精品解析：安徽省马鞍山市第七中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2025届九年级上学期期末质量调研检测 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 二次函数的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 2. 将函数的图象平移后得到函数的图象，平移方式正确的是（ ） A. 向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B. 向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D. 向左平移3个单位，再向下平移2个单位 3. 已知，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 点，，均在的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看做是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度（米）与水平距离（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，抛物线，对称轴为直线，下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，顶点的坐标为 C. 当时，，则 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 12 9. 如图，在平行四边形中，在边上，，与交于点，平行四边形的面积为，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，与交于点O，M是的中点．P，Q两点沿着方向分别从点B，点M同时出发，并都以的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围______． 12. 在中，，，点D在边上，且，点E在上，当______时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 13. 将等边三角形沿直线平移得到，使点与C重合，连接，则的值为______． 14. 已知点在抛物线上． （1）若的取值范围是________； （2）将抛物线上A，B两点之间（含A，B两点）的图象设为G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，中，D是上一点，，，，求证：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中．将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）在图2中，在线段上画一个点M，使． 18. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，，且与反比例函数的图象在第一象限内交于点，作轴于点，． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出时对应的的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图所示，和中，，，且平分． （1）求证：； （2）点是边的中点，连接和，和交于点，若，，求的长． 20. 渡江战役纪念馆位于合肥滨湖新区，是国家级国防教育示范基地、全国爱国主义教育示范基地．纪念馆广场中胜利塔代表着“八一”军队的胜利，塔体从空中俯看呈五角星状．小明同学想测量该胜利塔的高度，如图所示，他用高为1.5米的测角器在与塔的底部B成一条直线的C，D两处地面上，分别测得塔顶部A的仰角，，同时量得米．问胜利塔的高度约为多少米？ （，，，，精确到1米） 六、（本题满分12分） 21. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为80元的“吉祥龙”公仔，由于销售火爆，公仔的销售单价一直上涨到每个125元，此时每天可售出75个．物价部门规定，商品利润不得超过进价的，同时市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个． （1）设这种“吉祥龙”公仔的销售单价为x元，销售量为y个，求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围． （2）那么销售单价应降低多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少元？ 七、（本题满分12分） 22. 在矩形中，E是边上一点，连接，将沿翻折得到． （1）如图1，若，，当点F在矩形对角线上时，求的长； （2）如图2，当点F在上时，若，，求的长； （3）如图3，当点F在上时，延长与的平分线交于点G，交于点H，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过坐标原点和点A，顶点为点M． （1）求抛物线的函数关系式及点M的坐标； （2）如图2，点E是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求E点的坐标； （3）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，请探究与之间存在怎样的数量关系？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届九年级上学期期末质量调研检测 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 二次函数的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质， 将化成顶点式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选D． 2. 将函数的图象平移后得到函数的图象，平移方式正确的是（ ） A. 向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B. 向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D. 向左平移3个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由题意得：平移方式正确的是向左平移3个单位，再向下平移2个单位； 故选D． 3. 已知，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意易得，然后可依次排除选项． 【详解】解：由可知：， ∴，，，； 故选C． 4. 点，，均在的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，则该函数在其每个象限内，y随x的增大而减小，然后问题可求解． 【详解】解：由可知：， ∴该函数在其每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，均在的图象上， ∴， 故选A． 5. 如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．在直角三角形中，根据正弦的意义可求解． 