第03讲 一元二次方程 （3个知识清单+2个易错+4类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

第03讲 一元二次方程 （3个知识清单+2个易错+4类热点题型讲练+强化训练） 课程标准 学习目标 1一元二次方程的定义 2 一元二次方程的一般形式 3一元二次方程的解 1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力. 2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念. 难点：由实际问题列出一元二次方程.准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项. 知识点01一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【即学即练1】（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可． 【即学即练2】已知是一元二次方程，则 ． 知识点02 一元二次方程的一般形式 1.一般形式 一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0. 3.特殊形式 二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况: 4.注意事项 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数. 【即学即练1】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 【即学即练2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】（23-24八年级下·安徽宣城·期中）方程转化为一元二次方程的一般形式是 ． 知识点03一元二次方程的解 1.概念 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5 都是方程的解(根). 2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等 3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法 4.一元一次方程和一元二次方程根的区别 【即学即练1】下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解． 【即学即练2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知是一元二次方程的解，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 易错点1 忽略二次项系数不为0而致错 特别提醒:利用一元二次方程的定义求A字母的值时，首先要保证二次项系数不为 0. 易错点2 没有化为一元二次方程的一般形式而致错 特别提醒:1写一元二次方程每一项的系数及常数项时要先将其化为一般形式; 2将某一项从等号一侧移至另一侧时,注意变号,等号同侧的移项不涉及符号变动. 题型01 根据一元二次方程的定义求字母的值 方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值． 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则 ． 题型02 根据一元二次方程的根求字母或式子的值 方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题． 3．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若a是关于x的方程的一个根，则的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是方程的一个根，则的值为 ． 6．（23-24八年级下·安徽六安·期末）若为方程的根，则多项式的值为 ． 7．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 题型03 根据实际问题列一元二次方程 方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程． 8.某型号的手机连续两次降价，单价由原来的5200元降到了1300元．设平均每次降价的百分率为x，则可以列出的一元二次方程是 ． 9．有一群即将毕业的大四学生在一起聚会，每两个人之间互送照片，共送出132张，那么这群大四学生中有多少人。如果设这群大四学生共有x人，那么根据题意可列一元二次方程是 . 10．一次排球邀请赛中，每个队之间都要比一场．赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为 ．（用一般式表示） 题型04 对含字母的一元二次方程的系数的讨论 11．已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根； (2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 12．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 一、单选题 1．若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．将方程化为一元二次方程的一般形式，正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．已知方程x2＋bx-a＝0有一个根是－a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数1的是(   ) A．b-a B．a-b C．a+b D．ab 4．下列方程，①，②，③，④，⑤，是一元二次方程的是（    ） A．①② B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 5．如果是关于x的一元二次方程的一个根，那么a的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2 6．以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中，一定是关于x的一元二次方程有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．当x满足时，方程-2x-5=0的根是（ ） A．1± B．﹣1 C．1﹣ D．1+ 8．将方程化为一般形式是（ ） A． B． C． D． 9．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解．则m的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 10．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（ ） A．2 B．0 C．-2 D．-1 二、填空题 11．若是关于x的一元二次方程的解，则 ． 12．当m= 时，关于x的方程﹣（m+4）x+1=0是一元二次方程． 13．若a是x2+3x+5=9的一个根，则代数式3a2+9a﹣2的值为 ． 14．若关于的一元二次万程有一个根是，则 ． 三、解答题 15．下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 16．已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 18．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程． 19．若0和均是关于的方程的根，求与的值． 20．已知是方程的一个实数根，求代数式的值． 21．(1)已知x满足x2-4x-2=0，求(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值； (2)如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．求证：DC=CF． 22．如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成4个扇形，分别标有1、2、3、4四个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏．当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣4x+3＝0的解的概率． 23．阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 24.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）； (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 25.【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程 （3个知识清单+2个易错+4类热点题型讲练+强化训练） 课程标准 学习目标 1一元二次方程的定义 2 一元二次方程的一般形式 3一元二次方程的解 1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力. 2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念. 难点：由实际问题列出一元二次方程.准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项. 知识点01一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【即学即练1】（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程定义：含有一个未知数、未知数的最高次数是2次的整式方程，根据定义逐项判定即可得到答案，熟记一元二次方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、不是一元二次方程，不符合题意； B、，若，不是一元二次方程，不符合题意； C、是二元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可． 【即学即练2】已知是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】 解：∵是一元二次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 知识点02 一元二次方程的一般形式 1.一般形式 一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0. 3.特殊形式 二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况: 4.注意事项 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数. 