第二章 方程(组)与不等式(组)（教师专享）-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

教师备课尊享·陕西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第二章　 方程(组)与不等式(组) 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 一 知识思维导图串讲 8 教师备课尊享·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 二 陕西近 4 年中考考情分析 1. 近 4 年题型、题位、分值的分析与总结 　 　 　 年份 题型　 　 　 2024 年 2023 年 2022 年 2021 年 选择题 4 题 3 分 — — — 填空题 — — 11 题 3 分 11 题 3 分 解答题 16 题 5 分 20 题 5 分 14 题 5 分 20 题 5 分 15 题 5 分 15 题 5 分 16 题 5 分 19 题 5 分 题量总计 3 道 2 道 2 道 4 道 分值总计 13 分 10 分 8 分 18 分 【考情总结】 (1)近 4 年中,2024 年首次在选择题考查 1 道 3 分; (2)近 4 年填空题考查 2 次,考则每年 1 道,近 2 年未在填空题考查; (3)近 4 年中解答题每年 1-3 道,2 道居多,5-15 分,除 2022 年均考查 1 道一次方程实际应用. 2. 章内各版块考查频次、特点的分析与总结 　 　 　 年份 版块　 　 　 2024 年 2023 年 2022 年 2021 年 一次方程(组) 20 题 5 分 20 题 5 分 — 11 题 3 分 19 题 5 分 一元二次方程 — — 11 题 3 分 — 分式方程 16 题 5 分 — — 16 题 5 分 一元一次不 等式(组) 4 题 3 分 14 题 5 分 15 题 5 分 15 题 5 分 【考情总结】 (1)一次方程(组):近 4 年 4 考,考则每年考 1-2 道,考查总分值 5-8 分,解答题均在 19 和 20 题 考查; (2)一元二次方程:近 4 年仅 2022 年考查 1 道 3 分,结合黄金分割法考查实际应用; (3)分式方程:近 4 年 2 考,考查分值 5 分,一般在 16 题与分式轮换考查; (4)一元一次不等式(组):近 4 年必考,考查分值 3-5 分,近 2 年连续考查不等式,难度在降低. 9 教师备课尊享·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 三 陕西近 4 年中考真题分类+好题类推 版块 1　 一次方程(组) 1. (2021 陕西 11 题 3 分)幻方,最早源于我国,古人称之为纵横图. 如图所示的幻方中,各行、各列及各 条对角线上的三个数字之和均相等,则图中 a 的值为　 -2　 . 第 1 题图 2. (2024 陕西 20 题 5 分)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除. 根据这次大扫除的 任务量,若小峰单独完成,需 4 h;若爸爸单独完成,需 2 h. 当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去 参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了 3 h,求这次 小峰打扫了多长时间. 解:设这次小峰打扫了 x h,则爸爸打扫了(3-x)h, 根据题意得: x 4 +3-x 2 =1, 解得:x=2. 答:这次小峰打扫了 2 h. 3. (2023 陕西 20 题 5 分)小红在一家文具店买了一种大笔记本 4 个和一种小笔记本 6 个,共用了 62 元. 已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多 3 元,求该文具店中这种大笔记本 的单价. 解:设该文具店中这种大笔记本的单价是 x 元,则小笔记本的单价是(x-3)元, 由题意,得 4x+6(x-3)= 62,解得 x=8, 答:该文具店中这种大笔记本的单价为 8 元. 4. (2021 陕西 19 题 5 分)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时,按这种服装每件标价的 8 折 销售 10 件的销售额,与按这种服装每件的标价降低 30 元销售 11 件的销售额相等. 求这种服装每 件的标价. 解:设这种服装每件的标价是 x 元,根据题意得, 10×0. 