第五章 图形的轴对称 教案 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第五章 图形的轴对称 1 轴对称及其性质 第1课时 轴对称现象 【教学目标】 1.通过观察、分析现实生活实例和典型图形的过程，认识轴对称和轴对称图形，会找出简单的对称图形的对称轴，了解轴对称和轴对称图形的联系和区别. 2.通过大量的实例初步认识轴对称，能识别简单的轴对称图形及其对称轴. 3.通过欣赏现实生活中的轴对称图形，体验轴对称在现实生活中的广泛应用，体会数学来源于生活. 【教学重点】 正确理解轴对称图形以及轴对称的概念. 【教学难点】 能正确区分轴对称图形和轴对称. 【教学过程】 一、情景导入，初步认知 从各小组收集的图片中有代表性的选择一些，用投影仪演示.使学生能够形象直观地感受图形的对称. [教学说明] 通过幻灯片演示.使学生能够形象直观地感受图形的对称.使学生明白对称在美学和自然界中的作用. 二、思考探究，获取新知 1.观察下列图片，它们有什么共同特点？ [归纳结论] 如果把一个平面图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴. 理解轴对称图形应注意三点：（1）轴对称图形是一个图形；（2）对折；（3）重合. 2.做一做： 将一张纸对折后，用笔尖扎出如图所示的图形，然后将纸打开铺平，你会得到什么图形？你还能用这样的方法得到其它的轴对称图形吗？ 3.议一议，观察课本（P116图5-4）中的每组图片，你发现了什么？ [归纳结论] 如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 理解轴对称图形应注意三点： （1）“轴对称”是两个图形； （2）对折； （3）重合. [教学说明] 通过感官加深对轴对称图形和成轴对称的理解. 三、运用新知，深化理解 1.如图所示的几个图案中，是轴对称图形的是（ A ） 2.如图所示，下面的5个英文字母中是轴对称图形的有（ B ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.如图所示的图案中，是轴对称图形的有（ B ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图所示，从轴对称的角度来看，你觉得下面哪一个图形比较独特？简单说明你的理由. 解：（3）比较独特，它有无数条对称轴，其他图形只有两条对称轴. 5.观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴？在图中画出所有的对称轴. 解：（1）2条;（2）4条;（3）5条;（4）3条. 画图略. 6.如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由. 解：②不是轴对称图形 7.如图所示，以虚线为对称轴画出图形的另一半. 解：略 [教学说明] 进行适当的由浅入深，由感性到理性的一些练习，为学生的知识技能和运算能力打好基础. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 五、教学板书 【课后作业】 1.布置作业:教材“习题5.1”中第1、3题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 【教学后记】 第2课时 探索轴对称的性质 【教学目标】 1.掌握轴对称的性质，学会运用轴对称性质作图. 2.通过动手操作探索轴对称的性质，运用轴对称性质解决实际问题. 3.培养独立观察思考的习惯，感受数学几何图形的美，体验设计轴对称图形带来的快乐. 【教学重点】 理解“对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等”的性质. 【教学难点】 轴对称性质的探索及运用. 【教学过程】 一、情景导入，初步认知 将一张白纸对折后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平. 回答几个问题： （1）图中的两个“14”有什么关系？ （2）在上面扎字的过程中，点E与点E′重合，点F与点F′重合.设折痕所在直线为l，连接点E与点E′的线段与直线l有什么关系？点F与点F′呢？ （3）线段AB与线段A′B′有什么关系？CD与C′D′呢？ （4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由. [教学说明] 指导学生有目的的预习教材，培养学生的自学能力. 二、思考探究，获取新知 做一做：探索飞机的“奥秘”. 观察图示的飞机，从这个轴对称图形中： （1）找出它的对称轴. （2）连接点A与点A′的线段被对称轴平分吗？与对称轴互相垂直吗？连接点B与点B′的线段呢？ （3）线段AD与线段A′D′是否相等？线段BC与线段B′C′呢？为什么？ （4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由. [归纳结论] 在轴对称或两个成轴对称的图形中: （1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分； （2）对应线段相等，对应角相等. [教学说明] 让学生在准备好的图案上动手操作，通过观察、测量、对折等解决以上问题.解决问题的方法和结论学生会说出好多种，对这些结论进行整理，就是轴对称的性质. 三、运用新知，深化理解 1.下列说法错误的是（ C ） A.等边三角形是轴对称图形 B.轴对称图形的对应边相等,对应角相等 C.