专题1.4 二次根式（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

二次根式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）在根式中，同类二次根式有（    ）组 ①和；②和；③和；④和；⑤和 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 根据同类二次根式的定义，把各个二次根式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的一组即可得求解． 【解题过程】 解：①，，不是同类二次根式； ②是最简二次根式， ，是同类二次根式； ③和，不是同类二次根式； ④，，是同类二次根式； ⑤，，是同类二次根式； 同类二次根式有三组， 故选：C． 2．（3分）（2024八年级上·全国·专题练习）若，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了非负数的性质，二次根式乘法计算，根据非负数的性质得到，则，据此求出四个选项中的数，再计算着四个数与的乘法即可得到答案． 【解题过程】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∴，，，， 故选：A． 3．（3分）（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点．由题干中数据总结规律求得，再根据有理化因式计算即可． 【解题过程】 解：第1个数据为， 第2个数据为， 第3个数据为， 第4个数据为， 则第10个数据为， ∴为， ∴与的积为有理数的是， 故选：D． 4．（3分）（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 5．（3分）（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，，那么 的值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 6．（3分）（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 【解题过程】 解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 7．（3分）（23-24八年级下·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 8．（3分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 9．（3分）（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可． 【解题过程】 解：①当时，，故①正确； ②当整数时，则为整数， 为整数， 为整数，取整数， 当或时，也为整数，故②错误； ③， 当时，的最小值为，故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故选:B． 10．（3分）（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　） ①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【思路点拨】 本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合计算，分母有理化，注意：认真阅读材料，理解材料中的知识，分母有理化，解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化． ①，把直接分母有理化即可判断． 把和分别分母有理化比较大小即可． 把原式的各项先分母有理化，再化为两个根式的差，计算即可得到结果． ④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断． ⑤先化简成和两个式子，把两个式子相加即可求出，再判断即可． ⑥分别把x和y分母有理化，求出和的值，代入，求出，再求出的值即可． 【解题过程】 解：①若a是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意． ②∵，，， ∴， 故②正确，符合题意． ③ ． 故③错误，不符合题意． ④， ， ， ∴均不能对其分母有理化， 故④正确． ⑤∵， ∴， ∴， 同理，两式相加得，， ∴． 故⑤正确． ⑥， ， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故⑥正确． 故选：C． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（23-24八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【思路点拨】 根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【解题过程】 解：∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 12．（3分）（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【思路点拨】 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【解题过程】 解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（3分）（24-25九年级上·上海·阶段练习）化简 ． 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案即可，正确化简二次根式是解题关键． 【解题过程】 解： ， 故答案为：． 14．（3分）（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【解题过程】 解：将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． 15．（3分）（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号． （1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；　 （2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ． 【思路点拨】 （1）设“○”表示的数为，根据二次根式的加减运算进行计算即可求解； （2）根据题意，分别计算当“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号时的算式，即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【解题过程】 （1）设“○”表示的数为， 则，解得：， ∴“○”表示的数为， 故答案为：； （2）由（1）得：“○”表示的数为， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， ∴， ∴“□”表示的运算符号是“”， 故答案为：． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（12分）（24-25八年级上·山东青岛·期末）化简计算： （1） （2） （3） （4）； （5）； （6）． 【思路点拨】 本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先根据立方根和算术平方根的性质化简，再计算，即可求解； （2）先根据算术平方根的性质化简，再计算，即可求解． （3）根据平方差公式和二次根式的混合运算法则计算即可求解； （4）把被开方数化为完全平方的形式即可得解， （5）将转化为，再根据解答过程即可得解， （6）将转化为，再根据解答过程即可得解； 【解题过程】 （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 17．（4分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． （1）求长方形的周长． （2）除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【思路点拨】 本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【解题过程】 （1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 18．（4分）（23-24八年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； （1）根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） （2）根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【思路点拨】 （1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【解题过程】 （1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 19．（6分）（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． （1）直接写出a，b，c的值； （2）请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； （3）如图，若于点D，的平分线交于点E，求的长． 