5.2 解一元一次方程 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

5.2 解一元一次方程 一、等式与方程 等式：用等号连接而成的式子叫等式。 方程：含未知数的等式叫方程。 二、一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a不等于0）。 一元一次方程的最简形式：ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a不等于0）。 三、等式的性质 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式。 四、解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤包括：整理方程、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（检验方程的解）。 五、特殊的一元一次方程 1、解含括号的一元一次方程：去括号，得到没有括号的方程，然后按照一般步骤求解。 2、解含分母的一元一次方程：去分母，得到没有分母的方程，然后按照一般步骤求解。 巩固课内例1:等式的基本性质 1．根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、如果，那么，故选项A中变形错误，不符合题意； B、如果，，那么，故选项B中变形错误，不符合题意； C、如果，那么，故选项C中变形正确，符合题意； D、如果，那么，故选项D中变形不正确，不符合题意， 故选：C． 2．阅读下框中解方程的过程，四个步骤中，不是依据等式的性质变形的是 ．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，依据性质2进行判断即可． 【详解】解：①去分母时，在方程两边同时乘上10，依据为：等式的性质2； ②移项时，等式两边同时减去，依据为：等式的性质1； ③合并同类项时，依据是合并同类项法则；不是等式性质； ④系数化为1时，在等式两边同时除以3，依据为：等式的性质2． 故答案为：③． 3．在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪条基本性质及是怎样变形的． (1)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (2)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (3)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ． 【答案】(1)8，等式的基本性质1，都加5 (2)－4，等式的基本性质2，都除以 (3)7，等式的基本性质1，都减 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质1即可解答； （2）根据等式的基本性质2即可解答； （3）根据等式的基本性质1即可解答． 【详解】（1）解：如果，那么， 理由：根据等式的基本性质1， 在等式两边都加5； 故答案为：8，等式的基本性质1，都加5； （2）解：如果，那么， 理由：根据等式的基本性质2， 在等式两边都除以； 故答案为：－4，等式的基本性质2，都除以； （3）解：如果，那么， 理由：根据等式的基本性质1， 在等式两边都减． 故答案为：7，等式的基本性质1，都减． 巩固课内例2:解下列方程——移项 1．由方程变形得到，这种变形叫做（   ） A．合并同类项 B．移项 C．乘法分配律 D．系数化为1 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握把含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边叫做移项成为解题的关键． 根据移项的定义即可解答． 【详解】解：由方程变形得到，这种变形叫做移项． 故选B． 2．方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．方程移项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 解得：， 故答案为：． 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程.正确掌握相关性质内容是解题的关键．特别注意移项要变号. 【详解】解：（1） 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （2） 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 巩固课内例3:解下列方程——系数化1 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．方程左右两边同乘以，即可求出解． 【详解】解：方程， 系数化为1得：． 故选：D． 2．与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查互为相反数的两数之和等于0及解一元一次方程，利用互为相反数的两数之和等于0转化成一元一次方程是解题的关键． 根据互为相反数的两个数之和为0，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案为：． 3．解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用等式的性质求解一元一次方程，熟记相关结论即可． （1）等式两边先同时加上，再同时除以即可求解； （2）等式两边同时乘以即可求解； （3）等式两边同时乘以即可求解； 【详解】（1）解：， ， （2）解：， （3）解：， 巩固课内例4:解下列方程——去括号 1．解方程，以下去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查解一元一次方程中的去括号，熟练掌握运算法则是解题关键．根据去括号法则直接计算即可得． 【详解】解：， 去括号得：， 故选：D． 2．一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故答案为：． 3．利用去括号解一元一次方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 巩固课内例5:解下列方程——去分母 1．解方程时，去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．根据等式的性质2，方程两边都乘6即可． 【详解】解：， 方程两边都乘6，得， 故选：D． 2．下面是小亮解一元一次方程的过程： 去分母，得．………第一步 去括号，得．…………第二步 移项，得．…………第三步 合并同类项，得．………第四步 方程的两边都除以，得．……第五步 老师告诉小亮解题过程错误，请你帮小亮找出在以上解题过程中从第步开始出错，错误的原因是 ，该方程正确的解为 ． 【答案】 三 移项没有变号 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键． 根据解一元一次方程的方法进行计算即可求解． 【详解】解： 等式两边同时乘以4，去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 方程的两边都除以，系数化为，得， ∴第三步开始出错，出错的原因是移项没有变号，方程正确的解为， 故答案为：①三；②移项没有变号；③ ． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．根据题意先去分母再去括号移项合并同类项即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 即：． 巩固课内例6:天平平衡问题 1．如图，从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，下面与这一事实相符的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】此题主要考查了等式的性质和应用，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，根据等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式，可得：如果，那么． 