第07讲 6.3.2～6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示（含加减、数乘）（知识清单+11类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第07讲 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6．3．3平面向量加、减运算的坐标表示 6．3．4平面向量数乘运算的坐标表示 课程标准 学习目标 ①借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 ②掌握两个向量加、减运算的坐标表示。 ③掌握平面向量数乘运算的坐标表示。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 ⑤能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。 1.在理解的基础上，灵活掌握两个向量加、减运算的坐标表示，加强数学抽象能力的培养； 2.熟练运用掌握向量的运算性质，提升对平面向量共线的坐标表示的理解与掌握，提升数学核心素养； 3.会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线的判断.； 知识点01：平面向量的正交分解 （1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. （2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便. 知识点02：平面向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底， 对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应 ②两向量相等时，坐标一样 ③，， ④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. （2）点的坐标与向量的坐标的关系 区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号 ②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量. 联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点03：平面向量的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 坐标表示：，则： ； 【即学即练2】（2024高二上·新疆）若向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量线性运算得坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. （2）任一向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ，，则. （3）向量数乘的坐标表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 坐标表示:,则. 【即学即练3】（23-24高一下·北京东城·期中）若且，则P点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据题意向量的坐标，从而可得点P点的坐标. 【详解】因为且， 所以， 所以点的坐标为. 故答案为： 知识点04：平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得； 用坐标表示,可写为,即： 消去得到：. 这就是说,向量()共线的充要条件是. 【即学即练4】（24-25高三上·天津·阶段练习）设向量，，且与共线，则 ． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】先由两向量共线列方程求出的值即可. 【详解】因为，且与共线， 所以，解得. 故答案为： 题型01平面向量的正交分解及坐标表示 【典例1】（23-24高一下·全国·课后作业）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量、用坐标表示平面向量 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 因此向量在基下的坐标为. 故选：D. 【典例2】（23-24高一下·全国·课后作业）已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标． 【答案】；；；. 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据给定条件求出正各顶点坐标，再利用坐标表示向量即可得解. 【详解】由所给图形，正的边长为2，则顶点，线段中点， 所以，，，． 【变式1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知点，，，若向量，则点D的坐标为 ． 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算及向量相等求解. 【详解】因为，，， 所以， 设，则， 所以，即， 所以, 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·江苏泰州·期中）向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ． 【答案】. 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】利用平面向量基本定理将分别按照和为基底展开，对照系数列出方程组求解即得. 【详解】依题意， ①， 选择平面的基底为时，不妨设，则 ②， 将① 式与②式对照即得：，解得 即向量在基底下的坐标为. 故答案为：. 题型02 平面向量的坐标运算 【典例1】（23-24高一下·天津红桥·期中）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，，所以. 故选：C. 【典例2】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知向量，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算计算即可. 【详解】解：∵向量， ∴, 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·北京东城·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】直接根据平面向量的坐标运算求解. 【详解】依题意得，. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）若向量，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算即可. 【详解】. 故选：A. 题型03 由向量线性运算结果求参数 【典例1】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、向量坐标的线性运算解决几何问题 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 【典例2】（23-24高一下·安徽安庆·期中）如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与夹角为α，且，与的夹角为45°．若，求的值 ． 【答案】/ 【知识点】由向量线性运算结果求参数、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据向量的夹角和45°结合三角函数的概念表示出点A，B，C的坐标，即向量，，的坐标，然后把向量的坐标代入即可求出的值． 