8x=11(x-30), 解得 x=110, 答:这种服装每件的标价为 110 元. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋好题类 推 4-1　 塞罕坝机械林场经过三代务林人的接续奋斗,已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了 1007 万 m3,已成为目前世界上最大的人工林场;又知现在该林场的林木总蓄积比原来的 31 倍还多 17 万 m3,请问该林场原来的林木总蓄积是多少万 m3? 解:设该林场原来的林木总蓄积是 x 万 m3,则现在该林场的林木总蓄积是(31x+17)万 m3, 根据题意得:31x+17-x=1007, 解得:x=33. 答:该林场原来的林木总蓄积是 33 万 m3 . 01 教师备课尊享·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋4-2　 制作一张桌子要用一个桌面和 4 条桌腿,1 m3 木材可制作 20 个桌面,或者制作 400 条桌腿, 现有 12 m3 木材,应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子? 解:设共做了 x 张桌子,由题意得, 1 20 x+4× 1 400 x=12, 解得:x=200. 则 1 20 x= 1 20 ×200=10(m3), 12-10=2(m3) . 答:用 10 m3 木材制作桌面,2 m3 木材制作桌腿,才能制作尽可能多的桌子. 版块 2　 一元二次方程 5. (2022 陕西 11 题 3 分)在 20 世纪 70 年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选 法”,在全国大规模推广,取得了很大成果. 如图,利用黄金分割法,所作 EF 将矩形窗框 ABCD 分 为上下两部分,其中 E 为边 AB 的黄金分割点,即 BE2 =AE·AB. 已知 AB 为 2 米,则线段 BE 的长 为　 (-1+ 5 ) 　 米. 第 5 题图 版块 3　 分式方程 6. (2024 陕西 16 题 5 分)解方程: 2 x2 -1 + x x-1 = 1. 解:去分母得:2+x(x+1)= (x+1)(x-1), 解得 x=-3, 检验:当 x=-3 时,(x+1)(x-1)≠0, 所以分式方程的解是 x=-3. 7. (2021 陕西 16 题 5 分)解方程: x-1 x+1 - 3 x2 -1 = 1. 解:去分母得(x-1) 2-3=(x+1)(x-1), 解得 x=- 1 2 , 检验:当 x=- 1 2 时,(x+1)(x-1)≠0, 所以 x=- 1 2 是原方程的解. 11 教师备课尊享·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋好题类 推 7-1　 解分式方程: 3 x2 -9 - x 3-x = 1. 解:去分母得:3+x(x+3)= (x+3)(x-3), 解得:x=-4, 检验:把 x=-4 代入(x+3)(x-3)≠0, 则 x=-4 是原分式方程的解. 7-2　 解分式方程: x 2 x2 -4 = 1+ 3 2-x . 解:方程两边都乘(x+2)(x-2),得 x2 =(x+2)(x-2)-3(x+2), x2 =x2-4-3x-6, x2-x2+3x=-4-6, 3x=-10,x=-10 3 , 检验:当 x=-10 3 时,(x+2)(x-2)≠0, 所以分式方程的解是 x=-10 3 . 版块 4　 一元一次不等式(组) 8. (2024 陕西 4 题 3 分)不等式 2(x-1)≥6 的解集是 (　 D　 ) A. x≤2 B. x≥2 C. x≤4 D. x≥4 9. (2023 陕西 14 题 5 分)解不等式: 3x-5 2 >2x. 解:去分母,得 3x-5>4x, 移项,得 3x-4x>5, 合并同类项,得-x>5, 系数化为 1,得 x<-5. ∴不等式的解集为 x<-5. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 9-2 题解图 好题类 推 9-1　 解不等式:1 -x 3 -x<3. 解:去分母:1-x-3x<9, 移项:-4x<8, 系数化为 1:x>-2. ∴不等式的解集为 x>-2. 9-2　 解不等式:1- x 3 >x -3 6 ,并将它的解集在数轴上表示出来. 解:去分母:6-2x>x-3, 移项:-2x-x>-3-6, 合并同类项:-3x>-9, 系数化为 1:x<3. 将解集表示在数轴上如解图. 