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧 D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分 2.下列说法正确的是（ B ） A.两个全等的三角形一定关于某条直线对称 B.关于某条直线的对称的两个三角形一定全等 C.直角三角形是轴对称图形 D.锐角三角形都是轴对称图形 3.设AB两点关于直线MN轴对称,则直线MN垂直平分线段AB. 4.若直角三角形是轴对称图形,则其三个内角的度数分别为45°,45°,90°. 5.已知Rt△ABC中,斜边AB=2BC,以直线AC为对称轴,点B的对称轴点 B′,如图所示,则与线段BC相等的线段是B′C,与线段AB相等的线段是BB′和AB′,与∠B相等的角是∠BAB′和∠B′,因此,∠B=60°. 6.下列各图都是一个汉字的一半,你能想像出它的另一半并能确定它是什么字吗?（有几个字的笔划在对称轴上） 解：图略 （1）中 （2）林 （3）南 （4）京 （5）米 （6）来 （7）共 （8）品 （9）吉 （10）木 （11）釜 7.找出图中是轴对称图形的图形,并找出两对对应点、两对对应线段、两对对应角. 解：图（A）是轴对称图形. 如图,若以EF为对称轴,则点A与点B、点M与点N.点C与点D等是对称点.线段AG与BH、CM与DN、PG与PH等是对应线段,∠A与∠B、∠C与∠D、∠AMC与∠BND等是对应角. 8.如图,∠AOB内一点P,分别画出P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=5cm,则△PMN的周长为多少? 解：画图如图所示， 易知PP1,PP2关于OA、OB对称， ∴PM=P1M,PN=P2N， ∴△PMN的周长=P1P2， ∴△PMN的周长是5cm. [教学说明] 通过不同的题型加深学生对轴对称图形和对称轴的理解，对本节知识进行巩固练习. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 五、教学板书 【课后作业】 1.布置作业:教材“习题5.2”中第1、3、4题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 【教学后记】 2 简单的轴对称图形 第1课时 等腰三角形的性质 【教学目标】 1.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质. 2.通过探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念. 3.通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念. 【教学重点】 掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质. 【教学难点】 探索等腰三角形的轴对称性及其性质的过程. 【教学过程】 一、情景导入，初步认知 观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,能找出对称轴吗？ [教学说明] 通过问题，希望学生能回忆起前两节所学内容，培养学生善于观察图形，乐于探索研究的学习品质及全面思考的能力. 二、思考探究，获取新知 探究1：等腰三角形 1.认识等腰三角形.给出三种等腰三角形的图形，包括锐角、钝角、直角形状的图形. 2.介绍等腰三角形的概念及各部分名称.给出生活中含有等腰三角形的建筑物图片，生活中的实例随处可见，给学生们呈现最直观的现象.如艾菲尔铁塔、埃及金字塔等. 3.等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有其他一些特殊的性质吗？拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，你能发现什么现象吗？ 4.思考： （1）等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴. （2）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ （3）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高呢？ （4）沿对称轴折叠，你能发现等腰三角形的哪些特征？ [归纳结论] 等腰三角形的特征： ①等腰三角形是轴对称图形 ②等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线.底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴. ③等腰三角形的两个底角相等. [教学说明] 探索等腰三角形的轴对称性及其有关性质，教学时，可以让学生先动手折一折等腰三角形纸片，自己发现有哪些结论.然后小组成员一起通过操作验证自己的结论，并由此归纳现象，探索等腰三角形的有关特征. 探究2：等边三角形 1.等边三角形的有关概念？ 2.你能发现等边三角形的哪些特征？ [教学说明] 教师应鼓励学生通过操作和思考分析等边三角性的轴对称性，并尽可能多的探索它的特征. 探究3：你有哪些方法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流. 1.折纸：将长方形纸片对折，沿对角线折叠，再沿折痕展开. 2.利用圆规. [教学说明] 以动手操作的形式得出一个等腰三角形，鼓励学生充分的进行交流，充分利用等腰三角形的特征，逆向思维，达到学以致用的目的.同时充分体现了数学来源于生活，同时也更好的服务于生活的理念. 