【详解】解：从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，那么． 故选：A． 2．假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是 个． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了等式的性质，根据题意推出即可得到答案． 【详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴“？”处应放“■”的个数是4个， 故答案为：4． 3．如图，天平的两个盘内分别盛有50克、45克盐，问应该从A盘内拿出多少克盐放到B盘内，才能使两盘内所盛盐的质量相等？ 【答案】A盘中拿出2.5克盐放入B盘内，才能使两盘内所盛的盐的质量相等 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是表示出调后两者所盛盐的质量，再根据调后的质量相等列出方程即可．首先设应该从盘内拿出盐放到盘内，这时内有克食盐，内有克食盐，根据调后两者所盛盐的质量相等可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设应从盘内拿出克盐到盘内，使两盘所盛盐的质量相等， 由题意，得， 解得． 答：从A盘中拿出2.5克盐放入B盘内，才能使两盘内所盛的盐的质量相等． 巩固课内例7:男女分配问题 1．七年级2班40名学生参加植树活动，共种树101棵，已知男生每人种3棵，女生每人种2棵．设女生有x人，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设女生有x人，则男生有人，根据题意列式即可． 【详解】解：设女生有x人，则男生有人， 根据题意：， 故选：C． 2．体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意，调动后B队有人，A队有人，即可列出代数式，计算可得答案； （2）根据题意，调动后B队有人，A队有人，再列出方程，解方程即得答案． 【详解】解:（1）由题意得，从A队调人到B队，则此时B队比A队多人； 故答案为：； （2）由题意得，， 解得． 故答案为：13． 3．为积极响应“文明城区”创建工作，我校七年级学生组建了一支“垃圾分类”志愿者服务队．报名时男生人数是女生人数的3倍，活动时又有3名男生加入，同时有3名女生有事离开，此时男生人数是女生人数的4倍，那么原来报名时志愿者服务队中男生、女生各有多少人？ 【答案】男生45人、女生15人． 【分析】设原来报名时志愿者服务队中女生有x人，则男生有人；再根据“男生增加3人、女生减少3人时，男生人数是女生人数的4倍”列方程求解即可． 【详解】解：设原来报名时志愿者服务队中有女生x人，则男生有人， 由题意得：， 解得， （人）． 答：原来报名时志愿者服务队中有男生45人、女生15人． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意设出未知数、表示出相关量、根据等量关系列出方程成为解答本题的关键． 类型一、一元一次方程的性质 1．在下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键；此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是整式方程，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； B、含有两个未知数，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； C、是一元一次方程，故符合题意； D、未知数的最高次数为2，故不是一元一次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 2．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值的意义，根据一元一次方程的定义可得，且，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 3．已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】4或或1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．分情况讨论，（1），，（2），，根据一元一次方程的定义求得、的值． 【详解】解：分两种情况： （1），， 当时，，此时； 当时，，此时； （2），， 解得，，； 当时，，即； 当时，由原方程，得，不符合题意． 类型二、方程的变形 1．在下列式子中变形正确的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质：等式的两边都加上或减去同一个数，结果不变，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的数，结果不变，对各项进行逐一分析即可. 【详解】解：A、∵， ∴ ，不是，故本选项不符合题意； B、∵， ∴两边都除以3得：，故本选项符合题意； C、∵， ∴两边都乘以3得：，故本选项不符合题意； D、∵， ∴两边都加得：，故本选项不符合题意； 故选B． 2．下列等式变形中，正确的有 （填写序号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． 【答案】①②⑤ 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：①若，则，正确； ②若，则，正确； ③若，则不成立，故③错误； ④若，则，错误，a也可能等于0； ⑤若，则，故，正确． 故正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 3．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）等式两边同时加上，之后等式两边同时除以即可得到答案； （2）等式两边同时加上，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案 ． 【详解】（1）， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ． 类型三、解一元一次方程——合并同类型与移项 1．若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，将代入方程得出关于的方程，即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴， 故选：C． 2．已知是方程的解，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入方程，得出关于a的一元一次方程求解即可得出a的值． 【详解】解：把代入方程， 得： 解得：， 故答案为：10． 3．解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照合并同类项、化系数为1的步骤解一元一次方程即可； （2）按照合并同类项、化系数为1的步骤解一元一次方程即可； （3）方程两边同乘以即可求解． 【详解】（1）解：合并同类项，得， 化系数为1，得； （2）解：合并同类项，得， 化系数为1，得； （3）解：化系数为1，得． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答的关键． 类型一、解一元一次方程——去括号 1．下列方程的变形，正确的是（   ） A．方程，去括号，得 B．方程，移项，得 C．方程，去分母，得 D．方程，可化为 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、方程，去括号，得，原选项变形错误，不符合题意； B、方程，移项，得，原选项变形错误，不符合题意； C、方程，去分母，得，原选项变形错误，不符合题意； D、方程，可化为，原选项变形正确，符合题意； 故选D． 2．若是方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入 得； ∴， 解得 故答案为： 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先去括号，再移项最后合并同类项即可得解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 类型二、解一元一次方程——去分母 1．