21 教师备课尊享·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 10. (2022 陕西 15 题 5 分)解不等式组: x+2>-1, x-5≤3(x-1) .{ 解:由 x+2>-1,得:x>-3, 由 x-5≤3(x-1),得:x≥-1, 则不等式组的解集为 x≥-1. 11. (2021 陕西 15 题 5 分)解不等式组: x+5<4, 3x+1 2 ≥2x-1. ì î í ï ï ïï 解:解不等式 x+5<4,得 x<-1, 解不等式 3x+1 2 ≥2x-1,得 x≤3, ∴不等式组的解集为 x<-1. 四 大单元结构化整合练 ★大单元整合练———实际应用题 类型 1　 购买问题 常用关系式 费用=单价×数量⇒ 单价= 费用 数量 数量= 费用 单价 ì î í ï ïï ï ïï 总费用=甲的单价×甲的数量+乙的单价×乙的数量 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①若每捆菜苗的价格为 x 元,则购买 10 捆菜苗需要　 10x　 元. ②若学校准备用 200 元购买单价为 x 元的菜苗,则可购进菜苗　 200 x 　 捆. ③若每捆 A 种菜苗的价格比每捆 B 种菜苗的价格贵 10 元,设每捆 A 种菜苗的价格为 x 元,则 购买 5 捆 A 种菜苗和 10 捆 B 种菜苗共需　 (15x-100) 　 元. 1. 某超市纪念品 A 的单价比纪念品 B 的单价多 20 元,小王购买 8 个纪念品 A 的金额比购买 5 个纪 念品 B 的金额多 310 元. 求纪念品 A,B 的单价. 解:设纪念品 B 的单价为 x 元,则纪念品 A 的单价为(x+20)元. 根据题意,得 8(x+20)-5x=310,解得 x=50,∴ x+20=50+20=70. 答:纪念品 A 的单价为 70 元,纪念品 B 的单价为 50 元. 2. 端午节前夕,小明和小华相约一起去超市购买粽子. 小明购买 A 品牌和B 品牌的粽子各 1 袋,共 花费 55 元;小华购买 A 品牌粽子 3 袋和 B 品牌粽子 2 袋,共花费 135 元,则 A,B 两种品牌粽子每 袋各是多少元? 解:设 A 品牌粽子每袋是 m 元,B 品牌粽子每袋是 n 元, 根据题意,得 m+n=55, 3m+2n=135,{ 解得 m=25, n=30.{ 答:A 品牌粽子每袋是 25 元,B 品牌粽子每袋是 30 元. 31 教师备课尊享·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 3. 某文具店王老板用 240 元购进一批笔记本,之后又用 600 元购进第二批笔记本,所购本数是第一 批的 2 倍,但进价比第一批每本多了 2 元,则第一批笔记本每本进价为多少元? 解:设第一批笔记本每本进价为 x 元,则第二批笔记本每本进价为(x+2)元, 由题意,得240 x ×2= 600 x+2 ,解得 x=8, 经检验,x=8 是原分式方程的解,且符合题意. 答:第一批笔记本每本进价为 8 元. 4. 公仔“山侠”和“水仙”,以“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作. 某商店计划用不超过 10200 元的 资金购进“山侠”和“水仙”两种公仔共 300 个,其中“山侠”公仔的单价是 36 元,“水仙”公仔的单 价是 30 元,则“山侠”公仔最多能购进多少个? 解:设购进 x 个“山侠”公仔,则购进(300-x)个“水仙”公仔, 根据题意,得 36x+30(300-x)≤10200,解得 x≤200, ∴ x 的最大值为 200. 答:“山侠”公仔最多能购进 200 个. 5. 为响应国家“全民阅读,建设学习型社会”的倡议,营造读书好、好读书、读好书的氛围,某校图书 馆计划选购甲、乙两种图书. 已知甲图书的单价是 23 元,乙图书的单价是 20 元. 若学校计划购买 两种图书共 600 本,且要求甲图书的数量不少于乙图书数量的 3 倍,则学校应如何购买这两种图 书才能使总费用最少? 最少总费用是多少? 解:设购买甲图书 x 本,则购买乙图书(600-x)本. 根据题意,得 x≥3(600-x),解得 x≥450. 设购买这两种图书的总费用为 y 元,则 y=23x+20(600-x)= 3x+12000, ∵3>0,∴ y 随 x 的增大而增大, ∵ x≥450,∴当 x=450 时,y 的值最小,y最小 =3×450+12000=13350,此时 600-x=600-450=150. 答:学校购买甲图书 450 本、乙图书 150 本才能使总费用最少,最少总费用是 13350 元. 