【即学即练1】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3 1 1 1 7 0 方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 【即学即练2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，，根据定义即可得出答案，把握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为． 故选：C． 【即学即练3】（23-24八年级下·安徽宣城·期中）方程转化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式)．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 首先利用多项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为0，再化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 知识点03一元二次方程的解 1.概念 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5 都是方程的解(根). 2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等 3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法 4.一元一次方程和一元二次方程根的区别 【即学即练1】下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 【答案】1和3 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可． 【详解】解：当时，左边12． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边， ∵左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 综上可知，1和3是一元一次方程的根． 方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解． 【即学即练2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知是一元二次方程的解，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程解的概念，把代入，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 解得： 故选：D 易错点1 忽略二次项系数不为0而致错 特别提醒:利用一元二次方程的定义求A字母的值时，首先要保证二次项系数不为 0. 易错点2 没有化为一元二次方程的一般形式而致错 特别提醒:1写一元二次方程每一项的系数及常数项时要先将其化为一般形式; 2将某一项从等号一侧移至另一侧时,注意变号,等号同侧的移项不涉及符号变动. 题型01 根据一元二次方程的定义求字母的值 方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值． 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解方程求解以及不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得出且 解得：， 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则 ． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的定义、绝对值方程 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义解答． 【详解】 解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得，， 故答案为3 题型02 根据一元二次方程的根求字母或式子的值 方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题． 3．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义理解，根据“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，把代入关于的一元二次方程中计算求出的值即可，理解一元二次方程的解的定义、正确计算是解题的关键． 【详解】解：把代入，得：， ， 故选：D． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若a是关于x的方程的一个根，则的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，由方程解的定义得到，把代数式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵a是关于x的方程的一个根， ∴， ∴ ， 故选：A． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 6．（23-24八年级下·安徽六安·期末）若为方程的根，则多项式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出，整体代入即可求解． 【详解】解：∵为方程的根， ∴即， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，将代入原方程，变形得，再将代数式去括号展开，将整体代入展开后的代数式，求解即可，解题关键是利用整体代入法． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的根， ， ， ． 题型03 根据实际问题列一元二次方程 方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程． 8.某型号的手机连续两次降价，单价由原来的5200元降到了1300元．设平均每次降价的百分率为x，则可以列出的一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】根据降价后的价格=原价（1-降低的百分率），即可列出方程； 【详解】由题意可得：； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确分析列方程是解题的关键． 9．有一群即将毕业的大四学生在一起聚会，每两个人之间互送照片，共送出132张，那么这群大四学生中有多少人。如果设这群大四学生共有x人，那么根据题意可列一元二次方程是 . 【答案】x(x-1)=132 【分析】设有x人，每两人之间互送照片，即除自己外，每个人都要送出（x-1）张，所以全组共送出x(x-1)张，由送照片总数为132张为等量关系，列出方程即可. 【详解】设这群大四学生共有x人，则每人应送出(x-1)张照片，根据题意得， x(x-1)=132. 故答案为：x(x-1)=132 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确表示x人送出的总照片数是解答此题的关键. 10．一次排球邀请赛中，每个队之间都要比一场．赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为 ．（用一般式表示） 【答案】 【分析】设比赛组织者应邀请个队参赛，依题意得，然后化为一般形式，即可求解． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，依题意得，，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，列出一元二次方程是解题的关键． 题型04 对含字母的一元二次方程的系数的讨论 11．已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根； (2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】(1)， (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【详解】（1）由是一元一次方程，得 ， 解得， 原方程变为：， ∴ 解得； （2）由是一元二次方程，得 ， 解得， ∴时，是一元二次方程， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟练掌握定义是解答本题的关键． 12．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 一、单选题 1．若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，进行求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 2．将方程化为一元二次方程的一般形式，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念，判断即可，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：化为一元二次方程的一般形式为 故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 3．已知方程x2＋bx-a＝0有一个根是－a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数1的是(   ) A．b-a B．a-b C．a+b D．ab 【答案】B 【分析】把x=-a代入已知方程，然后求得a、b的数量关系． 【详解】∵方程x2+bx-a=0有一个根是−a(a≠0)， ∴（-a）2-ba-a＝0， 又∵a≠0， ∴等式的两边同除以a，得a−b-1=0， 故a−b=1. 故选B 【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于将“-a”代入一元二次方程中即可求解. 4．下列方程，①，②，③，④，⑤，是一元二次方程的是（    ） A．①② B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对各个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：①由原方程得到：，符合一元二次方程的定义，故①正确； ②中含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故②错误； ③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故③错误； ④，符合一元二次方程的定义，故④正确； ⑤，符合一元二次方程的定义，故⑤正确； 综上所述，正确的是①④⑤， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．如果是关于x的一元二次方程的一个根，那么a的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】将代入方程得，解之可得． 【详解】根据题意代入方程得， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 6．以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中，一定是关于x的一元二次方程有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．熟练掌握定义，是解题的关键．一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一进行判断即可． 【详解】（1），不是关于x的一元二次方程； （2），一定是关于x的一元二次方程； （3）， ∵ ∴，不是关于x的一元二次方程； （4）， ∵， ∴，一定是关于x的一元二次方程； （5），不是关于x的一元二次方程； （6）， 当时，方程为，不是关于x的一元二次方程． ∴有2个方程一定是关于x的一元二次方程． 故选：B． 7．当x满足时，方程-2x-5=0的根是（ ） A．1± B．﹣1 C．1﹣ D．1+ 【答案】D 【详解】试题分析：先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x的值． ，解得：2＜x＜6，∵方程﹣2x﹣5=0 ∴x=1±，∵2＜x＜6，∴x=1+． 考点：（1）一元一次不等式；（2）一元二次方程的解 8．将方程化为一般形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程展开去括号后，移项并合并同类项即可. 【详解】解：=4x2+4x+1+3x-2-2x2+x+3=10，则： ，故选择C. 【点睛】本题考查了一元二次方程化为一般式，注意计算过程中去括号及移项的符号变化. 9．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解．则m的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据x=-1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，将x=-1代入方程，即可求得m的值，本题得以解决． 【详解】∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解， ∴（﹣1）2+3×（﹣1）+m+1＝0， 解得，m＝1， 故选C． 【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键是明确题意，利用一元二次方程的解求出m的值． 10．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（ ） A．2 B．0 C．-2 D．-1 【答案】C 【分析】先化简，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：==1． ∵方程x2+ax+b=0的一根是， ∴++b=0． ∴． ∴． ∵、是整数， ∴ 解得 ∴==． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键． 二、填空题 11．若是关于x的一元二次方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】把代入到方程中得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 12．当m= 时，关于x的方程﹣（m+4）x+1=0是一元二次方程． 【答案】2 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程（m-1）xm2−3m+4-（m+4）x+1=0是一元二次方程， ∴， 解得；m=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，而b，c可以是0． 13．若a是x2+3x+5=9的一个根，则代数式3a2+9a﹣2的值为 ． 【答案】10 【详解】解：∵a是x2+3x+5=9的一个根，∴a2+3a+5=9，∴a2+3a=4，∴3a2+9a=12，∴3a2+9a﹣2=12﹣2=10．故答案为10． 14．若关于的一元二次万程有一个根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据题意得，再把代入方程，得，求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次万程， ∴， ∴， 把代入方程，得， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 【答案】1和3 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可． 【详解】解：当时，左边12． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边， ∵左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 综上可知，1和3是一元一次方程的根． 16．已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次项系数非零可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：对方程进行整理，即为：， ∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)一般形式为；二次项系数是1、一次项系数是，常数项是 (2)一般形式为；二次项系数，一次项系数是6，常数项是5 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． （1）先化一般形式之后然后根据以上知识点进行解答即可； （2）先化一般形式之后然后根据以上知识点进行解答即可． 【详解】（1）解： ∴一般形式为； ∴二次项系数是1、一次项系数是，常数项是； （2）解： ∴， ∴一般形式为， ∴二次项系数，一次项系数是6，常数项是5． 18．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程． 【答案】满足条件的一元二次方程为或 【分析】本题考查了一次二次方程的定义和非负数的性质，几个非负数的和为0时，那么这几个非负数分别等于0．根据非负数的性质列式求出a，b，c的值，然后代入方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 解得，，， ∴满足条件的一元二次方程为或． 19．若0和均是关于的方程的根，求与的值． 【答案】b=-3,c=0. 【分析】根据一元二次方程的解的定义，分别把x=0和x=-3,代入,得到关于b和c的方程，然后解方程即可得到b与c的值． 【详解】解：将和代入方程，得解得 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 20．已知是方程的一个实数根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】根据方程根的概念可得，将所求代数式变形为，然后利用整体代入的方法进行求解即可得． 【详解】∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ . 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念是解题的关键． 21．(1)已知x满足x2-4x-2=0，求(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值； (2)如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．求证：DC=CF． 【答案】（1）15；（2）详见解析. 【分析】（1）由x2-4x-2=0可得x2-4x=2，再将原式变形，整体代入即可； （2）根据等边三角形的性质结合EF⊥DE，可求得，可得. 【详解】解：（1） ∵  ∴ ∴原式=15 （2）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了整式化简求值和等边三角形的性质，整体代入与数形结合思想是解题关键. 22．如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成4个扇形，分别标有1、2、3、4四个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏．当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣4x+3＝0的解的概率． 【答案】(1)见解析;(2). 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可； （2）找出恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的情况数，求出所求的概率即可． 【详解】（1）列表如下： （2）所有等可能的情况有16种，其中是方程x2﹣4x+3=0的解的有（1，3），（3，1）共2种，则P（是方程解）． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． 23．阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 【答案】（1）﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）1 【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可． 【详解】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1， 移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0， ∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程， ∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0， 解得：m＝0，n＝﹣1， ∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1， 答：（m+n）2的值是1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． 24.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）； (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义，即可求解； （2）根据是“勾系一元二次方程”的一个根，可得，再由四边形的周长是，可得，从而得到，继而得到，再根据，可得ab=4，即可求解． 【详解】（1）解：∵ 这里，， ∴， ∴是“勾系一元二次方程”． （2）解：当时，有， 即， ∵四边形的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，勾股定理，理解“勾系一元二次方程”的定义是解题的关键． 25.【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$