三、运用新知，深化理解 1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ D ） A.正方形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.平行四边形 2.等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ A ） A.40°，40° B.100°，20° C.50°，50° D.40°，40°或100°，20° 3.下列说法正确的是（ B ） A.轴对称图形是两个图形组成的 B.等边三角形有三条对称轴 C.两个全等的三角形组成一个轴对称图形 D.直角三角形一定是轴对称图形 4.填空题： （1）①如图所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠ =∠ ； ②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD= ， ⊥ . （2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为 . （3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为 . （4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是45°，则△ABC的面积为 . （5）如图所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO= . 答案：（1）①B C ②DC（或BC） AD BC （2）40° （3）80°或20° （4）cm2 （5）40° 5.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，AC边上的中线BD把△ABC分成了周长差为4cm的两个三角形，求△ABC各边长. 解：如图，设AD＝x，则DC＝x，AB＝2x.设BC＝y. 由题意可以列方程： 2x+2x+y=14， (2x+x+BD)-(BD+x+y)=4， 解之得：x=3，y=2. 或2x+2x+y=14， (BD+x+y)-(2x+x+BD)=4， 解之得：x=，y=. 显然第二种情况不符合“三角形两边之和大于第三边”，所以舍去. 所以△ABC的三边长分别为： AB＝AC＝2x=6cm，BC＝y=2cm. 6.一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数. 解：△ABC中AB＝AC，所以∠C＝∠B， 若∠BAC∶∠B＝4∶1， 则：∠BAC+∠B+∠C＝6∠B＝180°， 所以∠B=30°＝∠C，∠BAC＝120°. 若∠B∶∠BAC＝4∶1， 则：∠BAC+∠B+∠C＝9∠BAC＝180°， 所以∠BAC＝20°，∠B＝∠C＝80°. 7.如图，已知AB＝AC，BD＝DC，AE平分∠CAF，试判断AE与AD的位置关系，并说明理由. 解：AE⊥AD. 说理如下： 因为AB＝AC，BD＝DC， 所以AD⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∠B＝∠C. 因为∠CAF＝∠B+∠C， 所以∠CAF＝2∠B. 因为AE平分∠CAF， 所以∠CAF＝2∠EAF， 所以∠EAF＝∠B， 所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）， 所以∠EAD＝∠BDA＝90°， 所以AE⊥AD. [教学说明] 对本节内容的知识进一步的理解、巩固、提高. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充. 五、教学板书 【课后作业】 1.布置作业:教材“习题5.3”中第1、2题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 【教学后记】 第2课时 线段垂直平分线的性质 【教学目标】 1.探索并了解线段垂直平分线的有关性质. 2.尺规作图. 3.应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题. 4.从生活实践中探索轴对称现象的共同特征，进一步发展空间观念. 5.培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感. 【教学重点】 线段的垂直平分线的性质及作法、应用. 【教学难点】 用尺规作线段的垂直平分线. 【教学过程】 一、情景导入，初步认知 1.什么是轴对称图形及轴对称图形的性质？ 2.下列图形哪些是轴对称图形？ [教学说明] 使学生对小学学过的生活中的轴对称图形进一步加深印象,熟悉轴对称图形及对称轴,为本节课学习做铺垫. 二、思考探究，获取新知 探究1：线段的对称性 1.线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？ 2.做一做：按下面步骤做： ①用准备的线段AB，对折AB，使得点A、B重合，折痕与AB的交点为O. ②把纸展开. 3.观察自己手中的图形，回答下列问题： ①折痕与AB有什么样的位置关系？ ②AO与OB相等吗？能说明你的理由吗？ [归纳结论] ①线段是轴对称图形.它的对称轴有两条：一条是线段AB本身所在的直线；另一条是折痕. ②它的对称轴垂直于这条线段并且平分它. ③垂直于一条线段且平分这条线段的直线叫这条线段的垂直平分线（简称中垂线）. 