16.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 课件 2024--2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级（下） 第十六章 二次根式 16.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 正数有 个平方根且 互为 数 0 的平方根是_______ 负数_____平方根 非负数 a 的平方根表示为 . 平方根的性质 1 两 相反 零 没有 复习导入 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道：负数没有平方根。因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0。 复习引入 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m． (2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m． 图 图 新课探究 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____． 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． 二次根式的概念及有意义的条件 一 ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 新课探究 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 新课探究 归纳总结 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1. 例题精析 解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 归纳 (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 归纳总结 归纳总结 1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______; (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________. x ≥1 x ≥0且x≠2 请你练习 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0； 当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0. 这就是说，当a≥0时， ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 二次根式的双重非负性 二 拓展提高 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 例3 若 ，求a -b+c的值. 解： 由题意可知a-2=0，b-3=0，c-4=0, 解得a=2，b=3，c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 例题精析 归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 例4 已知y= ，求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 例题精析 【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 归纳 若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 例题精析 正数只有____个算术平方根 0 的算术平方根是_____ 负数_____算术平方根 非负数 a 的算术平方根 表示为 . 算术平方根的性质 2 没有 零 一 思考 用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1) 如图①的海报为正方形， 若面积为 2 m2，则边长为_____m； 若面积为 S m2，则边长为_____m． 图① 知识点1：二次根式的概念及有意义的条件 (2) 如图②的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m． 图② (3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位：s) 与开始落下的高度 h (单位：m) 满足关系 h = 5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 ． 开始落下的高度 h = 5t2 (t＞0) 解析： h = 5t2 被开方数(式)大于 0 不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根. 问题1 这些式子还有什么共同特征？ 含有“ ”，根指数是 2 问题2 是否存在 ，为什么呢？ 3 S 65 0 a a a a a 那对于形如 的式子我们怎么去定义它呢？ 注意：a 可以是数，也可以是式. 通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？ 一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外在特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数(式) a≥0 二次根式的定义 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： √ √ √ × × 典例精析 变式1：下列各式中是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 有意义 例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义? 答案：当 x≥2 时， 在实数范围内有意义. 【变式2】二次根式 有意义的条件是 . 【例3】式子 在实数范围内有意义的条件是 . 【变式3】式子 在实数范围内有意义的条件是 . 【方法总结】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 知识点2：二次根式的双重非负性 那么当 a≥0 时， 的大小是怎样的呢？ 有意义 a≥0 回顾之前思考的过程. 分别表示 2，S，3， ，0 的 根． 算术平方 探究 形如 ( 一般 ) 意义 大小 总结 (a＞0) (a = 0) 表示 a 的算术平方根 表示 0 的算术平方根 ＞0 ＝0 当 a≥0 时， ≥0 实例 ( 特殊 ) 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 请你练习 2.式子 有意义的条件是 （ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值 为______． 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A -1 0 当堂检测 4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 当堂检测 5.若x，y是实数，且y= , 求 的值. 解：根据题意得， ∴ x=1. ∵y= , ∴y= ， ∴ . 当堂检测 7.先阅读，后回答问题： 当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得x(x-1)≥0 由乘法法则得 解得x≥1 或x≤0 即当x≥1 或x≤0时， 有意义. 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得 则 解得x≥2或x＜ ， 即当x≥2或x＜ 时， 有意义． 当堂检测 二次根式的被开方数或式非负(a≥0) 二次根式的值非负 ( ≥0) 二次根式 的双重非负性 二次根式的实质是表示一个非负数 (或式) 的算术平方根.对于任意一个二次根式 归纳总结 定义 在有意义条件下求字母的取值范围 二次根式的双重非负性 二次根式 抓住被开方数必须为_________，从而建立不等式求出其解集 我们把形如___________的式子叫做二次根式 课堂小结 非负数 二次根式 中，____________ a≥0且 ≥0 课后巩固 1．下列各式： ， ， ， (x≥1)，中，一定是二次根式的有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2.若 是二次根式，则a的值不可是（ ） A.4 B. C.90 D.-2 课后巩固 3.使 在实数范围内有意义的x的取值范围是 . 4.使 在实数范围内有意义的条件是 . 5.使 在实数范围内有意义的x的取值范围是 . 拓展提升 1.若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 . 2.已知x，y都是实数，且 ， 则 的值为___________. 答案：a - b + c＝3. a - 2＝0，b - 3＝0，c - 4＝0 a，b，c 的值 总结 多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 3. 若 ，求 a - b + c 的值. 分析： 作业布置 选做题： 第5页习题16.1 第3题 必做题： 第5页习题16.1第1题、第7题 祝同学们学习愉快！ 期待下一节的精彩…… $$