1.1-1.2 导数概念与导数的运算（5知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第二册）

1.1-1.2 导数概念与导数的运算 课程标准 学习目标 （1）通过实例分析, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景, 知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想 （2）通过函数图象直观理解导数的几何意义 （3）能根据导数定义求函数 , 的导数 (4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则, 求简单函数的导数; 能求简单的复合函数（限于形如 的导数。 （1）掌握导数的概念； （2）掌握常见函数的导数计算； （3）掌握导数的运算法则； （4）掌握复合函数的导数计算 知识点01 平均变化率 若某个问题中的函数关系用表示，问题中的变化率用式子表示， 则式子称为函数从到的平均变化率. Eg 函数在区间上的平均变化率为． 它与斜率相等. 【即学即练1】 （24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义，求解. 【详解】∵， ∴. 故选：C． 知识点02 导数概念 1函数在处的瞬时变化率是 则称它为函数在处的导数，记作，即 2 若当变化时，是的函数，则称它为的导函数(简称导数)，记作或，即 【即学即练2】 （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据导数的定义及已知求导数值. 【详解】由题意，知. 故选：B 知识点03 导数的几何意义 1 导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率， 切线的方程为． 2 过点与在点处的区别 曲线在点处的切线指的是为切点的切线，如图一； 过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条，如图二. 【即学即练3】 （23-24高二下·海南·期中）如图，直线是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点斜率公式可得，即可由导数的几何意义求解. 【详解】由图可知：直线与相切于，且经过， 故， 因此 ， 故选：A 知识点04 导数的计算 1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 2 导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 特别：，为常数； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导＋后导前不导”； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，分子导分母不导－分母导分子不导”. 【即学即练4】 （24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则计算即可． 【详解】由，则. 故选：D. 知识点05 复合函数的导数 对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作． 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 【即学即练5】 （23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数求导法则计算即可. 【详解】由可得. 故选：B 【题型一：平均变化率】 例1．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由平均变化率定义可得. 【详解】平均变化率为. 故选：C. 变式1-1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（   ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义，可得答案. 【详解】∵，∴． 故选：B 变式1-2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义列方程求参数即可. 【详解】∵函数在区间上的平均变化率为5， ∴，解得． 故选：C 【方法技巧与总结】 若某个问题中的函数关系用表示，问题中的变化率用式子表示， 则式子称为函数从到的平均变化率. 【题型二：瞬间变化率与导数的概念】 例2．（24-25高二上·全国·课后作业）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【分析】由瞬时变化率的定义求解即可. 【详解】， 所以． 故选：D． 变式2-1．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 变式2-2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】 ． 故选：C 变式2-3．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数在处的导数存在，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据瞬时变化率的定义即可求解. 【详解】 ． 故选：C 变式2-4．（24-25高三上·四川眉山·期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】表示，计算，利用可计算出 时的瞬时速度. 【详解】∵， ∴， ∴在 时的瞬时速度为. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1函数在处的瞬时变化率是 则称它为函数在处的导数，记作，即 2 根据导数的概念求导数，要理解概念公式中的形式及其对题中的形式的变形. 【题型三：常见函数的求导】 例3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案； （2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案； （3）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3） ． 变式3-1．（24-25高二上·全国·课后作业）下列各式正确的是（    ） A． B．，且 C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的求导公式判断. 【详解】对于A，，该选项错误； 对于B，，该选项正确； 对于C，是个常数，所以，该选项错误； 对于D，，该选项错误； 故选：B. 变式3-2．（22-23高二下·河北沧州·阶段练习）已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】求导后赋值计算即可. 【详解】因为，所以. 令，得，所以， 所以，则. 故选：B． 变式3-3．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用导数的求导法则以及基本初等函数的导数公式逐个求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 所以. 【方法技巧与总结】 1 掌握好常见基本函数的导数公式； 2 理解导数的运算法则； 3 求基本函数的导数，先分析好函数的形式，再确定求导的方式（是先化简或变形再求导还是直接求导）. 【题型四：复合函数的求导】 例4．（22-23高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则和复合函数的导数法则即可求解. 【详解】（1）设， 所以. （2）设，则. 所以. 变式4-1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知函数，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数求导可得，代入运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：A. 变式4-2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的导数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数求导公式求解即可. 【详解】． 故选：A 变式4-3．（24-25高三·上海·课堂例题）求下列函数的导数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数求导即可； （2）利用复合函数求导即可. 【详解】（1）函数可看作函数和的复合函数， 所以； （2）函数可看作函数和的复合函数， 所以． 【方法技巧与总结】 对复合函数的导数运算，要注意分析好复合函数的内部函数与外部函数形式. 【题型五：求在某处的切线】 例5．（2022·河南焦作·二模）函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数，由切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题意，函数，可得， 所以，， 所以在处的切线方程为，即. 故选：B 变式5-1．（23-24高二下·吉林·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由导数的几何意义结合函数图象即可求解. 【详解】由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率， 表示曲线在处的切线斜率， 表示，两点连线的斜率， 由图可知，当从0变化到1时，切线斜率越来越大， 所以，对比选项可知，D正确. 故选：D. 变式5-2．（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式求得切线方程. 【详解】，所以，即， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：C. 变式5-3．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】导函数在处的函数值即为斜率，点斜式即可写出直线方程. 【详解】因为，所以，故，，所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 变式5-4．（24-25高三上·河北保定·期末）若函数的图象在点处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】求导，确定切线方程，结合面积求得，再验证是否经过第二象限即可； 【详解】由，得，， 则的图象在点处的切线方程为.将代入切线方程，得，将代入切线方程，得. 因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，所以， 解得或. 当时，切线经过第一、三、四象限，符合题意； 当时，切线经过第一、二、三象限，不符合题意.故. 故选：D 【方法技巧与总结】 1 理解导数的几何意义； 2 求在曲线上某点的切线，要注意该点为切点，利用好切点在曲线上也在切线上. 【题型六：求过某点处的切线方程】 例6．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率. 【详解】由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 变式6-1．（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 变式6-2．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 变式6-3．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【详解】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： 【方法技巧与总结】 1 求过某点处的切线，要分类讨论该点是否为切点. 2 若过点不是切点，可以利用待定系数法设切点坐标，再利用导数的几何意义进行求解. 【题型七：公切线问题】 例7．（22-23高二下·四川绵阳·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【答案】A 【分析】设切点分别为、，根据导数几何意义及公切线列方程求参数值即可. 【详解】若，则，且， 若，则，且， 又是、的公切线， 设切点分别为、，则， ，则，即. 故选：A 变式7-1．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【详解】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 变式7-2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，然后利用导数求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用两点坐标求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程组即可求得切点横坐标，最后求得切点与斜率即可得解. 【详解】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 【方法技巧与总结】 注意切点的设元求解，根据公切线得到方程组再消元进行求解.多结合图象有助于对题意的理解. 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）. 故选：A 2（24-25高二上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率的定义即可求解. 【详解】根据题意， 则． 故选:D． 3（24-25高二上·河北石家庄·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A：根据基本初等函数法则求解；对于B：根据导数的乘法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的加法法则运算求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 4（陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 5（23-24高二下·安徽六安·期中）已知函数，则在处的瞬时变化率为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由瞬时变化率定义可知，直接求即可. 【详解】由题可知，则 故选：C 6（24-25高二上·全国·课后作业）已知的图象如图，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】由图可知，曲线在点处的切线的斜率比曲线在点处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知， 故选：B. 7（24-25高三上·山东·阶段练习）已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质求解出参数，再利用导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】因为为奇函数，且在处有定义， 所以，因为，所以，故， 而，得到切点为，又， 设切线斜率为，由斜率的几何意义得， 故切线方程为，化简得，故D正确. 故选：D 8（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点是不切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 二、多选题 9．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）物体运动方程为（位移单位：，时间单位：），若 ，则下列说法中正确的是（   ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度的极限值 【答案】CD 【分析】由瞬时变化率的物理意义判断． 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值. 故选：CD. 10（陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导原则求解即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为是常数，所以，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D， ，故D正确； 故选：AD. 11（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先设切点为，得出切线方程为，再根据有两个切线得出方程有两个解求参即可. 【详解】令，则， 设切点为，所以切线方程为，切线过点， 代入得，即方程有两个解， 则，解得或. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【详解】由导数定义知： . 故答案为：1 13（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则 ． 【答案】/ 【分析】求出再求. 【详解】由题意得 ， ∴． 故答案为：． 14（24-25高三上·广东深圳·期末）若曲线与曲线在点处有相同的切线，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用两条曲线在点处的切线斜率相等求解即得. 【详解】显然点在曲线上，由求导得， 由求导得， 由曲线与曲线在点处有相同的切线，得， 所以. 故答案为：2 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)14m/s 【分析】（1）根据平均速度的计算公式计算； （2）利用（1）代入求解即可； （3）求平均速度在时的极限即可. 【详解】（1）质点在这段时间里的平均速度为 ． （2）当时，所求平均速度为． （3）∵， ∴该质点在时的瞬时速度为14m/s． 16（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用倍角公式，基本函数的导数公式和导数的四则运算法则求解； （2）（3）（4）利用基本函数的导数公式和导数的四则运算法则求解． 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 17（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数图象上两点， ． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由 可得结果； （2）根据 计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，割线的斜率为 由，得． 又因为，所以的取值范围是． （2）由（1）可得函数的图象在点(2，)处的切线的斜率为． 又，所以所求切线方程为，即． 18（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，则，切线方程为， 因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 19. （21-22高二上·云南昆明·期末）已知函数，函数． (1)若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； (2)若直线与曲线，都相切，求实数的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用导数求出切线方程，进而求出切线与x轴，y轴的交点，再借助面积列式求解. （2）根据给定条件设出切点坐标，再利用导数的几何意义建立方程组求解即可. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为， 当时，；当时，，依题意，， 又，所以. （2）设直线与曲线，相切的切点分别为， 函数，求导得，则，，即，， 因此直线与曲线，相切的切点分别为，， 于是，解得， 所以实数的值为2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1-1.2 导数概念与导数的运算 课程标准 学习目标 （1）通过实例分析, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景, 知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想 （2）通过函数图象直观理解导数的几何意义 （3）能根据导数定义求函数 , 的导数 (4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则, 求简单函数的导数; 能求简单的复合函数（限于形如 的导数。 （1）掌握导数的概念； （2）掌握常见函数的导数计算； （3）掌握导数的运算法则； （4）掌握复合函数的导数计算 知识点01 平均变化率 若某个问题中的函数关系用表示，问题中的变化率用式子表示， 则式子称为函数从到的平均变化率. Eg 函数在区间上的平均变化率为． 它与斜率相等. 【即学即练1】 （24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 知识点02 导数概念 1函数在处的瞬时变化率是 则称它为函数在处的导数，记作，即 2 若当变化时，是的函数，则称它为的导函数(简称导数)，记作或，即 【即学即练2】 （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 知识点03 导数的几何意义 1 导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率， 切线的方程为． 2 过点与在点处的区别 曲线在点处的切线指的是为切点的切线，如图一； 过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条，如图二. 【即学即练3】 （23-24高二下·海南·期中）如图，直线是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 知识点04 导数的计算 1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 2 导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 特别：，为常数； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导＋后导前不导”； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，分子导分母不导－分母导分子不导”. 【即学即练4】 （24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点05 复合函数的导数 对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作． 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 【即学即练5】 （23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型一：平均变化率】 例1．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 变式1-1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（   ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 变式1-2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 【方法技巧与总结】 若某个问题中的函数关系用表示，问题中的变化率用式子表示， 则式子称为函数从到的平均变化率. 【题型二：瞬间变化率与导数的概念】 例2．（24-25高二上·全国·课后作业）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 变式2-1．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 变式2-2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数可导，则等于（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数在处的导数存在，则（    ） A． B． C． D． 变式2-4．（24-25高三上·四川眉山·期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【方法技巧与总结】 1函数在处的瞬时变化率是 则称它为函数在处的导数，记作，即 2 根据导数的概念求导数，要理解概念公式中的形式及其对题中的形式的变形. 【题型三：常见函数的求导】 例3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3) 变式3-1．（24-25高二上·全国·课后作业）下列各式正确的是（    ） A． B．，且 C． D． 变式3-2．（22-23高二下·河北沧州·阶段练习）已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 变式3-3．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【方法技巧与总结】 1 掌握好常见基本函数的导数公式； 2 理解导数的运算法则； 3 求基本函数的导数，先分析好函数的形式，再确定求导的方式（是先化简或变形再求导还是直接求导）. 【题型四：复合函数的求导】 例4．（22-23高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)；(2)． 变式4-1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知函数，则（   ） A． B．1 C． D． 变式4-2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的导数为（   ） A． B． C． D． 变式4-3．（24-25高三·上海·课堂例题）求下列函数的导数． (1)；(2)． 【方法技巧与总结】 对复合函数的导数运算，要注意分析好复合函数的内部函数与外部函数形式. 【题型五：求在某处的切线】 例5．（2022·河南焦作·二模）函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．（23-24高二下·吉林·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式5-4．（24-25高三上·河北保定·期末）若函数的图象在点处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则（   ） A． B． C． D．1 【方法技巧与总结】 1 理解导数的几何意义； 2 求在曲线上某点的切线，要注意该点为切点，利用好切点在曲线上也在切线上. 【题型六：求过某点处的切线方程】 例6．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 变式6-2．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 变式6-3．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【方法技巧与总结】 1 求过某点处的切线，要分类讨论该点是否为切点. 2 若过点不是切点，可以利用待定系数法设切点坐标，再利用导数的几何意义进行求解. 【题型七：公切线问题】 例7．（22-23高二下·四川绵阳·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 变式7-1．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 变式7-2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 注意切点的设元求解，根据公切线得到方程组再消元进行求解.多结合图象有助于对题意的理解. 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3（24-25高二上·河北石家庄·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 4（陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 5（23-24高二下·安徽六安·期中）已知函数，则在处的瞬时变化率为（    ） A．1 B．0 C． D． 6（24-25高二上·全国·课后作业）已知的图象如图，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 7（24-25高三上·山东·阶段练习）已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 二、多选题 9．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）物体运动方程为（位移单位：，时间单位：），若 ，则下列说法中正确的是（   ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度的极限值 10（陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 11（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 13（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则 ． 14（24-25高三上·广东深圳·期末）若曲线与曲线在点处有相同的切线，则 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 16（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 17（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数图象上两点， ． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 18（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 19. （21-22高二上·云南昆明·期末）已知函数，函数． (1)若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； (2)若直线与曲线，都相切，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$