【思路点拨】 本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式、角平分线的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）根据非负数的性质得到，然后解一次方程得到a、b、c的值即可； （2）选择公式①，先计算出，再把a、b、c、p的值代入公式①，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算即可；选择公式②，把a、b、c的值代入公式②计算即可； （3）如图：过E点作于H点，先利用为等腰三角形得到，再根据角平分线的性质得到，然后利用面积法得到，从而可求出的长． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴． ∴． （2）解：选择公式①：∵， ∴ ； 选择公式②：∵， ∴ ． （3）解：如图：过E点作于H点， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ，解得：． 20．（6分）（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方． 因为，， 所以，所以． 请利用“平方法”解决下列问题： （1）比较，的大小； （2）猜想，之间的大小关系，并说明理由； （3）化简：________． 【思路点拨】 本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， 当时，即， ， 当时，即， ， 综上，的值为或， 故答案为：或． 21．（6分）（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： （1）比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． （2）运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； （3）计算：； （4）若，求的值． 【思路点拨】 本题考查的是分母有理化，分子有理化，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即可． （1）根据分母有理化是要求把原式化简， 再比较即可得到答案； （2）根据分子有理化是要求把原式变形为， 再计算出结果， 再比较大小即可； （3）依次把每一项分母有理化，再合并即可； （4）把进行分母有理化化简，再将其代入即可求解． 【解题过程】 （1）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解： ， ， 由， ， ． （3）解： ； （4）解：， ∴． 22．（8分）（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． （1）化简： （2）猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 （3）计算：； 任务三：探究 （4）已知，，比较x和y的大小，并说明理由． 【思路点拨】 本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【解题过程】 （1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 23．（9分）（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． （1）若，求的最小值________；若，求的最小值________． （2）已知且，求的最小值是? （3），且，不等式恒成立，求的范围? （4）已知且，求的最小值? 【思路点拨】 本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）时，，根据，计算求解，然后作答即可；当时，，根据，计算求解，然后作答即可； （2）同理（1），根据 ，计算求解，然后作答即可； （3）同理（1），根据 ，计算求解即可； （4）由，可得，根据求解，进而可得，然后作答即可． 【解题过程】 （1）解：当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6； 故答案为：4，6； （2）解：∵且， ∴，， ∴ ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，且，则，， ∴ ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立， ∴的最小值，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次根式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）在根式中，同类二次根式有（    ）组 ①和；②和；③和；④和；⑤和 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（3分）（2024八年级上·全国·专题练习）若，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 5．（3分）（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，，那么 的值为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）（23-24八年级下·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 9．（3分）（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（3分）（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　） ①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（23-24八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 12．（3分）（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 13．（3分）（24-25九年级上·上海·阶段练习）化简 ． 14．（3分）（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 15．（3分）（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号． （1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；　 （2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（12分）（24-25八年级上·山东青岛·期末）化简计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 17．（4分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． （1）求长方形的周长． （2）除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 18．（4分）（23-24八年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； （1）根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） （2）根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 19．（6分）（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． （1）直接写出a，b，c的值； （2）请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； （3）如图，若于点D，的平分线交于点E，求的长． 20．（6分）（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方． 因为，， 所以，所以． 请利用“平方法”解决下列问题： （1）比较，的大小； （2）猜想，之间的大小关系，并说明理由； （3）化简：________． 21．（6分）（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： （1）比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． （2）运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； （3）计算：； （4）若，求的值． 22．（8分）（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． （1）化简： （2）猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 （3）计算：； 任务三：探究 （4）已知，，比较x和y的大小，并说明理由． 23．（9分）（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． （1）若，求的最小值________；若，求的最小值________． （2）已知且，求的最小值是? （3），且，不等式恒成立，求的范围? （4）已知且，求的最小值? 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$