2025年中考数学二轮专题复习-特殊四边形问题（二次函数综合）

2025年中考数学二轮专题复习-特殊四边形问题（二次函数综合） 1．如图1，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)点D是二次函数图象上位于第三象限内的点． ①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接，求的面积； ②当点D到直线的距离为最大值时，求此时点D的坐标； (3)若点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使得以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标（不写求解过程）． 2．已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标． (2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E． 若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 3．请你结合“二次函数”的学习经验，研究抛物线． 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别是点和点（点在点的左侧），与轴的交点为点，顶点为． (1)分别写出，，，点的坐标，并在坐标系中画出此抛物线的草图． (2)当时，求函数的取值范围．小亮同学的解答如下： 解：当时，则； 当时，则；所以函数的取值范围为 小亮的解答正确吗？如果错误，请写出正确的解答过程． (3)连接，点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值． (4)点是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 4．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，其顶点纵坐标为． (1)求的值； (2)求，两点的坐标； (3)以，为一组邻边作，则点关于轴的对称点是否在该抛物线上？请说明理由． 5．综合与实践 如图，在半面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，点，与轴交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，过作轴的垂线交轴于点，连接，是第一象限抛物线上一个动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)过点作交直线于点．求线段的最大值和此时点的坐标； (3)点在上（点不与点、点重合），连接，过点作于点，的平分线交于点． ①当直线经过的中点时，点也恰好在直线上，求此时点坐标． ②在①的情况下，平面内有一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 6．已知抛物线恒经过两个定点A和B（点A在点B左侧），现将直线AB作为对称轴，将抛物线进行翻折而得到抛物线，的顶点P与的顶点Q以及两定点A、B组成四边形APBQ． (1)点A和点B坐标分别为______和______； 四边形APBQ的是一种特殊的四边形，它是______，的解析式为______． (2)当点Q到x轴的距离为4时， ①求m值和此时四边形APBQ的面积． ②若直线与两抛物线、共同所组成图像共有4个交点，直接写出当时，a的取值范围． 7．如图，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知抛物线的对称轴为直线l，该抛物线上一点关于直线l的对称点为M，将抛物线沿y轴翻折，点M的对应点为N，请问是否存在点P，使四边形OAPN的面积为20？若存在，判断四边形OAPN的形状，并求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点和另一个顶点均在轴上，，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是斜边上一动点不与、重合，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)若点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由． 10．如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与y轴交于点C． （1）求该抛物线的关系式，并判断的形状； （2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、B、C、D四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标 ； （3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． 11．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点． (1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标； (4)若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 12．已知抛物线与ｘ轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上一个点，点Q是平面内一点，当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为边的菱形时，求点P的坐标． 13．已知：平面坐标系内点和点，点到点的距离始终等于点到轴的距离． (1)请你求出点满足的函数关系式； (2)如果（）中求出的函数图象记为，是沿着水平方向平移得到的，若点在上，点是平移后点的对应点，点是轴上的点．是否存在这样的点，使得以、、、为顶点的四边形是有一个内角为且为菱形？若存在，请你求出点坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线的对称轴与x轴交于点，与y轴交于点，C为该抛物线图象上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点C在第一象限，且，求的值； (3)点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 16．如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．    (1)A点的坐标是_____________；B点坐标是________________； (2)求直线BC的解析式； (3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由； (4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)二次函数的解析式为； (2)①；②点到直线的距离取得最大时，； (3)存在，点的坐标为或或． 2．(1)， (2)存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形． 3．(1)，，， (2)错误， (3) (4)或或 4．(1) (2)的坐标 ，的坐标 (3)在抛物线上 5．(1)， (2)， (3)①，②，，， 6．(1)，菱形，； (2)①，四边形APBQ的面积为2，时，四边形APBQ的面积14；②且 7．（1）；（2）存在，P（-5，-5）或（1，-5）． 8．(1) (2)当时，有最大值，且最大值为 (3)存在，或或或 9．(1) (2) (3)或或或 10．（1）抛物线的解析式为y=-x2+x+1；△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°（2）D（，1）；（3）点P（，-）或（-，-9） 11．(1)； (2)略 (3)点P的坐标为 (4)点N的坐标为或或． 12．(1) (2)点的坐标为：，，，，， 13．(1)； (2)存在，坐标为、，，． 14．(1) (2) (3)存在；，， 15．(1) (2)， (3)存在，，，， 16．(1)， (2)直线的解析式为 (3)存在点，使的面积最大，最大面积是16 (4)满足条件的点的坐标为，，，，， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$