【详解】以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 由知为锐角，则，， 所以， ， ∴点B，C的坐标分别为，， ∴，， 又， ∴， ∴，解得， ∴． 故答案为： 【变式1】（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】由向量线性运算结果求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【详解】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设. (1)求； (2)求满足的实数m，n的值． 【答案】(1)(6，－42) (2) 【知识点】由向量线性运算结果求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先求出向量. （1）直接进行线性运算； （2）列方程，即可解得. 【详解】（1）因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 所以==(5，－5)，==(－6，－3)，==(1，8)． =3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)=(6，－42)． （2）因为=(－6m＋n，－3m＋8n)， 所以解得 【变式3】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）设是平面直角坐标系内的四点，已知点. (1)若，求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由向量线性运算结果求参数、用坐标表示平面向量 【分析】（1）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （2）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （3）由坐标对应相等得到的值. 【详解】（1）设，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； （2）设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； （3）， 所以， 因为，所以，解得， 所以. 题型04 向量坐标运算解决几何问题 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，试问： （1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？ （2）四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 【答案】（1），，；（2）不能，理由见解析. 【知识点】向量坐标的线性运算解决几何问题 【分析】（1）根据平面向量坐标运算求解，再根据坐标轴与象限的性质列式求解即可； （2）若四边形OABP为平行四边形，则，再根据坐标运算判断解的情况即可 【详解】(1)∵， ∴ 若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得； 若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得； 若点P在第三象限，则解得 (2)若四边形OABP为平行四边形，则 ∴ ∵该方程组无解， ∴四边形OABP不能成为平行四边形. 【典例2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，. （1）求点，点的坐标； （2）求四边形的面积. 【答案】（1）（2） 【知识点】向量坐标的线性运算解决几何问题、向量在几何中的其他应用、利用坐标求向量的模 【分析】（1）设，根据题中条件，得到，，再由向量的坐标表示，根据，即可求出点的坐标； （2）先用向量的方法，证明四边形为等腰梯形；连接，延长交轴于点， 得到，均为等边三角形，进而可求出四边形面积. 【详解】（1）在平面直角坐标系中，，所以， 又，设， 则，， 所以点； 又，所以， 即点； （2）由（1）可得，，， 所以，即； 又， 所以四边形为等腰梯形； 连接，延长交轴于点，则，均为等边三角形. . 【点睛】本题主要考查由向量的坐标求点的坐标，以及求四边形的面积，熟记平面向量的线性运算，以及向量模的坐标表示即可，属于常考题型. 【变式1】（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】向量坐标的线性运算解决几何问题 【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果. 【详解】设点的坐标为， 由于平行四边形的四个顶点为， 所以可能有以下三种情形： 当时，即，解得，即的坐标为； 当时，即，解得，即的坐标为； 当，即，解得，即的坐标为； 故选：ABC. 【变式2】（23-24高一·浙江·期末）已知点.若， （1）当点在第一、三象限角平分线上时，求的值； （2）当点为一平行四边形的四个顶点时，求的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、由向量线性运算结果求参数、向量坐标的线性运算解决几何问题 【解析】（1）由于点在第一、三象限的角平分线上，可设，利用向量的坐标运算，和向量相等即可得出； （2）由可得，可推出平行四边形为四边形，则有，则可求. 【详解】解：（1）∵点在第一、三象限的角平分线上，∴可设. ， . ∵， ， ，解得； （2），， 则， 所以当点为一平行四边形的四个顶点时，这个四边形必为平行四边形， ， . 【点睛】本题考查了向量的线性运算、向量共线基本定理，属于基础题. 题型05 线段的定比分点 【典例1】（多选）（23-24高一下·江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】线段的定比分点 【分析】先设，根据题中条件，得到或，分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以， 设，则， 又P是线段的三等分点， 所以或， 即或，解得或， 即点P的坐标是或. 故选：AD. 【典例2】（23-24高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】线段的定比分点 【分析】（1）根据中点坐标公式进行求解即可； （2）根据平面共线向量的性质进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为A（－2，1），B（1，3）， 所以，即； （2）设， 当时，有； 当时，有. 【变式1】（23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示、线段的定比分点 【分析】由题意转化为，再根据坐标表示向量，即可求解. 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·湖北·期中）已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ． 【答案】/ 【知识点】线段的定比分点 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为P是线段靠近的一个四等分点， 所以，设， 则有， 故答案为： 题型06 由向量的坐标求模 【典例1】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可. 【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为轴， 则，，所以， 则. 故选：. 【典例2】（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】利用平面向量的坐标运算求得，进而求模. 【详解】, 故选：A. 【典例3】（23-24高三上·北京西城·期中）边长为1的正方形ABCD中，设，，，则 ． 【答案】2 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出模长即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示； 在正方形ABCD中，，，， 则， ∴． 