种情况，结合三角形的性质以及余弦定理即可求解. 【详解】①当C是钝角时，，则. 又，则， 所以c的取值范围是； ②当B是钝角时，，则由余弦定理可得：， 则，即，解得. 又，因此. 综上，c的取值范围是. 故选：C. 【变式3】（2024高三上·河南·专题练习）在中，，，，若为的中点，且，则的最大值为 ． 【答案】12 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的运算律 【分析】依题意可得，再根据数量积的运算律得到，最后由基本不等式计算可得. 【详解】由题意得， 则，故， 故， 即，当且仅当时取等号，故的最大值为． 故答案为：． 【变式4】（23-24高一下·浙江金华·阶段练习）在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，即可由余弦定理求解， （2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解，进而根据三角形三边关系即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， 化简得， ∴ ∵， ∴． （2）由余弦定理得． ∵∴， 当且仅当时等号成立． ∴， ∴， 当且仅当时等号成立． ∴, 又∵，∴． ∴周长的取值范围为． A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得,即， 解得或， 故选：C 2．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理可求的值. 【详解】由余弦定理可得，故 故选：C. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得． 故选：C． 4．（23-24高一下·山东聊城·期中）长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案 【详解】设，设其所对应的三个角分别为， 根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，三角形形状为钝角三角形. 故选：C 5．（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, ，即， 故选：D 6．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）在中，，且有，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、向量的线性运算的几何应用 【分析】先由余弦定理求出，可得为直角三角形，由可得为的中点，进而由斜边上的中线等于斜边一半可得的长. 【详解】在中，由余弦定理可得， 则， 即，解得. 则由即，可得， 又，可知是的中点， 故即为斜边上的中线，则. 故选：D. 7．（23-24高一下·山东临沂·期中）的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示，再由余弦定理即可求得. 【详解】由可得，即可得， 所以， 因此，又， 所以. 故选：A 8．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”．可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的长为（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】设，利用已知条件得到各边的长度和的大小，代入余弦定理求解即可. 【详解】由题可知在中，，则， 不妨设，由知，则， 又因为与全等，所以， 由余弦定理可知， 解得，而，所以，所以， 故选：A 二、多选题 9．（23-24高一下·河南·阶段练习）在中，，，则边的长可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理解三角形即可求得结果. 【详解】，， 由余弦定理得：， 即，解得：或；经检验，均满足题意. 故选：BD. 10．（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】AD 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AD 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，则角 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】借助余弦定理计算即可得解. 【详解】由余弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 12．（24-25高二上·山西·开学考试）设的三个内角的对边分别为，已知，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理结合条件建立方程解方程即可. 【详解】由余弦定理知， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，，． 【答案】，， 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理以及三角形内角和即可求解. 【详解】由余弦定理得． ，， ， ，． ， ，，． 14．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是，求三角形的另一边的长； （2）在中，已知，，，解这个三角形． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理即可求解， （2）根据余弦定理可得或，即可根据等腰或者直角三角形的性质求解. 【详解】（1）设，，， 由余弦定理得，， 解得， 所以三角形的另一边长是． （2）由余弦定理， 得， 即， 解得或． 当时，，； 当时，，所以该三角形为直角三角形， 且，． B能力提升 1．（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）如图，在四边形中，，为线段中点，，则（    ） A． B．15 C．18 D．9 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、向量的线性运算的几何应用 【分析】在中，由余弦定理求出长，由勾股定理可得直角三形，由求出长，再利用数量积定义即可求. 【详解】在中，已知， 由余弦定理可得 ，则. 由，可得. 故在中，为线段中点，则， 又，则， 且. 故. 故选：D. 2．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知空间向量，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、向量夹角的计算 【分析】设，在中由余弦定理求解. 【详解】空间向量，，，， 则三向量可能构成三角形的三边. 如图，设，则中，， . 故选：D 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知结合余弦定理得，代入结合基本不等式得取得最小值的取等条件为，从而，进而求出. 【详解】由及余弦定理得：，整理得， 则，当且仅当，即时取等号， 此时，，则， 故答案为： 4．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2)或 【知识点】余弦定理解三角形、用向量解决线段的长度问题、用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】(1)变形后利用余弦定理可求； (2)先将代入可得，再将代入得，联立方程组解得，由此将向量用表示，求解向量的模可得. 【详解】（1）由得， 则由余弦定理得， ，. （2）由，解得①， ，，则②， 联立①②可得，，或. ，， 则，且， 所以， 当时，，则长为； 当时，，则长为. 综上所述，的长为或. C综合素养 1．（23-24高一下·贵州·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、条件等式求最值 【分析】（1）过作于，结合题意即可求解； （2）（i）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ii）设，得出，由勾股定理得出，根据基本不等式求解范围即可． 【详解】（1）因为为等边三角形，三个内角均小于，故费马点在三角形内，满足，且，如图：    过作于，则，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． （2）（i）因为，由正弦定理，且， 所以得， 所以的三个角都小于， 则由费马点定义可知，， 设，， 由得：， 整理得， 则 ． （ii）由（i）知，所以点在内部，且，    设， 所以， 由余弦定理得，， ， ， 由勾股定理得，，即， 所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 设，则，解得或（舍去）， 由， 故，最小值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$