类型 2　 销售问题 常用关系式 利润=销量×(售价-成本) 售价=标价×折扣;销售额=售价×销量 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①若某商店销售了 50 件单价为 x 元的商品,则销售额为　 50x　 元. ②若某商店销售售价为 x 元 /件的衬衫所得的销售额为 2100 元,则该商店销售衬衫的数量 为　 2100 x 　 件. ③某商店准备将一款玩具降价销售. 调查发现售价每降低 1 元,平均每周可多卖出 20 件. 降 价前每周可卖出 200 件,若降价 x 元,则降价后每周可卖出　 (200+20x) 　 件. ④某短款传统服装的进价为 80 元 /件,售价为 100 元 /件,销售 x 件该服装可获得的利润 为　 20x　 元. 41 教师备课尊享·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 1. 某商场销售某种商品,若按原价销售,则每天可卖出 50 件,若每件商品降价 20 元,则每天的销售 量为 60 件,且每天的销售额与原来相同,则该商品的原价为多少元? 解:设该商品的原价为 x 元, 由题意,得 50x=60(x-20),解得 x=120. 答:该商品的原价为 120 元. 2. 已知某书店中文学类书籍的售价为 20 元 /本,科技类书籍的售价为 30 元 /本. 若该书店销售两类书 籍共 90 本,销售额为 2100 元,则这两类书籍各销售了多少本? 解:设文学类书籍销售了 x 本,科技类书籍销售了 y 本, 根据题意,得 x+y=90, 20x+30y=2100,{ 解得 x=60, y=30.{ 答:文学类书籍销售了 60 本,科技类书籍销售了 30 本. 3. 近年来,电商平台直播带货成了火热的一个新兴职业. 春节期间,某直播销售员销售一种童装. 若 按原标价销售,则每周销售额为 10000 元;若按原标价的八五折销售,则每周多卖出 20 套,且销 售额增加 1900 元,则每套童装的原标价为多少元? 解:设每套童装的原标价为 x 元, 根据题意,得10000 +1900 85%x - 10000 x =20,解得 x=200, 经检验,x=200 是原分式方程的解,且符合题意. 答:每套童装的原标价为 200 元. 4. 某服装店每天销售“某品牌衬衫” 20 件,每件衬衫盈利 40 元. 该服装店决定降价销售该品牌衬 衫,经过市场调查发现:如果衬衫每降价 1 元,则每天多售出 2 件. 如果该服装店销售该品牌衬衫 每天盈利1250 元,那么该品牌衬衫每件降了多少元? 解:设该品牌衬衫每件降了 x 元, 根据题意,得(40-x)(2x+20)= 1250, 整理,得 x2-30x+225=0,解得 x1 =x2 =15. 答:该品牌衬衫每件降了 15 元. 5. 航空航天技术是一个国家综合国力的反映. 我国航天事业的飞速发展引发了航空航天模型的热 销,某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型共 100 套. 已知这两种模型的进价与售价如 表所示: “神舟”模型 “天宫”模型 进价(元 / 套) 16 25 售价(元 / 套) 20 30 若购进“神舟”模型的套数不少于“天宫”模型套数的 4 倍,求销售完这两种模型该航模店所获得 的最大利润. 解:设购进“神舟”模型 x 套,销售完这两种模型,该航模店所获得的利润为 y 元, 则购进“天宫”模型(100-x)套,∴则 y=(20-16)x+(30-25)(100-x)= -x+500. 根据题意,得 x≥4(100-x),解得 x≥80. ∵-1<0,∴ y 随 x 的增大而减小, ∵ x≥80,∴当 x=80 时,y 的值最大,y最大 =-80+500=420. 答:销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润是 420 元. 51 教师备课尊享·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 6. (2024 广东省卷)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023 年农产品进出口总额居 全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美. 某果商以每吨 2 万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每 吨 5 万元出售,平均每天可售出 100 吨. 市场调查反映:如果每吨降价 1 万元,每天销售量相应增 加 50 吨. 该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大? 并求出其最大值(题中“元” 为人民币) . 解:设该果商定价 x 万元 /吨时,每天的“利润”为 w 万元, 根据题意,得 w=(x-2)[100+50(5-x)] =-50(x-4. 5) 2+312. 5, ∵-50<0,且 2≤x≤5,∴当 x=4. 5 时,w 有最大值,最大值为 312. 5 万元. 答:该果商定价为 4. 5 万元 /吨时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大,其最大值为 312. 5 万元. 类型 3　 工程问题 常用关系式 工作量=工作效率×工作时间⇒ 工作效率= 工作量 工作时间 工作时间= 工作量 工作效率 ì î í ï ïï ï ïï 总工作量=甲的工作效率×甲的工作时间+乙的工作效率×乙的工作时间 工作总量不明确时,也可设工作总量为单位 1,则工作效率= 1 工作时间 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①甲工程队每天可完成 x 平方米的小区绿化,10 天可以完成　 10x　 平方米的小区绿化. ②某工程队计划以每天 x 米的速度完成 1800 米的隧道掘进任务,按计划完成任务需 要　 1800 x 　 天. ③某工程队计划每天铺设排污管道 x 米,实际施工时每天的工效比原计划增加 25%,则实际 每天的工效为　 1. 25x　 米. 1. 甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程,已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度 的 1. 5 倍,若甲、乙两工程队一起挖掘 200 米长的隧道,共用 4 天,则甲、乙两个工程队每天分别可 挖掘隧道多少米? 解:设乙工程队每天可挖掘隧道 x 米,则甲工程队每天可挖掘隧道 1. 5x 米, 由题意得 4(x+1. 5x)= 200,解得 x=20,∴1. 5x=1. 5×20=30. 答:甲工程队每天可挖掘隧道 30 米,乙工程队每天可挖掘隧道 20 米. 2. 近年来,城市更新行动速度在加快,保障和改善民生的步伐也在加快,人民群众获得感、幸福感、 安全感不断提升. 某社区在改造中,恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝 等标志性记忆点,新设计了系列文化景观,构建起一个“文化生态”空间. 第一期的改造工程面积 为 88 平方米,由甲、乙两人先后接力完成,若甲每天可完成 10 平方米,乙每天可完成 8 平方米, 共用 10 天完成,则甲、乙两人分别工作了多少天? 解:设甲工作了 x 天,乙工作了 y 天, 由题意,得 x+y=10, 10x+8y=88,{ 解得 x=4, y=6.{ 答:甲工作了 4 天,乙工作了 6 天. 61 教师备课尊享·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 3. 长春轨道交通 5 号线预计 2025 年全线通车. 2024 年 1 月硅谷广场站至硅谷大街站左线区间贯 通,线路全长约 1300 米. 为民生计,此段工程实际每天完成比原计划多 30%,结果比原计划提前 3 天完成任务. 原计划每天完成多少米? 解:设原计划每天完成 x 米,则实际每天完成(1+30%)x 米, 由题意得 1300 x - 1300 (1+30%)x =3,解得 x=100, 经检验,x=100 是原分式方程的解,且符合题意. 答:原计划每天完成 100 米. 类型 4　 行程问题 常用关系式 路程=速度×时间⇒ 速度= 路程 时间 时间= 路程 速度 ì î í ï ïï ï ïï 相遇:总路程=甲的路程+乙的路程 追及:①同地不同时:甲的路程=乙的路程 ②同时不同地:甲乙之间的距离= | 甲的路程-乙的路程 | 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①若甲开车以 x 千米 /小时的速度行驶了 3 小时,则路程为　 3x　 千米. ②若甲开车从 A 地以 x 千米 /小时的速度前往 300 千米外的 B 地,则所需的时间为　 300 x 　 小时. ③若小船在静水中航行的速度为 x 千米 /小时,水流的速度为 6 千米 /小时,则小船顺流航行 的速度为　 (x+6) 　 千米 /小时,逆流航行的速度为　 (x-6) 　 千米 /小时. 1. 小华从 A 地步行到 B 地,然后从 B 地骑自行车返回 A 地,共用了 2 h. 已知小华骑自行车的速度 为 15 km / h,步行的速度为 5 km / h,则 A,B 两地之间的距离为　 15 2 　 km. 2. 甲、乙两人沿 400 米的环形跑道同时同地出发跑步. 如果同向而行,那么经过 200 秒两人相遇;如 果背向而行,那么经过 50 秒两人相遇. 求甲、乙两人的跑步速度(甲的速度快) . 解:设甲的跑步速度是 x 米 /秒,乙的跑步速度是 y 米 /秒, 依题意,得 200x-200y=400, 50x+50y=400,{ 解得 x=5, y=3.{ 答:甲的跑步速度是 5 米 /秒,乙的跑步速度是 3 米 /秒. 3. 甲、乙两船从相距 300 km 的 A,B 两地同时出发相向而行,甲船从 A 地顺流航行 180 km 时与从 B 地逆流航行的乙船相遇,水流速度为 6 km / h,若甲、乙两船在静水中的速度相同,求两船在静水中 的速度. 解:设两船在静水中的速度为 x km / h,根据题意得180 x+6 =300-180 x-6 ,解得 x=30, 经检验,x=30 是原分式方程的解,且符合题意. 答:两船在静水中的速度为 30 km / h. 71 教师备课尊享·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 4. 甲、乙两车从相距 210 千米的 A,B 两地相向而行,且均保持匀速行驶,甲的行驶速度为 60 千米 /小 时,乙的行驶速度为 30 千米 /小时. 若甲、乙两车同时出发,甲车行驶了 1 小时后发生故障,甲车 原地检修用了 30 分钟后继续按原速度行驶,此时,乙车提高速度,为了保证乙车不超过 1 小时与 甲车相遇,那么乙车的行驶速度至少要提高多少千米 /小时? 解:设乙车比原来的行驶速度提高 m 千米 /小时, 根据题意得 60×2+30×1. 5+(30+m)×1≥210,解得 m≥15,∴m 的最小值为 15. 答:乙车的行驶速度至少要提高 15 千米 /小时. 五 2022 年版课标内容梳理 命题点 1　 一次方程(组)的解法及其应用 ①掌握等式的基本性质;能解一元一次方程. ②掌握消元法􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,能解二元一次方程组. (“掌握代入消元法和加减消元法”调整为“掌握消元法”) ③∗能解简单的三元一次方程组. ④能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(说法调整);理解方程解的意义􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新 增) . ⑤能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. (“的解是否合理”调整为“解的合理性”) 命题点 2　 一元二次方程的解法及其应用 ①经历估计方程解的过程. ②理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. ③会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及􀪍两个实根是否相等. (“和”调整为“及”) ④了解一元二次方程的根与系数的关系. (删除“∗”) ⑤能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(说法调整);理解方程解的意义􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新 增) . ⑥能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. (“的解是否合理”调整为“解的合理性”) 命题点 3　 分式方程的解法及其应用 ①能解可化为一元一次方程的分式方程. ②能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(说法调整);理解方程解的意义􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新 增) . ③能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. (“的解是否合理”调整为“解的合理性”) 命题点 4　 一元一次不等式(组)的解法及其应用 ①结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质. ②能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集; 会用数轴确定两个一元一次不等式 组成的不等式组的解集. ③能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题. 81