故答案为：2． 【变式1】（23-24高一下·江西·期中）如图，在梯形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】建系后写出点的坐标，再求出向量坐标，最后应用向量模长公式求解即可. 【详解】 如图建系可得, , ,. . 故选:D. 【变式2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知向量，且，则 . 【答案】 【知识点】利用坐标求向量的模 【分析】根据平面垂直向量的坐标运算求出，利用平面向量模的运算公式，即可求出结果. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 即. 所以， 所以. 故答案为：. 【变式3】（2024高一下·上海·专题练习）已知，则 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】应用向量线性运算的坐标表示求的对应坐标，进而求模即可. 【详解】由题设，， ∴. 故答案为：. 题型07 由向量坐标线性运算解决最值和范围问题 【典例1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 . 【答案】4 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出，求出三个向量的坐标，用P的坐标表，则，根据直线AP:与有交点,求出范围． 【详解】解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系： 所以，，，，所以，， 因为圆与直线相切，而，圆心， 所以半径，所以圆：， 设,则，， 又 所以，则，所以 所以表示坐标原点A与点P两点之间连线的斜率的2倍， 因为动点在圆上移动，所以直线AP:与有交点， 则圆心到的距离为 解得:，则 所以，则最大值是4. 故答案为：4． 【典例2】（23-24高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【答案】 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】设，根据得出，最后由正弦函数的性质得出的取值范围 【详解】设， 则 因为，所以 即，解得， 所以 因为，所以 即 【变式1】（23-24高一下·江西景德镇·期中）如图，在四边形ABCD中，，M、N分别为边CB、CD的中点，点E为MN边上一点，且，则xy的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨设，且，根据题意，由，求得，再由线段的方程，将点代入线段的方程，得到，进而求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】以的中点为坐标原点，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设， 因为，可得为等边三角形， 又因为，可得，且，则轴， 则，可得， 设，则， 因为，可得， 则，即， 即， 又由为的中点，可得， 因为，所以线段的方程为，其中， 将点代入线段的方程，可得， 即，整理得，即， 因为点在线段上，可得，即， 又由，其中， 当时，取得最大值，最大值为； 当或时，取得最小值，最小值为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】建立坐标系，设，然后利用坐标运算以及辅助角公式变形，通过三角函数的性质求解范围. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型08 平面向量共线的判定 【典例1】（2024高二·广西·学业考试）已知向量，则下列坐标表示的向量与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由坐标判断向量是否共线 【分析】利用共线向量的坐标表示，逐项验证即可判断作答. 【详解】对于A，因，则向量与不共线，A不是； 对于B，因，则向量与不共线，B不是； 对于C，因，则向量与不共线，C不是； 对于D，因，则向量与不共线，D是. 故选：D 【典例2】（23-24高一下·四川自贡·期中）（1）已知向量，，若，求k的值； （2）已知，判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反? 【答案】（1）；（2）共线，相同. 【知识点】由坐标判断向量是否共线、由向量共线（平行）求参数、用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）计算出，由平行关系得到方程，求出k的值； （2）计算出，从而得到，得到答案. 【详解】（1）， ， 因为，所以，解得. （2）因为， ， 因为，所以，所以与共线. 又，所以与的方向相同. 【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）已知向量，，，中，相互平行的向量是 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标判断向量是否共线 【分析】利用向量共线的坐标表示即得. 【详解】∵向量，， ∴， ∴， 又， ∴，所以与不共线， 又 ∴， ∴， 故答案为： 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）已知点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 【答案】向量与平行，直线AB与CD平行 【知识点】由坐标判断向量是否共线、由坐标解决三点共线问题、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】求出的坐标，利用共线向量的坐标表示即可判断，然后计算坐标，判断点A，B，C是否共线得解. 【详解】因点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，则=(2，4)， =(1，2)， 显然有2×2-1×4=0，于是得∥， 因= (2，6)， 而=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，则与不平行，即点A，B，C不共线，因此，AB与CD不重合， 所以直线AB与CD平行. 题型09 由向量共线求参数 【典例1】（24-25高二上·北京延庆·阶段练习）已知向量，且与方向相反，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】相反向量是共线向量，根据共线向量的概念求解即可. 【详解】由题可知与是共线向量且方向相反， 所以,且, 所以，解得(舍去) 故选：D. 【典例2】（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）已知向量，若与平行，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线的坐标表示列方程计算即可； 【详解】因为与平行， 所以， 所以实数的值为， 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知向量，.若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由平行向量的坐标运算求解即可. 【详解】若，则， 解得：. 故选：D. 【变式2】（24-25高三上·上海·开学考试）已知向量，，若，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据共线向量的坐标计算公式计算即得. 【详解】由，可得，， 因，则，解得，. 故答案为：. 题型10由坐标解决三点共线问题 【典例1】（24-25高二上·全国·课堂例题）如果，，三点在同一条直线上，试确定常数的值． 【答案】或． 