第06讲 6.3.1平面向量基本定理（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第06讲 6.3.1平面向量基本定理 课程标准 学习目标 ①理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义。 ②掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量。 ③会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义； 2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量； 3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题； 知识点01：平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【即学即练1】(23-24高三上·北京房山·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． （2）对平面向量基本定理的理解 (1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示. (2)对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的. (3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且. (4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一. 知识点02：平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 题型01 基底的概念及辨析 【典例1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中不能作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典例3】（多选）（23-24高一下·广东河源·阶段练习）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】（24-25高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（23-24高一下·湖北·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 题型02 用基底表示向量 【典例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-25高一下·天津南开·期末）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高一下·河北·期中）在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型03用平面向量基本定理求参数 【典例1】（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D．1 【典例2】（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知在梯形中，，，，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例3】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）在等腰梯形中，已知，，是的中点，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式1】（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【变式2】（23-24高一下·安徽·期中）在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上一点，且，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·河南·阶段练习）平行四边形ABCD中，E为CD中点，AC与BD交于O，记，，，则（    ） A．1 B．-1 C． D．-2 题型04 平面向量基本定理的综合应用 【典例1】（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 【典例3】（23-24高一下·天津·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点； (1)当M是线段CE的中点时， ①若，求的值； ②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数； (2)当时，求的最小值. 【变式1】（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【变式2】（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式3】（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型05 运用平面向量基本定理解决证明问题 【典例1】（23-24高一上·北京·期末）在中，点分别在边和边上，且交于点，设． (1)用表示和； (2)若，用表示，并求实数的值； (3)在边上有点，使得，求证：三点共线． 【典例2】（23-24高一下·湖南·期中）在中，为上靠近点的三等分点，设． (1)用分别表示； (2)证明：三点共线． 【典例3】（23-24高一下·重庆九龙坡·阶段练习）已知平面向量不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量，都存在唯一的有序实数对，使得. (1)证明：三点共线的充要条件是； (2)如图，的重心是三条中线的交点，证明：重心为中线的三等分点. 【变式1】（23-24高一下·海南海口·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点.记，. (1)请用，表示向量，； (2)若，设，的夹角为，若，求证：. 【变式2】（23-24高一下·河南新乡·期中）如图所示，在中，． (1)用表示； (2)若，证明：三点共线． 【变式3】（23-24高一下·四川·阶段练习）如图，在边长为1的菱形中，，E是线段上一点，且满足，设， (1)用表示. (2)在线段上是否存在一点满足?若存在，确定点的位置，并求；若不存在，请说明理由. A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·广东珠海·一模）在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B． C．0 D．2 3．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）在中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南昭通·期末）在中，，E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖南张家界·期末）在中，，为线段的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，．则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏南京·期末）向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、多选题 9．（23-24高二下·浙江·期末）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（23-24高一下·河北·期中）如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2． 三、填空题 11．（24-25高一·上海·随堂练习）在三角形ABC中，D为AB边上靠近点A的三等分点，E为CD的中点，设，，以，为一个基底，若，则实数λ的值为 ． 12．（23-24高一下·北京朝阳·期末）在中，点D，E满足，．若，则 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 14．