方程，可以化成（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．将分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：分子分母同时乘以10得：即． 故选：A． 2．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．    ……第①步 方程两边同时乘以，去分母，得： ．      ……第②步 去括号，得：    ．  ……第③步 移项，得： ．   ……第④步 合并同类项，得： ．           ……第⑤步 系数化，得：     ．          ……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 （1）第②步的依据是 ； （2）第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 ． 【答案】 等式的性质2 ③ 【分析】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1： （1）根据第②步变形即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1看过程中变形是否计算错误即可得到答案； 【详解】解：（1）第②步，两边同时乘了， ∴理论依据是等式的性质2， 故答案为：等式的性质2； （2）由题意可得， 第③步开始错误， ∵， ∴正确式子是： 故答案为：③，． 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法步骤，熟记去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解是解决问题的关键． （1）根据一元一次方程的解法步骤，去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可得到答案； （2）根据一元一次方程的解法步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 类型一、两个方程的解相同 1．若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程解，解一元一次方程等知识点，先求方程的解，再代入求得k的值即可，熟练掌握一元一次方程解，解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 解得， 故选：C． 2．关于的方程与方程的解相同，则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据求出x的值，再将x的值代入中，求出a的值．本题考查解一元一次程，以及根据一元一次方程的解求参数，能够熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键． 【详解】解：解方程， 得． 将代入中得 解得． 答案： 3．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】(1)3 (2)，过程见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值； （2）根据两个方程同解可得n的值． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得：； （2）解：当时，关于的方程为：， 解得：； 因为两个方程解相同，所以将代入， 得， 解方程，得． 类型二、两个方程的解互为相反数 1．关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 【答案】A 【分析】本题考查根据方程的解的关系求参数的值，熟练掌握方程的解得定义是解题关键．求出的解，进而得到的解，再代入到中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得：． 故选：A． 2．若代数式与的值互为相反数，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和为0得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及方程的解的应用，先解出的解，再化简，得出，则，再把代入，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 ∵ 解得， ∵方程的解与关于的方程的解互为相反数， ∴把代入 得 类型三、一元一次方程中的整数解 1．已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（    ） A．8 B．4 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，偶数的概念等知识，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，解题的关键是分或两种情况进行讨论． 【详解】解：系数化1得，， 移项得，， 合并同类项得，， 解得，， ∵该方程的解为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴或， ①当时，，，，，，， ②当时，，，，，，， 综上所述，可取3，1，7，， ∴a的所有可能的取值的和为，， 故选：A． 2．关于x的方程的解是正整数，则满足条件整数a的和是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．把a看作已知数表示出方程的解，由方程的解为正整数，确定出整数a的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 解得： ， 由方程的解为正整数，即为正整数， ∴或3， ∴整数，4共2个，和为； 故答案为：6． 3．已知关于x的方程 ． (1)当时，求方程的解； (2)若方程的解是整数时，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）当时，原方程为：，再根据解一元一次方程的步骤进行计算即可得出答案； （2）求出，再结合方程的解是整数，从而得出答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程的解为； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴原方程的解为． ∵原方程的解是整数，为整数， ∴． 类型四、一元一次方程中的整体带入 1．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整体法解一元一次方程；先对一元一次方程进行变形，再根据方程解的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的关系是关键． 把看作一个整体，根据已知条件得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：关于的一元一次方程 的解为 关于的一元一次方程 中 解得： 故答案为： 3．我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 【答案】(1)是； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“仁爱”方程的定义是解题的关键． （）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）先解出由的解为，再根据“仁爱”方程的定义，得关于的一元一次方程的解为，由得，然后对比即可求解； 【详解】（1）解：由， ， ∴， 即的解是； 由 ， ， ∴， 即的解是； ∵， ∴方程和是“仁爱”方程， 故答案为：是； （2）解：由，得； 由， ， ， ∴， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴， 解得：； （3）解：由得， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴关于的一元一次方程的解为， ∵由得， ∴， ∴， ∴关于的一元一次方程的解为． 类型五、一元一次方程中的新定义运算 1．