专题7.2 平行线及其判定（3大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题7.2 平行线及其判定（3大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【要点提示】 （1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【知识点2】平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【要点提示】 （1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 【知识点3】直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【要点提示】平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 考点与题型目录 【考点一】平行公理及其推论 【题型1】平行公理的应用......................................................3 【题型2】平行公理推论的应用..................................................3 【题型3】尺规作图——用直尺、三角板画平行线..................................4 【考点二】平行线的判定 【题型4】同位角相等两直线平行................................................5 【题型5】内错角相等两直线平行................................................5 【题型6】同旁内角互补两直线平行..............................................6 【题型7】垂直于同一直线的两直线平............................................7 【考点三】平行线的判定综合 【题型8】平行线的判定综合....................................................8 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接............................................................9 【题型10】拓展延伸..........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点一】平行公理及其推论 【题型1】平行公理的应用 【例1】（2024八年级上·浙江·专题练习）已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（23-24七年级下·河南·阶段练习）如图，若，，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“相交”）． 【题型2】平行公理推论的应用 【例2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线a，b，c在同一平面内，若，，则 【变式1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如果，，那么，这个推理的依据是（    ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．两直线平行，同位角相等 D．平行于同一直线的两条直线平行 ★【变式2】（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【题型3】尺规作图——用直尺、三角板画平行线 【例3】（2023·云南昆明·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    ★【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，F是直线上一点，按要求画图： （1）过点F作直线的垂线段，垂足为E； （2）过点W作直线的平行线，交线段于点M． （3）过点A作线段的垂线，垂足为N； 【考点二】平行线的判定 【题型4】同位角相等两直线平行 【例4】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（    ） A． B． C． D． ★【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将长方形纸片的沿着折叠，使点落在长方形的内部点处，若平分，，，则与的位置关系是 ． ★【变式2】（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． ★【题型5】内错角相等两直线平行 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境·潜望镜 世界上最早记载潜望镜原理的古书是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是 ． ★【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【题型6】同旁内角互补两直线平行 【例6】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵（已知） ∴____________（   ） （2）∵（已知） ∴（   ） （3）∵（已知） ∴（   ） （4）∵（已知） ∴____________（   ） 【变式1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图，点E在的延长线上，给出下列条件： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），能判断出的条件有 ．（填序号） 【题型7】垂直于同一直线的两直线平行 ★【例7】（22-23七年级下·全国·课后作业）探索与发现（在同一平面内）： （1）若直线，，判断直线与的位置关系，请说明理由； （2）若直线，，，则直线与的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明） （3）现在有2023条直线，，，…，，且有，，，，…，请你探索直线与的位置关系． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 ★【变式2】（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【题型8】平行线的判定综合 ★【例8】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    ★【变式1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接． （1）判断与是否垂直，并说明理由； （2）若与互余，判断与是否平行，并说明理由． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】中考链接 【例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 【例2】（2021·甘肃兰州·中考真题）将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 ． 【题型10】拓展延伸 ★★【例1】（18-19七年级下·全国·课后作业）如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由. ★★【例2】（21-22七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2 平行线及其判定（3大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【要点提示】 （1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【知识点2】平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【要点提示】 （1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 【知识点3】直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【要点提示】平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 考点与题型目录 【考点一】平行公理及其推论 【题型1】平行公理的应用......................................................3 【题型2】平行公理推论的应用..................................................4 【题型3】尺规作图——用直尺、三角板画平行线..................................5 【考点二】平行线的判定 【题型4】同位角相等两直线平行................................................7 【题型5】内错角相等两直线平行...............................................10 【题型6】同旁内角互补两直线平行.............................................11 【题型7】垂直于同一直线的两直线平...........................................14 【考点三】平行线的判定综合 【题型8】平行线的判定综合...................................................16 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接...........................................................18 【题型10】拓展延伸..........................................................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点一】平行公理及其推论 【题型1】平行公理的应用 【例1】（2024八年级上·浙江·专题练习）已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论的应用，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，熟记相关结论即可． 解：∵如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故A正确，不符合题意； ∵同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意； ∵如果一条直线垂直于另一条直线，则该直线垂直于这条直线的平行直线，故D正确，不符合题意； 故选： B． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查平行公理及其推论，点到直线的距离的定义，垂直的性质，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键．分别利用平行公理推论、点到直线的距离的定义、垂直的性质、平行公理判断即可． 解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故①正确； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②不正确； 过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故③不正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故④不正确； 所以正确的有①，共个． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·河南·阶段练习）如图，若，，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“相交”）． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 【题型2】平行公理推论的应用 【例2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线a，b，c在同一平面内，若，，则 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．根据平行公理、点到直线的距离、平行线的判定等知识判断求解即可． 解：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选项A不符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选项B符合题意； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是这点到这条直线的距离， 故选项C不符合题意； 直线，，在同一平面内，若，，则， 故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如果，，那么，这个推理的依据是（    ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．