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值. B能力提升 15．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. (1)当时，用，表示，； (2)若，求实数的值； (3)求的取值范围. 16．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，为中点，，过点作直线分别交直线于点，若. (1)若，求实数的值； (2)求的取值范围及当时，的最小值； C综合素养 17．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）. (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 6.3.1平面向量基本定理 课程标准 学习目标 ①理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义。 ②掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量。 ③会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义； 2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量； 3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题； 知识点01：平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【即学即练1】(23-24高三上·北京房山·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据向量的线性表示可得，即可求解. 【详解】由图可知，所以， 故选：C （2）对平面向量基本定理的理解 (1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示. (2)对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的. (3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且. (4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一. 知识点02：平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 题型01 基底的概念及辨析 【典例1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析、由向量共线（平行）求参数 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 【典例2】（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中不能作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABC 【知识点】基底的概念及辨析、用基底表示向量 【分析】根据向量是否共线，即可根据基底的定义求解. 【详解】对于A：，所以和共线，故和不能作为基底． 对于B：与共线，故与不能作为基底． 对于C：，所以与共线，故与不能作为基底． 对D：，所以与不共线，故和可以作为基底． 故选：ABC． 【典例3】（多选）（23-24高一下·广东河源·阶段练习）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】通过判断向量是否共线即可得解. 【详解】对于A，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确； 对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误； 对于C，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确； 对于D，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确 故选：ACD. 【变式1】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，所以共线，不能作为基底. B选项，，所以共线，不能作为基底. C选项，，所以共线，不能作为基底. D选项，易知不共线，可以作为基底. 故选：D 【变式2】（24-25高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 【变式3】（多选）（23-24高一下·湖北·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】基底的概念及辨析、平面向量基本定理的应用 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，所以与共线，不能作为平面向量的基底，故A正确； 对于B选项，因为，所以与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确； 对于C选项，因为，所以与共线，不能作为平面向量的基底，故C正确； 对于D选项， 若存在实数使得，则，无解，所以与不共线，可以作为平面的基底，故D错误. 故选：ABC. 题型02 用基底表示向量 【典例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】以为基底，根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】由题意，如图，    ， 故选：A 【典例2】（23-25高一下·天津南开·期末）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据平面向量的线性表示可得. 【详解】因是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，易知， 由题设，， 由题意， 故选：D 【典例3】（23-24高一下·河北·期中）在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据几何关系，转化向量，用基底表示. 【详解】因为， 由已知可得，，所以， 所以． 故选：A 【变式1】（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C. 【变式2】（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量 【分析】根据图形，利用向量的几何运算得到，即可求解. 【详解】因为，又，所以， 又为腰的中点，所以， 故选：A. 【变式3】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：CD 题型03用平面向量基本定理求参数 【典例1】（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、向量加法的法则、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】利用平面向量的线性运算求出即可求出. 【详解】由题意如图所示： 因为 ， 所以， 所以， 故选：B. 【典例2】（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知在梯形中，，，，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【分析】证明可得，然后根据平面向量线性运算可得. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 所以，. 故选：A 【典例3】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）在等腰梯形中，已知，，是的中点，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数、平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、即可. 【详解】根据题意，，，是的中点，，画出梯形如下图所示： 所以 ， 则，又，、不共线， 所以，所以. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 【变式2】（23-24高一下·安徽·期中）在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上一点，且，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数、向量加法的法则 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算法则，即可求解. 【详解】由D是边BC的中点，， 则， ，则，，所以. 故选：C 【变式3】（23-24高二下·河南·阶段练习）平行四边形ABCD中，E为CD中点，AC与BD交于O，记，，，则（    ） A．1 B．-1 C． D．-2 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】本题根据平面向量加减与数乘混和运算计算即可得出结果. 【详解】由题意得， ， 所以，则， 所以. 故选：D. . 题型04 平面向量基本定理的综合应用 【典例1】（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据已知条件，结合向量的基本定理，可得，,即可由平面向量的数量积运算，即可求解． 【详解】，则， 设，则，， 则， 故，解得，， 故, ，，， 则 ． 故选：D． 【典例2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 【答案】 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、平面向量基本定理的应用、向量加法法则的几何应用 【分析】过作，交于，作，交的延长线于，则，由，可得则点为中点，点在上，结合图象可求的范围. 【详解】如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：， 又因为，，则点为中点， 又是的中点，所以，则点在上， 由图形看出，当与重合时：，此时取最小值， 当与重合时：，此时取最大值， 所以的范围是 故答案为： 【典例3】（23-24高一下·天津·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点； (1)当M是线段CE的中点时， ①若，求的值； ②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)①；②证明见解析，常数为； (2). 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）①根据给定条件，利用平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求出；②利用向量的线性运算及数量积的运算律计算即得. （2）由已知结合数量积求出，进而求出，设，把表示为的函数，并求出最小值. 【详解】（1）①依题意，， 而不共线，则，所以. ②依题意，， 由，得，由，得，由，得， 因此， 所以为常数，该常数为. （2）依题意，，则 ，解得，则， 设，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【变式1】（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】（1）利用向量的线性运算可得答案； （2）利用向量的线性运算、数量积的运算可得答案； （3），， 若，，三点共线，则，求出可得答案. 【详解】（1）； （2），且，即， 所以， 又因为，所以； （3）若点为的重心，则， 又因为， 若，，三点共线，则使得， 可得，解得， 所以存在，使得，，三点共线. 【变式3】（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）以为基底表示，利用平面向量数量积公式求其夹角余弦即可； （2）利用平面向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，根据待定系数法计算即可. 【详解】（1）以为基底，设， 则 ， 所以， 同理， ， 则； （2）因为三点共线，不妨设， 同理有三点共线，不妨设， 则有. 题型05 运用平面向量基本定理解决证明问题 【典例1】（23-24高一上·北京·期末）在中，点分别在边和边上，且交于点，设． (1)用表示和； (2)若，用表示，并求实数的值； (3)在边上有点，使得，求证：三点共线． 【答案】(1)， (2)， (3)证明见解析 【知识点】用基底表示向量、由向量共线（平行）求参数、向量加法的法则 【分析】(1)根据向量加减法运算即可; (2)根据向量的量加减法表示，，对应相等求得实数的值 (3) 根据向量的量加减法表示应用向量共线且有公共点证明即可. 【详解】（1）由题意知，，所以， （2）因为，所以， 又因为， 所以； （3）证明：由，得， 所以， 所以， 因为与有公共点，所以三点共线． 【典例2】（23-24高一下·湖南·期中）在中，为上靠近点的三等分点，设． (1)用分别表示； (2)证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果； （2）利用（1）中结果，利用向量的线性运算，得到，从而得到，即可证明结果. 【详解】（1）由题知，又因为， 所以， . （2）因为， 又由（1）知，所以， 又与共起点，所以三点共线. 【典例3】（23-24高一下·重庆九龙坡·阶段练习）已知平面向量不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量，都存在唯一的有序实数对，使得. (1)证明：三点共线的充要条件是； (2)如图，的重心是三条中线的交点，证明：重心为中线的三等分点. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】充要条件的证明、平面向量共线定理的推论、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得； （2）根据向量共线定理及推论可得，，进而，即证；或利用平面几何知识即得. 【详解】（1）证明：必要性，三点共线，不妨设， 可得，， 又， 所以，得，得证； 充分性：， ，即， ，又与有公共点， 所以三点共线； 所以三点共线的充要条件是； （2）法一（向量法） 的重心是三条中线的交点， 可设，， 因为三点共线，可设， 则， 所以，解得， 所以，为的三等分点， 同理可证为的三等分点， 重心为中线的三等分点. 法二（几何法）：连接，为的中点， ， ， 所以，同理可得， 所以重心为中线的三等分点. 【变式1】（23-24高一下·海南海口·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点.记，. (1)请用，表示向量，； (2)若，设，的夹角为，若，求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】用基底表示向量、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【详解】（1），由题意得， 所以， . （2）∵，，∴． ∴， ∴． 【变式2】（23-24高一下·河南新乡·期中）如图所示，在中，． (1)用表示； (2)若，证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量 【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图形计算即可； （2）根据平面向量共线定理证明与共线，即可得证. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为，所以，所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 即与共线，因为与有公共点B，所以三点共线． 【变式3】（23-24高一下·四川·阶段练习）如图，在边长为1的菱形中，，E是线段上一点，且满足，设， (1)用表示. (2)在线段上是否存在一点满足?若存在，确定点的位置，并求；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，，． 【知识点】用基底表示向量、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解； （2）假设存在满足题意的点，设，由求得值，即存在，然后把平方，转化为数量积的运算计算出模． 【详解】（1），则， 所以； （2）假设存在满足题意的点，设， ， ， 由得 ， 解得．， ， ． A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·广东珠海·一模）在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B． C．0 D．2 【答案】D 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】根据平面向量基本定理即可根据求解. 【详解】向量不共线，且， 则有解得所以． 故选：D． 3．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）在中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据题意利用平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可. 【详解】 在中，为的中点，为的中点， 故选：B. 4．（23-24高一下·云南昭通·期末）在中，，E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】， 故选：A. 5．（23-24高二下·湖南张家界·期末）在中，，为线段的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据向量的线性运算及共线定理可得参数值，进而可得解. 【详解】 由已知，则， 又为线段的中点， 所以， 所以， 即，， 所以， 故选：C. 6．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、用基底表示向量 【分析】利用表示出，即可求解. 【详解】由图可得，，， ，，， ． 故选：C. 7．（23-24高一下·江苏南京·期末）向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的结论可以直接得到答案. 【详解】因为与不共线，且与共线，则， 即，即. 故选：C 8．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】取定平面的一个基底，利用给定条件，结合数量积的运算律计算即得. 【详解】在矩形中，点在边上，令，则， 由，解得， 于是，由点为的中点，得， 所以. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高二下·浙江·期末）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【知识点】基底的概念及辨析、平面向量共线定理证明线平行问题、向量数乘的有关计算 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合； 对于B，，故共线，所以B不符合； 故选：ACD. 10．（23-24高一下·河北·期中）如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2． 【答案】BCD 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量基本定理的应用、已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量的线性运算法则计算可判断A,B,C；利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可判断D. 【详解】对于A,B,C,设，将，代入， 得，因为E、G、C三点共线，且B、G、D三点共线， 所以，得， 即．所以A错，B，C正确； 对于D，，，， 则，因为M、G、N三点共线， 则，即， ， 当且仅当，即时取得等号．所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题 11．（24-25高一·上海·随堂练习）在三角形ABC中，D为AB边上靠近点A的三等分点，E为CD的中点，设，，以，为一个基底，若，则实数λ的值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量加法的法则 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示出来，然后对照可求出λ的值. 【详解】因为E为CD的中点，所以， 因为D为AB边上靠近点A的三等分点，则， 所以， 即， 因为，，不共线， 所以． 故答案为： 12．（23-24高一下·北京朝阳·期末）在中，点D，E满足，．若，则 ． 【答案】 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】在中，向量不共线，由，， 得，而， 因此，所以. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）由向量共线的定理计算可得； （2）由向量的线性运算和共线定理计算可得； 【详解】（1）因为向量与共线，所以设， 即， 所以， （2）设， 又因为， 由向量基本定理，得，解得 所以． 14．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、用基底表示向量 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算可得结果； （2）由向量的数量积计算，即可得结果； （3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）； （2）由于，可得，又有， 所以； （3）由于，可得，又有， 所以. 由，可得， . B能力提升 15．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. (1)当时，用，表示，； (2)若，求实数的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可. （2）将问题转化为，利用向量垂直关系求解即可； （3）由于，则，结合二次函数的最值问题求解即可. 【详解】（1）  . （2）若，则， 因为，，， 则， 所以. （3））由题可得： ， ， ∵，当时，的最大值为， 当时，最小值为， 所以. 16．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，为中点，，过点作直线分别交直线于点，若. (1)若，求实数的值； (2)求的取值范围及当时，的最小值； 【答案】(1) (2)，的最小值为. 【知识点】基本不等式求和的最小值、用基底表示向量、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）以，为基底，表示出向量，，由可求的值. （2））以，为基底，表示出向量，，可求的取值范围；根据可确定满足的条件，再由基本不等式可求的最小值. 【详解】（1）以，为基底，则，， 由， 所以. （2）因为， 所以（）， 所以. 当时，因为三点共线，可设：， 又， 由. 所以. 又三点共线，可设（）. 由（）. 所以（当且仅当且即时取“”）. 即的最小值为. C综合素养 17．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）. (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 【答案】(1)，是定值，理由见详解 (2) 【知识点】平面向量综合、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）根据题意可得，变形可得，根据三点共线，即可得的值； （2）根据题意可得，，故得的表达式，根据的范围，利用函数性质，即可得答案. 【详解】（1）已知，，所以， 所以， 因为，，则，， 因为点是的重心，所以， 因为在直线上，所以. （2）， 所以， 设，由（1）得，所以 所以 因为，，又因为，则， 因为，所以， 因为，所以当时，的最小值为：，当或时，的最大值为：，所以， 因为的对称轴为，所以在上单调递增，又因为在上也是单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的取值范围为 【点睛】本题的关键在于利用小问（1）所得的结论，结合根据三点共线确定，将双变量函数化为单变量函数，结合函数的定义域求函数的值域. / 学科网（北京）股份有限公司 $$