新趋势▪新定义规定新运算“”：对于任意实数、都有，例如：，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次方程．解决本题的关键是根据新定义运算的规则把方程转化有一般形式的一元一次方程，解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：， 根据， 可得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故选：C． 2．定义一种新运算：，例如：，．若，则的值是 ． 【答案】或9 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次方程，理解该定义并进行分类讨论是解题的关键．当时，，当时，，分别解方程即可得到答案． 【详解】解：当时， 此时 ，符合题意； 当时， 此时 ，符合题意； 故答案为：或9． 3．新定义：用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：※． (1)________； (2)若※，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数及整式的混合运算，熟练掌握运算方法是解决问题的关键． （1）根据新运算展开，再求出即可； （2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可； （3）先根据新运算求出m、n，然后用作差法比较即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：． （2）解：因为※， 所以， 解得； （3）解：根据题意，得， ， 因为 ， 所以． 1．下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，由此判断即可． 【详解】解：A、不是方程，故此选项不符合题意； B、是一元一次方程，故此选项符合题意； C、不是整式方程，故此选项不符合题意； D、未知数的次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．已知是关于x的方程的解，则代数式的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解和求代数式的值，根据是关于的方程的解，所以将解代入方程即可得出的值；已知的值，将代入代数式中计算，即可求出答案，关键是明确方程的解满足原方程． 【详解】解：是关于的方程的解， ， ， ． 故选：B． 3．若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程方法是解题的关键． 先解方程，然后代入求关于k方程中即可． 【详解】解：解方程， 解得：， 把代入方程得： ， 解得：． 故选：B． 4．已知是关于方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出k的值即可． 【详解】解：∵是关于方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．定义新运算“”如下：；若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：3． 6．我们称能使成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为，若是“相伴数对”，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，将，分别代入，再根据等式的基本性质求出的值即可，掌握等式的两个基本性质是解题的关键． 【详解】解：将，分别代入， 得，解得． 故答案为：． 7．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求解即可． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 8．下面是小丽同学解方程的过程： 解：去分母，得…………第①步 去括号，得……………………第②步 移项，得………………………第③步 合并同类项，得．…………………………………第④步 系数化为1，得………………………………………第⑤步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是______； (2)从第______（填序号）步开始出现错误，请你写出正确的解方程的过程． 【答案】(1)等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 (2)②，正确解题过程见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1是解一元一次方程的一般步骤，每一步都要注意运算规则和符号问题。 【详解】（1）第①的依据是等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。这里是等式两边同时乘以分母4和6的最小公倍数12，将分数方程化为整数方程。 （2）从第②步开始出现错误，去括号时，去括号后应该是，而不是。正确的解方程过程如下： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 9．我们定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”． (1)请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“美好方程”，请求出的值； 【答案】(1)方程与方程不是“美好方程”，理由见解析； (2)的值为或． 【分析】（）分别求出方程的解，再判断，即可求解； （）先解出方程，再代入，求出的值，最后代入即可求出的值； 本题考查一元一次方程的解，理解新定义并熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：方程与方程不是“美好方程”，理由， 由 ∴， 由 ∴， ∵， ∴方程与方程不是“美好方程”， （2）解：∵， ∴ ∴， ∵关于的方程与关于的方程是“美好方程”， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 解得：； 当时， ∴， 综上可知：的值为或． 10．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 【答案】(1)“分” (2)不可能，理由见解析 (3)“整” 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断； （）由“分”方程可得，再把所解方程转化为，代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：不可能，理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； （3）解：∵关于的方程是“分”方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2 解一元一次方程 一、等式与方程 等式：用等号连接而成的式子叫等式。 方程：含未知数的等式叫方程。 二、一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a不等于0）。 一元一次方程的最简形式：ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a不等于0）。 三、等式的性质 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式。 四、解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤包括：整理方程、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（检验方程的解）。 五、特殊的一元一次方程 1、解含括号的一元一次方程：去括号，得到没有括号的方程，然后按照一般步骤求解。 2、解含分母的一元一次方程：去分母，得到没有分母的方程，然后按照一般步骤求解。 巩固课内例1:等式的基本性质 1．根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．阅读下框中解方程的过程，四个步骤中，不是依据等式的性质变形的是 ．（请填写序号） 3．