【详解】解：如图， ∴， ∴； 故选B 6. 杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看做是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度（米）与水平距离（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用（投球问题），把化成顶点式，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 将函数解析式化为顶点式，再求二次函数的最值即可． 【详解】解：， ∵， 当时，取得最大值， ∴羽毛球飞出的最大高度为米， 故选：A． 7. 如图，抛物线，对称轴为直线，下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，顶点的坐标为 C. 当时，，则 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据对称轴公式和二次函数的性质，结合选项即可得到答案. 【详解】解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴对称轴为直线 ∴，故A选项不正确； 当时， ∴顶点的坐标为，故B选项不正确； 当时，由图象知此时 即 ∴，故C选项正确； ∵对称轴为直线且图象开口向上 ∴当时，y随x的增大而增大，故D选项不正确； 故选C． 8. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．应用反比例函数比例系数k的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可． 【详解】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，在边上，，与交于点，平行四边形的面积为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质可知，根据可知，根据平行四边形对边平行可证，根据相似三角形对应边成比例可知，从而可知，根据三角形的面积公式可求的面积． 【详解】解：如下图所示，连接， 平行四边形的面积为，是平行四边形的对角线， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：D． 10. 如图，在矩形中，与交于点O，M是的中点．P，Q两点沿着方向分别从点B，点M同时出发，并都以的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了矩形的性质，三角形的面积，求出点P、Q到达各转折点时的时间，然后分情况讨论是解题的关键， 根据矩形的性质求出点到的距离等于4，到的距离等于6，求出点到达点的时间为，点到达点的时间为，点到达点的时间为，然后分①时，点、都在上，表示出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②时，点在上，点在上，表示出、，然后根据列式整理即可得解；③时，表示出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵矩形中，与交于点， ∴点到的距离，到的距离， ∵点是的中点， ∴， ∴点到达点的时间为， 点到达点的时间为， 点到达点的时间为， ①时，点都在上，， 的面积； ②时，点在上，点在上，， ， ∴当时，的面积最小，且最小值为10； ③时，， 的面积； 纵观各选项，只有B选项图形符合． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数与x轴的交点问题是解题的关键；因此此题可分当时，则函数为一次函数，与x轴必有交点，当时，则可根据“当时，二次函数与x轴有两个交点；当时，二次函数与x轴有一个交点；当时，二次函数与x轴没有交点”进行求解即可． 【详解】解：由题意得：当时，即，则函数为，与x轴必有交点，故符合题意； 当时，即时，则函数为二次函数， ∴， 解得：且； 综上所述：； 故答案为． 12. 在中，，，点D在边上，且，点E在上，当______时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 13. 将等边三角形沿直线平移得到，使点与C重合，连接，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查平移的性质、等边三角形的性质、勾股定理及正切的意义，熟练掌握平移的性质、等边三角形的性质、勾股定理及正切的意义是解题的关键；过点作于点D，由题意易得，然后根据正切的定义可进行求解． 【详解】解：过点作于点D，如图所示： ∵等边三角形沿直线平移得到， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 14. 已知点在抛物线上． （1）若的取值范围是________； （2）将抛物线上A，B两点之间（含A，B两点）的图象设为G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为直线，再由，可得抛物线上的点离对称轴越远，函数值小，从而得到，即可求解； （2）根据题意可得，再由抛物线的顶点坐标为，可得，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值小， ∵点在抛物线上，， ∴， 解得：， 即若的取值范围是； 故答案为：； （2）∵直线与图象G有两个交点， ∴， 根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴函数的最大值为5， ∴， 由（1）得：抛物线上的点离对称轴越远，函数值小， 当，即时，此时直线在点的上方或过点B， ∴， ∵， ∴此时的值随着h的增大而增大， ∴，即， ∴； 当，即时，此时直线在点的上方或过点B， ∴， ∵， ∴此时的值随着h的增大而减小， ∴，即， ∴； 综上所述，k的取值范围为． 故答案为： 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；根据特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，中，D是上一点，，，，求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求证． 【详解】略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中．将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）在图2中，在线段上画一个点M，使． 【答案】（1） 所作如图所示： （2） 所作点M如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形及相似三角形的性质是解题的关键； （1）根据位似图形的性质可直接进行求解； （2）根据相似三角形的性质可进行求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，，且与反比例函数的图象在第一象限内交于点，作轴于点，． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出时对应的的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，一次函数与反比例函数综合，解一元二次方程； （1）根据题意得出，，，则，待定系数法求一次函数解析式；进而证明得出，待定系数法求反比例函数解析式，即可求解； （2）联立一次函数与反比例函数解析式，得出，结合函数图象，写出直线在双曲线下方时的自变量的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴，，，则， 把，代入 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为 【小问2详解】 解：联立 解得：或 ∴ 根据函数图象可得时对应的的取值范围为或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图所示，和中，，，且平分． （1）求证：； （2）点是边的中点，连接和，和交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， 即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、直角三角形的性质、等腰三角形的性质． （1）根据角平分线的性质可知，根据，可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据等边对等角，可知，根据内错角相等，两直线平行，可证，从而可证，根据相似三角形的性质可以求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点是边的中点，，， ， ， ， ， ， ． 20. 渡江战役纪念馆位于合肥滨湖新区，是国家级国防教育示范基地、全国爱国主义教育示范基地．纪念馆广场中胜利塔代表着“八一”军队的胜利，塔体从空中俯看呈五角星状．小明同学想测量该胜利塔的高度，如图所示，他用高为1.5米的测角器在与塔的底部B成一条直线的C，D两处地面上，分别测得塔顶部A的仰角，，同时量得米．问胜利塔的高度约为多少米？ （，，，，精确到1米） 【答案】99米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得米，米，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， ∴米； 答：胜利塔的高度约为99米． 六、（本题满分12分） 21. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为80元的“吉祥龙”公仔，由于销售火爆，公仔的销售单价一直上涨到每个125元，此时每天可售出75个．物价部门规定，商品利润不得超过进价的，同时市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个． （1）设这种“吉祥龙”公仔的销售单价为x元，销售量为y个，求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围． （2）那么销售单价应降低多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）单价降低15元时，每天所获销售利润最大，最大利润是4500元 【解析】 【分析】本题主要考查了列一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，找准等量关系、正确列出函数解析式是解题的关键． （1）先根据题意列出y关于x的函数关系式，然后再根据商品利润不得超过进价的确定x的取值范围即可； （2）设每天所获销售利润为w元，，再根据题意列出w关于x的函数解析式，然后化成顶点式即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵商品利润不得超过进价的， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设每天所获销售利润为w元，， 则， ∴当元（降低了15元）每天所获销售利润最大，最大利润是4500元， ∴单价降低15元时，每天所获销售利润最大，最大利润是4500元． 七、（本题满分12分） 22. 在矩形中，E是边上一点，连接，将沿翻折得到． （1）如图1，若，，当点F在矩形对角线上时，求的长； （2）如图2，当点F在上时，若，，求的长； （3）如图3，当点F在上时，延长与的平分线交于点G，交于点H，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据折叠的性质可得、、，再根据勾股定理可得，进而得到，最后运用勾股定理即可解答； （2）由矩形的性质可得，，再结合折叠的性质可得，进而说明即，然后根据勾股定理即可求解； （3）如图，过点H作于点M，再证可得，进而得到，；则有，设，则有，最后代入即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 设，根据折叠的性质可得、，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，解得， 即． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则有，， ∴在中，， ∴，解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点H作于点M． ∵， ∴由折叠的性质可知：， ∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则有， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过坐标原点和点A，顶点为点M． （1）求抛物线的函数关系式及点M的坐标； （2）如图2，点E是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求E点的坐标； （3）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，请探究与之间存在怎样的数量关系？ 【答案】（1）抛物线的表达式为，点M的坐标为 （2）点E的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）由直线的表达式知，，则，则，由点D、M的坐标得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：对于，令，解得，令，则， 故点A、B的坐标分别为、， ∵抛物线经过坐标原点，故， ∴将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为； 则抛物线的对称轴为，当时，， 则点M的坐标为； 【小问2详解】 解：如图1，过点E作轴交于点H， ∴由（1）可知：， 设点E的坐标为，则点， 则的面积， 解得， 故点E的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵直线向下平移后过点， ∴设直线的表达式为， ∴，解得：， 故直线的表达式为， 令，解得， 故点； 过点D作于点H， ∵，即点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为3， ∴，则， ∵， ∴， 由点D、M的坐标得，， 则， 故， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，熟练掌握二次函数的图象与性质及三角函数是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $