6.2.1平行四边形的判定（2题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

6.2.1平行四边形的判定 题型一 判定定理1的直接应用 1．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形， 故A选项错误； 一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形， 故B选项错误； 根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形， 故C符合题意； 根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形， 故D不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 3．如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定． （1）依据，即可得出，再根据，即可得到，进而判定四边形是平行四边形； （2）依据是等腰直角三角形，即可得到的长，再根据的面积，即可得出的面积，进而由平行四边形面积得出结果． 【详解】（1）证明：∵，交于点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积=， 平行四边形面积． 4．如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形．  题型二 判定定理2的直接应用 1．已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（    ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A．可行、不可行 B．不可行、可行 C．、都可行 D．、都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图与平行四边的判定和性质，掌握作已知线段的垂直平分线的基本作法和平行四边的判定和性质是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，网格线的特征进行判断即可． 【详解】解：方案是作已知线段的垂直平分线的基本作法，故方案可行， 方案是先根据对边相等的四边形是平行四边形作出以、为邻边的平行四边形，再连接第二条对角线，根据平行四边形的对角线互相平分可知方案可行， 故选：C． 2．如图，以的各边向同侧作正三角形，即等边、、，连接，．求证:四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．熟练掌握这些判定与性质是解题的关键．先利用等边三角形性质及手拉手全等模型分别证和，即判断四边形为平行四边形． 【详解】证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在与中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 同理可证， ， 四边形是平行四边形． 3．如图，是内部的一点，连接，，把绕点逆时针旋转得到线段，把绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明是等边三角形，是等边三角形，得出，证明，证明，得出即可； （2）证明，得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， 同理：是等边三角形， ， ， ， ． ，， ． ． （2）证明：， ， ，， ． ，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 1．如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为24 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为12， ， . 四边形的周长为24. 2．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设的长为x，则 ， ． (2)当时，求的长； (3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由． (4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3) (4)3 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键． （1）由线段和差关系可求解； （2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的长； （3）由""可证，可得； （4）连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：是边长为6的等边三角形， 设，则， 故答案为∶； （2）当时， 是等边三角形， ， 解得∶， ； （3），理由如下∶ ， ， 又， ， ； （4）的长度不变． 连接，如图： ， ，且 四边形是平行四边形 3．如图，中，，D是上的一点，，过点D作，并截取． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)延长至，使得，连接并与的延长线相交于点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，，证明，由全等三角形的性质可得，，则，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质可得． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．如图，在四边形中，，与交于点E，点E是的中点，延长到点F，使，连接．    (1)求证：． (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据平行线的性质证明，推出，得出四边形是平行四边形，得到，即可证得结论； （2）由（1）可推出四边形的面积，然后作于点M，如图，求出和，进而可得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 作于点M，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质定理、明确解答的方法是解题的关键． 1.某数学小组的同学利用尺规完成“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图，嘉嘉给出了如下作图过程，嘉嘉的作法中，可以直接判定两直线平行的依据是（    ） （1）在直线上取两点，连接； （2）分别以点和点为圆心，和为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接，则即为所求． A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行公理 D．平行四边形的性质 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，根据题意证明四边形是平行四边形，进而得到，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：根据作图可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴可以直接判定两直线平行的依据是平行四边形的性质， 故选：． 2．如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    【答案】见解析 【分析】根据桥垂直于河的两岸可得桥的长度为定值，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽，连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．利用平行四边形的性质可得为所建桥的位置． 【详解】解：如图，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．则为所建桥的位置．    ∵桥垂直于河的两岸， ∴可得桥的长度为定值， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点与点之间线段最短，为定值， ∴最短，即从A地到B地的路程最短， ∴为所建桥的位置． 【点睛】此题考查了平移及最短路径问题及平行四边形得判定与性质，主要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 1．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 2．如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定方法．根据平行四边形的判定方法逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项A错误，不符合题意； B.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项B错误，不符合题意； C.若，且，则四边形是平行四边形，故选项C正确，符合题意； D.综上所述，选项D错误，不符合题意； 故选：C ． 3．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 4．如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明 ． 证明，得到，进而得到，推出四边形是平行四边形；得到，进一步推出是平行四边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， 又， ∴， ∴；故①正确； ∴， ∴四边形是平行四边形；故④正确； ∴， ∴即：；故②正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故③正确； 综上，正确的有4个； 故选：D 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.1平行四边形的判定 题型一 判定定理1的直接应用 1．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 3．如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 4．如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形．  题型二 判定定理2的直接应用 1．已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（    ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A．可行、不可行 B．不可行、可行 C．、都可行 D．、都不可行 2．如图，以的各边向同侧作正三角形，即等边、、，连接，．求证:四边形是平行四边形． 3．如图，是内部的一点，连接，，把绕点逆时针旋转得到线段，把绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 1．如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 2．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设的长为x，则 ， ． (2)当时，求的长； (3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由． (4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 3．如图，中，，D是上的一点，，过点D作，并截取． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)延长至，使得，连接并与的延长线相交于点，求的度数． 4．如图，在四边形中，，与交于点E，点E是的中点，延长到点F，使，连接．    (1)求证：． (2)若，，，求四边形的面积． 1.某数学小组的同学利用尺规完成“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图，嘉嘉给出了如下作图过程，嘉嘉的作法中，可以直接判定两直线平行的依据是（    ） （1）在直线上取两点，连接； （2）分别以点和点为圆心，和为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接，则即为所求． A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行公理 D．平行四边形的性质 2．如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    1．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 3．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 4．如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$