在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪条基本性质及是怎样变形的． (1)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (2)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (3)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ． 巩固课内例2:解下列方程——移项 1．由方程变形得到，这种变形叫做（   ） A．合并同类项 B．移项 C．乘法分配律 D．系数化为1 2．方程的解是 ． 3．解下列方程： (1)； (2)． 巩固课内例3:解下列方程——系数化1 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．与互为相反数，则 ． 3．解方程 (1) (2) (3) 巩固课内例4:解下列方程——去括号 1．解方程，以下去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一元一次方程的解为 ． 3．利用去括号解一元一次方程：． 巩固课内例5:解下列方程——去分母 1．解方程时，去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 2．下面是小亮解一元一次方程的过程： 去分母，得．………第一步 去括号，得．…………第二步 移项，得．…………第三步 合并同类项，得．………第四步 方程的两边都除以，得．……第五步 老师告诉小亮解题过程错误，请你帮小亮找出在以上解题过程中从第步开始出错，错误的原因是 ，该方程正确的解为 ． 3．解方程：． 巩固课内例6:天平平衡问题 1．如图，从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，下面与这一事实相符的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是 个． 3．如图，天平的两个盘内分别盛有50克、45克盐，问应该从A盘内拿出多少克盐放到B盘内，才能使两盘内所盛盐的质量相等？ 巩固课内例7:男女分配问题 1．七年级2班40名学生参加植树活动，共种树101棵，已知男生每人种3棵，女生每人种2棵．设女生有x人，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 2．体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 3．为积极响应“文明城区”创建工作，我校七年级学生组建了一支“垃圾分类”志愿者服务队．报名时男生人数是女生人数的3倍，活动时又有3名男生加入，同时有3名女生有事离开，此时男生人数是女生人数的4倍，那么原来报名时志愿者服务队中男生、女生各有多少人？ 类型一、一元一次方程的性质 1．在下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是 ． 3．已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 类型二、方程的变形 1．在下列式子中变形正确的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．下列等式变形中，正确的有 （填写序号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． 3．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1) (2) 类型三、解一元一次方程——合并同类型与移项 1．若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知是方程的解，则 ． 3．解方程． (1) (2) (3) 类型一、解一元一次方程——去括号 1．下列方程的变形，正确的是（   ） A．方程，去括号，得 B．方程，移项，得 C．方程，去分母，得 D．方程，可化为 2．若是方程的解，则a的值为 ． 3．解方程：． 类型二、解一元一次方程——去分母 1．方程，可以化成（   ） A． B． C． D． 2．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．    ……第①步 方程两边同时乘以，去分母，得： ．      ……第②步 去括号，得：    ．  ……第③步 移项，得： ．   ……第④步 合并同类项，得： ．           ……第⑤步 系数化，得：     ．          ……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 （1）第②步的依据是 ； （2）第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 ． 3．解下列方程： (1)； (2)． 类型一、两个方程的解相同 1．若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（　　） A． B． C． D． 2．关于的方程与方程的解相同，则的值是 ． 3．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 类型二、两个方程的解互为相反数 1．关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 2．若代数式与的值互为相反数，则m的值是 ． 3．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 类型三、一元一次方程中的整数解 1．已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（    ） A．8 B．4 C．7 D． 2．关于x的方程的解是正整数，则满足条件整数a的和是 ． 3．已知关于x的方程 ． (1)当时，求方程的解； (2)若方程的解是整数时，求整数的值． 类型四、一元一次方程中的整体带入 1．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 3．我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 类型五、一元一次方程中的新定义运算 1．新趋势▪新定义规定新运算“”：对于任意实数、都有，例如：，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算：，例如：，．若，则的值是 ． 3．新定义：用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：※． (1)________； (2)若※，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 1．下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．已知是关于x的方程的解，则代数式的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知是关于方程的解，则的值是 ． 5．定义新运算“”如下：；若，则 ． 6．我们称能使成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为，若是“相伴数对”，则x的值为 ． 7．解方程： (1) (2) 8．下面是小丽同学解方程的过程： 解：去分母，得…………第①步 去括号，得……………………第②步 移项，得………………………第③步 合并同类项，得．…………………………………第④步 系数化为1，得………………………………………第⑤步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是______； (2)从第______（填序号）步开始出现错误，请你写出正确的解方程的过程． 9．我们定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”． (1)请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“美好方程”，请求出的值； 10．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$