探究2：垂直平分线的性质 动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，再换别的点试试，你能发现什么？PA=PB P1A=P1B 由此你能得到什么规律？ [归纳结论] 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. [教学说明] 可以运用全等来说明.教师适时的引导，学生的动手操作，有利于培养学生的观察和概括能力；充分体现了教师为主导，学生为主体的教学思想. 探究3：作线段的垂直平分线 1.已知线段AB，请画出它的垂直平分线. 作法： 第一步:分别以A、B为圆心,以大于AB一半的长度为半径画弧,两弧在AB的两侧分别相交于点M和点N; 第二步:经过点M和点N画直线;直线MN就是线段AB的垂直平分线. 2.各小组讨论：为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线？ [教学说明] 尺规作图能培养学生严谨的学习习惯，严密的逻辑思维和空间想象能力.尺规作图既能展现数学美，又能培养学生的学习兴趣. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P124例1 2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ B ） A.6 B.5 C.4 D.3 3.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ C ） A.80° B.70° C.60° D.50° 4.如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，求线段DE的长. 解：∵DE是BC边上的垂直平分线， ∴BE=CE. ∵△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12， ∴ED+DC+EC=24，① BE+BD-DE=12.② ①-②得，DE=6. 5.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC. （1）求∠ECD的度数； （2）若CE=5，求BC长. 解：（1）∵DE垂直平分AC， ∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°； （2）∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°， ∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°， ∴∠BEC=∠B， ∴BC=EC=5. 答：（1）∠ECD的度数是36°； （2）BC长是5. 6.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连结BE. 试判断EF与DE的数量关系并说明理由. 解：（1）直线l即为所求. （2）EF=2DE.理由：在Rt△ABC中， ∵∠A=30°，∴∠ABC=60°， 又∵l为线段AB的垂直平分线， ∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60° ∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60° 又∵ED⊥AB，EC⊥BC ∴ED=EC. 在Rt△ECF中，∠FEC=60°， ∴∠EFC=30°， ∴EF=2EC， ∴EF=2ED. [教学说明] 通过对不同题型的练习来对本节知识进行巩固. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 五、教学板书 【课后作业】 1.布置作业:教材“习题5.4”中第1、2、3题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 【教学后记】 第3课时 角平分线的性质 【教学目标】 1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法. 2.利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题. 3.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉. 4.使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验. 【教学重点】 角平分线的性质. 【教学难点】 角平分线性质的应用. 【教学过程】 一、情景导入，初步认知 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？（对折）再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？ [教学说明] 体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙打下基础. 二、思考探究，获取新知 探究1：角的对称性 角是轴对称图形吗？把∠AOB对折，你发现了什么？ [归纳结论] 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线. 探究2：角平分线的性质 动手操作： 1.把∠BAC对折. 2.在折痕（即角平分线）上任意找一点O， 3.过点O折AC边的垂线，得到新的折痕OD，其中，点D是折痕与AC的交点，即垂足. 4.过点O折AB边的垂线，将纸打开，新的折痕与AB边交点为E. 观察：OD与OE有什么关系？