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】三点在同一条直线上，所以，然后由向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，，所以，， 由于点在同一条直线上，所以， 所以， 即， 解得，． 的值是或． 【典例2】（23-24高一下·上海·期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【答案】或 【知识点】由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，, 因为，，三点共线， 所以平行， 所以，即， 将代入中，得或. 【变式1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在平面直角坐标系中，，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题、用坐标表示平面向量 【分析】求A，B，C三点不共线的条件即可. 【详解】A，B，C三点能构成三角形，则与不共线， ，若与共线，则有，解得， 若A，B，C三点能构成三角形，即实数m的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 题型11由坐标解决线段平行和长度问题 【典例1】（2024·广东佛山·模拟预测）梯形中，，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由坐标解决线段平行和长度问题 【分析】由题意可知，代入求解即可. 【详解】在梯形中，，所以， 所以. 故选：C 【典例2】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可. 【详解】易知 ,故 ，当时，最小， 此时由二次函数性质得，故， 故的最小值为，故A正确. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】求出向量的坐标，再求模长. 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量的，，那么（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】利用坐标求向量的模 【分析】可求出向量的坐标，然后即可得出的值． 【详解】解：， ． 故选：C． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由向量坐标的概念即可求解. 【详解】. 故选：B 2．（2024·广西·模拟预测）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由向量的坐标表示即可得解. 【详解】由题意得， ． 故选：A． 3．（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】由向量线性运算结果求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 4．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知平面向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量的线性运算的坐标公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 5．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图所示，（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量的混合运算 【分析】结合图形，由平面向量正交分解和向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，，， 故. 故选：A． 6．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】假设的坐标，进而根据条件进行运算即可求解. 【详解】因为在线段的延长线上，且 所以 因为，假设 可得 由此可得，解得 所以点 故选：D. 7．（23-24高一下·山东·阶段练习）已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】先求出的坐标，再根据向量共线的坐标形式可求参数的值. 【详解】，因为三点共线， 故共线，故，故， 故选：C. 8．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知平面向量．若向量与共线，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】先由向量坐标的运算表示出与，再由向量共线的条件求出结果即可； 【详解】，， 因为向量与共线， 所以， 解得， 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一下·河北邢台·期末）已知点，，，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】相等向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据题意分平行四边形为，和三种情况讨论，结合向量相等的坐标表示求解即可. 【详解】设点坐标为， 当平行四边形为时，，则，解得， 当平行四边形为时，，则，解得， 当平行四边形为时，，则，解得， 综上点D的坐标可以是，，， 故选：ACD 10．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知，，点P在直线AB上，且，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设，分和两种情况，得到方程，求出答案. 【详解】设，因为，，且点P在直线AB上， 故由可得以下两种情况： ①，此时有，解得，． ②，此时有，解得，， 综上所述，点P的坐标为或． 故选：AB． 三、填空题 11．（24-25高一下·全国·随堂练习）设为平面内的一组标准正交基，已知，，则向量在基下的坐标为 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量的加法运算即可求解． 【详解】， 向量在基下的坐标为， 故答案为：． 12．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知，，若，则 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求解. 【详解】，，则，， 由，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P为直线AB上一点，且．求点的坐标． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设，借助向量的坐标运算求解即可得. 【详解】设，则，， 由，则有，解得， 故的坐标为. 14．（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，且，，．求点、、的坐标． 【答案】，， 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】设，因为、，则， ， 又，所以， 即，所以，即； 又，则， 设，则， 所以，则，所以，即； 又，所以， 设，则， 所以，所以，所以. B能力提升 15．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2)，，. (3)答案见解析 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量线性运算的坐标表示、用基底表示向量 【分析】（1）根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得； （2）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. （3）由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解. 【详解】（1）依题意，， ， ； （2）    以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，，， 由，可得，又P是BC中点，可得， 又，因为A、C、D三点共线，所以，解得，所以， ∴，则. （3）由已知， 因P是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有， ， ，在上递增， 所以， 故的取值范围是. 16．（22-23高一下·天津和平·阶段练习）已知三点A（2，3），B（5，4），，点P满足 (1)当λ为何值时，点P在函数的图象上？ (2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围. (3)若Q在直线BC上且，求点Q的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】向量模的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、由向量线性运算结果求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据点P在函数的图象上可设，然后表示出的坐标，代入列方程求解即可； （2）设，表示出的坐标，代入，根据列不等式组求解即可； （3）设，由Q在直线BC上可得，先利用坐标表示平行关系，再利用坐标表示，解方程组可得点Q的坐标. 【详解】（1）点P在函数的图象上，可设， 则， ， 解得； （2）设，则， 点P在第三象限， ； （3）设，由Q在直线BC上可得， 又，， ①， ， ②， 由①②可得或， 点Q的坐标为或. 17．（24-25高二上·北京延庆·阶段练习）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为． (1)写出函数的“伴随向量”为，并求； (2)已知的“伴随函数”为的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为． ①若，求的取值范围； ②求证：向量的充要条件是． 【答案】(1)， (2)①；②证明见解析； 【知识点】辅助角公式、向量的模、相反向量 【分析】（1）根据题意化简计算即可； （2）①因为，不妨设，再根据题意代入计算化简即可； ②先根据，判断必要性；再根据判断充分性即可. 【详解】（1）由题可知 故，所以 （2）①设 由题可知， 所以 故 ②先判断必要性，由题可知， 设 再判断充分性， 由 设 故 故 因为， 所以 所以有 因为，所以 所以 因为 得 证得向量的充要条件是 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6．3．3平面向量加、减运算的坐标表示 6．3．4平面向量数乘运算的坐标表示 课程标准 学习目标 ①借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 ②掌握两个向量加、减运算的坐标表示。 ③掌握平面向量数乘运算的坐标表示。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 ⑤能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。 1.在理解的基础上，灵活掌握两个向量加、减运算的坐标表示，加强数学抽象能力的培养； 2.熟练运用掌握向量的运算性质，提升对平面向量共线的坐标表示的理解与掌握，提升数学核心素养； 3.会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线的判断.； 知识点01：平面向量的正交分解 （1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. （2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便. 知识点02：平面向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底， 对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应 ②两向量相等时，坐标一样 ③，， ④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． （2）点的坐标与向量的坐标的关系 区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号 ②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量. 联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点03：平面向量的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 坐标表示：，则： ； 【即学即练2】（2024高二上·新疆）若向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． （2）任一向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ，，则. （3）向量数乘的坐标表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 坐标表示:,则. 【即学即练3】（23-24高一下·北京东城·期中）若且，则P点的坐标为 ． 知识点04：平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得； 用坐标表示,可写为,即： 消去得到：. 这就是说,向量()共线的充要条件是. 【即学即练4】（24-25高三上·天津·阶段练习）设向量，，且与共线，则 ． 题型01平面向量的正交分解及坐标表示 【典例1】（23-24高一下·全国·课后作业）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·全国·课后作业）已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标． 【变式1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知点，，，若向量，则点D的坐标为 ． 【变式2】（23-24高一下·江苏泰州·期中）向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ． 题型02 平面向量的坐标运算 【典例1】（23-24高一下·天津红桥·期中）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知向量，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·北京东城·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）若向量，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型03 由向量线性运算结果求参数 【典例1】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【典例2】（23-24高一下·安徽安庆·期中）如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与夹角为α，且，与的夹角为45°．若，求的值 ． 【变式1】（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设. (1)求； (2)求满足的实数m，n的值． 【变式3】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）设是平面直角坐标系内的四点，已知点. (1)若，求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)若，求的值. 题型04 向量坐标运算解决几何问题 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，试问： （1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？ （2）四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 【典例2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，. （1）求点，点的坐标； （2）求四边形的面积. 【变式1】（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一·浙江·期末）已知点.若， （1）当点在第一、三象限角平分线上时，求的值； （2）当点为一平行四边形的四个顶点时，求的值. 题型05 线段的定比分点 【典例1】（多选）（23-24高一下·江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【变式1】（23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【变式2】（23-24高一下·湖北·期中）已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ． 题型06 由向量的坐标求模 【典例1】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【典例2】（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B．2 C． D．5 【典例3】（23-24高三上·北京西城·期中）边长为1的正方形ABCD中，设，，，则 ． 【变式1】（23-24高一下·江西·期中）如图，在梯形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．3 D． 【变式2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知向量，且，则 . 【变式3】（2024高一下·上海·专题练习）已知，则 . 题型07 由向量坐标线性运算解决最值和范围问题 【典例1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 . 【典例2】（23-24高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【变式1】（23-24高一下·江西景德镇·期中）如图，在四边形ABCD中，，M、N分别为边CB、CD的中点，点E为MN边上一点，且，则xy的取值范围是 ． 【变式2】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 题型08 平面向量共线的判定 【典例1】（2024高二·广西·学业考试）已知向量，则下列坐标表示的向量与共线的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·四川自贡·期中）（1）已知向量，，若，求k的值； （2）已知，判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反? 【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）已知向量，，，中，相互平行的向量是 ． 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）已知点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 题型09 由向量共线求参数 【典例1】（24-25高二上·北京延庆·阶段练习）已知向量，且与方向相反，则（   ） A． B．0 C． D． 【典例2】（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）已知向量，若与平行，则实数的值为 ． 【变式1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知向量，.若，则（   ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25高三上·上海·开学考试）已知向量，，若，则 . 题型10由坐标解决三点共线问题 【典例1】（24-25高二上·全国·课堂例题）如果，，三点在同一条直线上，试确定常数的值． 【典例2】（23-24高一下·上海·期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【变式1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在平面直角坐标系中，，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围为 ． 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 题型11由坐标解决线段平行和长度问题 【典例1】（2024·广东佛山·模拟预测）梯形中，，已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【变式2】（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量的，，那么（    ） A． B．2 C． D． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·模拟预测）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知平面向量满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图所示，（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·山东·阶段练习）已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知平面向量．若向量与共线，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·河北邢台·期末）已知点，，，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知，，点P在直线AB上，且，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一下·全国·随堂练习）设为平面内的一组标准正交基，已知，，则向量在基下的坐标为 ． 12．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知，，若，则 . 四、解答题 13．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P为直线AB上一点，且．求点的坐标． 14．（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，且，，．求点、、的坐标． B能力提升 15．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 16．（22-23高一下·天津和平·阶段练习）已知三点A（2，3），B（5，4），，点P满足 (1)当λ为何值时，点P在函数的图象上？ (2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围. (3)若Q在直线BC上且，求点Q的坐标. 17．（24-25高二上·北京延庆·阶段练习）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为． (1)写出函数的“伴随向量”为，并求； (2)已知的“伴随函数”为的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为． ①若，求的取值范围； ②求证：向量的充要条件是． / 学科网（北京）股份有限公司 $$