两直线平行，同位角相等 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键． 解：因为，， 所以； 故选：D． ★【变式2】（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【题型3】尺规作图——用直尺、三角板画平行线 【例3】（2023·云南昆明·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 【变式1】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； ★【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，F是直线上一点，按要求画图： （1）过点F作直线的垂线段，垂足为E； （2）过点W作直线的平行线，交线段于点M． （3）过点A作线段的垂线，垂足为N； 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题主要考查过一点作已知线段的垂线段，和过一点作已知直线的平行线，掌握作图方法是解题的关键． （1）过直线外一点F作已知直线的垂线画出即可； （2）过直线外一点W作已知直线的平行线画出即可； （3）过直线外一点A作已知直线的垂线画出即可； 解：（1） （2） （3） 【考点二】平行线的判定 【题型4】同位角相等两直线平行 【例4】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 解：∵，，故A符合题意； 由，不能判定，故B不符合题意； 由，不能判定，故C不符合题意； 由，不能判定，故D不符合题意． 故选： A． ★【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将长方形纸片的沿着折叠，使点落在长方形的内部点处，若平分，，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，折叠的性质，角平分线定义的应用，根据长方形的性质和直角三角形的性质可求，根据折叠求出，根据平角的定义可求，再根据角平分线定义求出，再根据直角三角形的性质可求的度数，进而得，再根据平行线的判定即可求解． 解：因为四边形是长方形， 所以， 因为， 所以， 根据折叠可得， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． ★【变式2】（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键；先证明，通过等量代换可证，再根据平行线的判定可证． 解：证明：， ， ， ， ， ． ★【题型5】内错角相等两直线平行 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可． 解：A．根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； B．∵平分交于点． ， ∵， ， 根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， 根据同位角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； D．不能得出，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境·潜望镜 世界上最早记载潜望镜原理的古书是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行作答即可． 解：根据题意可知它所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． ★【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【答案】，理由见分析 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 解：可以判断，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 【题型6】同旁内角互补两直线平行 【例6】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵（已知） ∴____________（   ） （2）∵（已知） ∴（   ） （3）∵（已知） ∴（   ） （4）∵（已知） ∴____________（   ） 【答案】（1），内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4），同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判断，根据平行线的判定方法逐一进行作答即可，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． 解：（1）解：∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） （2）∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） （3）∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） （4）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） 【变式1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 解：A．，根据内错角相等，两直线平行可得，故不符合题意； B．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故符合题意； C．，根据两同位角相等，两直线平行可得，故不符合题意； D．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故不符合题意； 故选B． ★【变式2】（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图，点E在的延长线上，给出下列条件： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），能判断出的条件有 ．（填序号） 【答案】（2）（4）（5） 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，逐项判断即可求解． 解：（1），则； （2），则； （3），则； （4），则； （5），则； （6），则， 所以能判断出的条件有（2）（4）（5）． 故答案为：（2）（4）（5） 【题型7】垂直于同一直线的两直线平行 ★【例7】（22-23七年级下·全国·课后作业）探索与发现（在同一平面内）： （1）若直线，，判断直线与的位置关系，请说明理由； （2）若直线，，，则直线与的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明） （3）现在有2023条直线，，，…，，且有，，，，…，请你探索直线与的位置关系． 【答案】（1）．理由见分析；（2）；（3）直线与的位置关系是 【分析】（1）根据垂直定义和平行线的性质求解即可； （2）根据垂直定义和平行线的性质求解即可； （3）根据垂直定义和平行线的性质，找到变化规律即可求解． 解：（1）解：．理由如下： 如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，又，根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得 ， 故答案为：； （3）解：直线与，的位置关系分别是，，直线与，的位置关系分别是，，从开始，直线，，…，与直线的位置关系以，，，为一次循环， ∴，， ∴直线与的位置关系是． 【点拨】本题考查垂直定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，得到变化规律是解答的关键． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定是关键； 方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行即可得出答案． 解：由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定；方案Ⅱ是根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，判定． 故选C． ★【变式2】（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为：平行． 【题型8】平行线的判定综合 ★【例8】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【答案】或或或 【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键． 设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案 解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，，解得：； 当秒时，，解得：； 当秒时，木棒a停止运动， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：； ，解得：， 当时，木棒b停止运动， 综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行， 故答案为：或或或． ★【变式1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，故本选项符合题意； B、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意； 故选：A． ★【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接． （1）判断与是否垂直，并说明理由； （2）若与互余，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】（1），见分析；（2），见分析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是： （1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 解：（1）解：， 证明：平分，平分， ，， ， ； （2）证明：， ， 与互余， ， ， ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】中考链接 【例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 解：∵， ∴福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B． 【例2】（2021·甘肃兰州·中考真题）将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 【分析】根据三角板的角度可知，根据内错角相等，两直线平行判断即可． 解：一副三角板如图摆放， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行． 【点拨】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键． 【题型10】拓展延伸 ★★【例1】（18-19七年级下·全国·课后作业）如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由. 【答案】平行，理由见分析. 【分析】先做辅助线延长BE，交CD于F，根据∠BEC+∠CEF=180°可得到∠CEF的度数；再根据三角形内角和定理即可得到∠BFC=60°，至此，再结合平行线的判定定理即可得到结论. 解：AB∥CD,理由如下: 如图所示,延长BE,交CD于点F, 因为∠BEC=95°, 所以∠CEF=180°-95°=85°. 又因为∠DCE=35°, 所以∠BFC=180°-∠DCE-∠CEF=180°-35°-85°=60°. 因为∠ABE=120°（已知）, 所以∠ABE+∠BFC=180°, 所以AB∥CD（同旁内角互补,两直线平行）. 【点拨】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键. ★★【例2】（21-22七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查平行线的判定，分三种情况： ①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； ③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 解：分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ∵，，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ②旋转到与都在的右侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ③旋转到与都在的左侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∵， ∴此情况不存在； 综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行． 故答案为：秒或秒． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$