改变O的位置，OD与OE还存在这种关系吗？ [归纳结论] 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言：∵AO是∠BAC的平分线， OE⊥AB，OD⊥AC， ∴OE=OD. [教学说明] 从实验探索中发现角的平分线的性质，培养学生的数学抽象概括能力及理性精神，让学生体验成功. 探究3：尺规作角平分线 已知：∠BOA; 求作：∠BOA的角平分线. 作法： 1.以O为圆心，任意长度为半径作弧，分别与角的两边交于点D、E; 2.分别以D、E为圆心，大于DE一半的相同长度为半径作弧,两弧在角的内部交于C; 3.作射线OC,∴射线OC为∠BOA的角平分线. 你能证明吗？ [教学说明] 从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力，让学生体验成功的乐趣. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P126例2 2.如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（ A ） A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ B ） A.4cm B.6cm C.10cm D.以上都不对 4.如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ D ） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 5.如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠BAF＝180°.DE与DF相等吗?为什么？ 解：DE=DF.理由：如图，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， 又∵AD平分∠BAC， ∴DM＝DN， ∵∠EAF+∠EDF＝180°， ∴∠AED+∠AFD＝360°-180°＝180°， ∵∠AFD+∠CFD＝180°， ∴∠AED＝∠CFD， ∴△DME≌△DNF(AAS)， ∴DE＝DF. 6.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C.AC与BC相等吗？为什么？ 解：AC=BC.理由：∵∠1＝∠2，BD⊥OA，AE⊥OB， ∴CD＝CE， ∵∠DCA＝∠ECB，∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴△ACD≌△BCE(ASA)， ∴AC＝BC. 7.如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm. （1）在图上标出仓库G的位置.（比例尺为1∶10000，用尺规作图） （2）求出仓库G到铁路的实际距离. 解：（1）图略，仓库G在∠NOQ的平分线上， （2）仓库G到铁路的实际距离是100m. 8.有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为： （1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B； （2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D； （3）连接AD、BC相交于点E； （4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线. 你认为他这种作法对吗？试说明理由. 解：他这种作法对，理由如下： 由作法可知：OC＝OD，OB＝OA，∠COB＝∠DOA， ∴△BCO≌△ADO(SAS)，AC＝BD， ∴∠OCE＝∠ODE， ∵∠AEC＝∠BED， ∴△ACE≌△BDE(AAS)， ∴CE＝DE， ∵OE＝OE， ∴△OCE≌△ODE(SSS)， ∴∠COE＝∠DOE，即OE平分∠MON. [教学说明] 通过学生对角的平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题.解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力. 四、师生互动,课堂小结 我们这节课学习了哪些知识？ 五、教学板书 【课后作业】 1.布置作业:教材“习题5.5”中第1、2、3题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 【教学后记】 第4课时 利用轴对称进行设计 【教学目标】 1.了解什么样的图形是轴对称图形及其对称轴的条数，能画出简单图形的对称轴及作出简单轴对称图形的另一半. 2.通过大量的观察分析、总结归纳和动手操作，不但对轴对称的基本知识有了充分的理解，而且体验到了轴对称的美与和谐. 3.感受轴对称与生活的广泛联系和丰富的文化价值. 【教学重点】 通过观察、操作，进一步理解对称及其性质. 【教学难点】 利用轴对称的知识，描述图形经折叠剪开后的图案. 【教学过程】 一、情景导入，初步认知 我们生活在一个充满美丽与和谐的空间，在这里大到有宏伟的建筑，小到有精巧的剪纸都是对称的.轴对称带给我们的美丽无时无刻不在感染着我们.今天，就让我们也为这美妙的世界添上一笔靓丽的色彩：利用轴对称进行设计. [教学说明] 调动学生的积极性，激发兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.请同学们取出准备好的长30cm、宽6cm的纸条.如果先把纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后在上面画上其他图案，会得到怎样的花边，先猜一猜，再做一做，把你得到的花边剪下来. 观察展开图回答下面的问题：在“手风琴”式的折纸中，纸上的折痕是对称轴，折痕所在的直线的位置关系是相互平行，而且相邻两条折痕的距离相等. 2.阅读课本P128“做一做”第2题，完成下面的问题. （1）经过步骤①和步骤②后，在这张正形纸上留下什么样折痕？请在图（1）中画出来. （2）经过步骤③得到怎样的图案？ （3）将正方形纸按上面方式对折3次，然后沿圆弧剪开（如图（2）），去掉较小的部分，展开后得到怎样的图案？将正方形纸对折3次后，在纸上留下什么样的折痕，在图（3）中画出. （4）在这种对角折纸中，若纸上留下的折痕有n条，那么剪下来的图案至少有几条对称轴. [教学说明] 让学生学会简单的剪纸操作，为后面的操作活动做好准备，同时在自己亲自动手制作的活动中更是积极地动手动脑，相互帮助，全身心地投入到整个活动中. 三、运用新知，深化理解 1.下列命题中，正确的是( D ) A.两个全等的三角形合在一起是一个轴对称图形 B.等腰三角形的对称轴是底边上的中线 C.等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线 D.一条线段可以看做是以它的垂直平分线为轴的轴对称图形 2.下列说法中，正确的是( B ) A.两个全等三角形，一定是轴对称的 B.两个轴对称的三角形，一定是全等的 C.三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形 D.三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形 3.如图，直线l是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半. 解：作图略 4.下图是由四个小正方形组成的L形图案，请你再添加一个小正方形使它们能组成一个轴对称图形.(给出三种不同的作法) 解：作图略 5.如图甲，正方形被分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形.（在所设计的图案中，若涂黑的部分全等则视为同一种涂法，如图乙和图丙属同一种涂法）. 解：作图略 6.两个圆两条线段两个三角形，展开联想，设计一幅轴对称的图案，并阐述图案所表达的含义. 解：略 [教学说明] 对本节内容的知识进一步的理解、巩固、提高. 四、师生互动,课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 五、教学板书 【课后作业】 1.布置作业:教材“习题5.6”中第1、2题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 【教学后记】 章末复习 【教学目标】 1.梳理全章内容，建立知识体系；掌握等腰三角形、线段、角等简单的轴对称图形的性质并灵活应用；综合运用轴对称的有关性质，解决实际问题. 2.经历观察、折叠、剪纸、欣赏与设计等数学活动过程，进一步发展空间观念,丰富学生对轴对称的直观体验和理解，发展学生有条理的思考和语言表达能力. 3.让学生进一步了解轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，增进学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 会找出简单的轴对称图形的对称轴；了解一些简单轴对称图形（角、线段、等腰三角形）的性质并学会应用. 【教学难点】 轴对称的有关性质在现实生活中的应用. 【教学过程标】 一、知识结构 [教学说明] 引导学生自主发现各知识点之间的联系，形成较完整的认知结构. 二、释疑解惑，加深理解 1.轴对称图形: （1）如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. （2）理解轴对称图形要抓住以下几点： ①指一个图形； ②存在一条直线（对称轴）； ③图形被直线分成的两部分互相重合； ④轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条； ⑤线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形； （3）轴对称图形的对应线段、对应角相等. （4）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 2.轴对称 （1）对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴.可以说成：这两个图形关于某条直线对称. （2）理解轴对称应注意： ①有两个图形； ②沿某一条直线对折后能够完全重合； ③轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形； ④对称轴是直线而不是线段； （3）如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等. （4）如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 3.角平分线的性质 ①角平分线所在的直线是该角的对称轴. ②性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 4.线段的垂直平分线 ①垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线. ②性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等. 5.等腰三角形 ①等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴. ②等腰三角形的两个底角相等. ③等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”. 6.等边三角形 ①等边三角形的三边都相等，三个内角都是60°. ②等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴. 7.图案设计 作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用. [教学说明] 学生通过梳理知识体系，不仅能提高分析问题的能力，而且能够发现自身的不足，通过查漏补缺，尽快完善知识结构. 三、典例精析，复习新知 例1 如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是（ B ） 例2 等腰三角形的对称轴是（ D ） A.顶角的平分线 B.底边上的高 C.底边上的中线 D.底边上的高所在的直线 例3 如图,在四边形ABCD中,边AB与AD关于AC对称,则下面结论正确的是（ D ） ①CA平分∠BCD；②AC平分∠BAD；③DB⊥AC；④BE=DE. A.② B.①② C.②③④ D.①②③④ 例4 牧马人在A处放牧，现他准备将马群赶回B处的家中，但中途他必须让马到河边l饮水一次，他应该怎样选择饮水点P，才能使所走的路程PA+PB最短？为什么? 解：作点B关于直线l的对称点B′， 连接AB′交l于P点，则点P为饮水点.由对称性得PB=PB′. 在l上任取一点P′,连结AP′.P′B，由三角形两边之和大于第三边，知 AP′+P′B′＞AB′，而AB′=PA+PB′， 即AP′+P′B′＞PA+PB. ∴像上面这样选择的饮水点P才能使PA+PB最小. 例5 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数. 解：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， 所以CD=DE=5cm. 又因为AD平分∠BAC， 所以∠CAB=2∠CAD=2×32°=64°， 所以∠B=90°-64°=26°. 例6 如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°.求∠ACB和∠BAC的度数. 解：因为AB=AC，AE平分∠BAC， 所以AE⊥BC（等腰三角形的“三线合一”） 因为∠ADC=125°， 所以∠CDE=55°， 所以∠DCE=90°-∠CDE=35°， 又因为CD平分∠ACB， 所以∠ACB=2∠DCE=70°. 又因为AB=AC， 所以∠B=∠ACB=70°， 所以∠BAC=180-（∠B+∠ACB）=40° [教学说明] 教师根据学生遇到的问题和出现的错误，有针对性地进行讲解和学法指导.同时教学中应通过恰当的方式让学生理解解题的依据. 四、复习训练，巩固提高 1.一犯罪分子正在沿两交叉公路间到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在A、B两处的两名公安人员想在距A、B相等的距离处同时抓住这一罪犯. 请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点，并说明理由. 解：作∠MON的平分线OC, 如图连接AB,作线段的垂直平分线与OC交于点P,则点P为抓捕点. 理由:角平分线上的点到角两边的距离相等（即犯罪分子在∠MON的角平分线上,点P也在其上）. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（所以点P在线段AB的垂直平分线上）. ∴两线的交点，即点P符合要求. 2.如图，已知AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm.求AE的长. 解：因为△ABD、△BCE都是等腰三角形， 所以AB=BD，BC=BE. 又因为BD=CD-BC， 所以AB=CD-BC=CD-BE=8cm-3cm=5cm， 所以AE=AB-BE=2cm. 3.如图1，在正方形网格上有一个△ABC. （1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积. 解：（1）如答图2所示.点拨：利用图中格点，可以直接确定出△ABC中各顶点的对称点的位置，从而得到△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′. （2）SΔABC=9.点拨：利用和差法. 4.某地板厂要制作一批正方形形状的地板砖，为适应市场多样化需要，要求在地板砖上设计的图案能够把正方形四等分，请你帮助该厂设计等分图案.（至少六种） 分法如图. [教学说明] 这些问题比较有挑战性、趣味性，是为了让学生综合、灵活的运用知识解决问题，及时的反馈不仅仅检验了学生的掌握程度，而且易于发现学生的易错点，便于教师及时调整教学策略，对知识进行强调巩固. 五、师生互动，课堂小结 通过本节课的复习，你有什么收获？还存在什么疑惑？ 【课后作业】 1.布置作业:教材“复习题”中第1、3、5、8、12题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 【教学后记】 22 学科网（北京）股份有限公司 $$