第一章三角形的证明复习测试卷 2024—2025学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明章末复习测试卷 本测试卷共23道题，满分120分，建议测试时间120分钟 第一部分选择题（共30分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（    ） A． 等腰三角形的三线合一 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等边对等角 2．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．已知x，y是等腰三角形的两边长，且x，y满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．10或12 D．10或11 4．如图，龙龙用长方体积木垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一块三角板（，），点在上，点、恰好与木墙的顶端重合，，，则两堵木墙之间的距离的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，的垂直平分线l交BC于点D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在长方形中，在线段上取一点M，使得，以点M为圆心，为半径作弧，交于点N，分别以点A、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接、，若，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 9．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，的平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③；④若点M、N分别为点P在、上的作垂线的垂足，则．其中正确的是（     ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是 ． 12．如图，在等边三角形中，平分，在、边上分别取点M、N，使，，在上有一动点P，则的最小值为 ．    13．如图，在中，，，，为等腰直角三角形，直角顶点在线段上运动，当点运动到中点时，的面积为 ． 14．如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 15．如图，已知中，，，于，于，与交于点，是的中点，连结交于点，以下结论：①，②，③，④若，则，其中正确的结论有 ．（填正确结论的序号） 三、解答题（共8小题，共75分，解答题需写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16．（8分）如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D． （1）求证：∠PCD=∠PDC；（2）求证：OP垂直平分线段CD 17．（8分）如图，在 中，是边上的高． (1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：作 的平分线与交于点 E，过点 E作于H； (2)判断 的形状，并说明理由． 18．（8分）已知：如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 19．（8分）如图，在△ABC中，∠A=90º，∠B=30º，AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作EF//AC交AB于点F； （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？ （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？ （3）求证：DC=EF； 20．（8分）在中，，，过点作的平行线，点是直线上异于点的动点，连接，过点作的垂线交直线于点．如图，当点在点的右侧． (1)求证：； (2)试判定线段，，之间有何数量关系？写出你的结论，并证明． 21．（10分）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G． （1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系； （2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 22．（12分））已知：是等边三角形，是直线上一动点，连接，在线段的右侧作射线且使，作点关于射线的对称点，连接，． (1)当点在线段上运动时， ①依题意将图1补全； ②请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在直线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不需证明． 23．中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过点作的平行线，交直线于点，连接． (1)如图，若，则是 三角形； (2)若 如图，当点在线段上移动，判断的形状并证明； 当点在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 《第一章三角形的证明章末复习测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D A A B D B B 1．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，为的中点， ∴， 故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一， 故选：A． 2．B 【分析】此题考查等边三角形判定与性质，熟练掌握等边三角形判定与性质是解题的关键 根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，等腰三角形的定义以及三角形三边关系，根据绝对值以及平方的非负性质可得出，，然后分类讨论利用等腰三角形的定义以及三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵已知x，y是等腰三角形的两边长， ∴当腰长为时，满足三角形三边关系，则等腰三角形的周长为∶， 当腰长为时，满足三角形三边关系，则等腰三角形的周长为∶， 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质及线段的和差关系即可求出的长． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 5．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图及其性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由长方形和可得，再根据作图可得直线是线段的垂直平分线，得出的度数，再利用求出的度数，最后在利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， 长方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由作图可得，直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ． 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键． 根据题意，可证，得到，则有，再证，得到，由，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 8．D 【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB＋S△ADC＝S△ABC得到×4×7＋×4×AC＝24，然后解一次方程即可． 【详解】作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC， ∴×4×7＋×4×AC＝24， ∴AC＝5， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型． 9．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，，再结合三角形的外角性质可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：， ， 在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ，， ，， ，，， ， ， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用与写出关系式整理即可得到④正确． 【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为D， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴点P在的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， ∴平分， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 很明显， ∴错误， 故②错误； ∵点M、N分别为点P在上的作垂线的垂足，的平分线交于点平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故④正确； ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， 故③题正确． 综上所述，①③④正确． 故选：B． 11．或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分的角分别为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时，如下图， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为， 当的角为底角时，则：顶角， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为； 故答案为：或． 12．8 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，在上截取，连接，推出的最小值为的长，以及是等边三角形，得到，再求出的长即可． 【详解】解：在上截取，连接，    ∵是等边三角形，， ∴所在的直线是的对称轴，， ∴点M，点关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为8． 故答案为：8． 13． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求得的长，作交的延长线于点，证明，推出，利用三角形的面积公式求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是中点， ∴， 作交的延长线于点， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．①③④ 【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的综合运用．只要证明，即可判断①②；证明可判断③；连接，证明是等腰直角三角形，求得，据此即可判断④． 【详解】解：①， ， ， 又，于， ， ， ， ， 又， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ．故①正确； ②，于， 平分，， ， 又， ， ，故②错误； ③，，， ， 又， ， ，故③正确； ④连接， ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 16．见解析 【分析】（1）∠PCD=∠PDC．由于P点是∠AOB平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出PC=PD，然后利用等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据已知条件首先容易证明Rt△POC≌Rt△POD，从而得到OC=OD，由（1）有PC=PD，利用线段的垂直平分线的判定即可证明结论． 【详解】(1)∠PCD=∠PDC. 理由：∵OP是∠AOB的平分线， 且PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD， ∴∠PCD=∠PDC； (2)OP是CD的垂直平分线. 理由：∵∠OCP=∠ODP=90°， 在Rt△POC和Rt△POD中， ， ∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)， ∴OC=OD， 由PC=PD，OC=OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点， 从而OP是线段CD的垂直平分线. 【点睛】此题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于得出PC=PD. 17．(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）直接运用角平分线和垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先说明是等腰直角三角形，再证明可得然后证明可得，然后根据线段的和差以及等量代换得到即可解答． 【详解】（1）解：如图：射线，线段即为所求； （2）解：为等腰三角形，理由如下： ∵，是边上的高， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴为等腰三角形． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出及，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，即可求出答案； （2）根据两个三角形的面积和求出答案即可． 【详解】（1）解：连接，如图所示． ∵，， ∴， 根据勾股定理得， 在中，， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）． 19．（1）当t为2时，△DEC为等边三角形；（2）当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形；（3）见解析 【分析】(1)根据等边三角形的性质得到EC=DC，列方程得到t=2； (2)根据直角三角形的性质得到CE=DC，列方程得到t=1.2，根据直角三角形的性质还可得到CE＝DC，列方程得到t=3； (3)根据直角三角形的性质得到BC=12cm，于是得到DC=(6-t)cm，BE=(12-2t)cm，根据平行线的性质得到∠A=∠BFE=90°，由直角三角形的性质得到EF=BE=(12-2t)=(6-t)cm，即可得到结论； 【详解】解：由题意得AD＝t cm，CE＝2t cm. (1)若△DEC为等边三角形，则EC＝DC， ∴2t＝6－t，解得t＝2， ∴当t为2时，△DEC为等边三角形． (2)若△DEC为直角三角形，当∠CED＝90°时， ∵∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠CDE＝30°， ∴CE＝DC，∴2t＝(6－t)，解得t＝1.2； 当∠CDE＝90°时，同理可得∠CED＝30°， ∴CE＝DC， ∴×2t＝6－t，∴t＝3， ∴当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形． (3)证明：∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm， ∴BC＝12 cm， ∴DC＝(6－t)cm，BE＝(12－2t)cm. ∵， ∴∠BFE＝∠A＝90°. ∵∠B＝30°， ∴EF＝BE＝(12－2t)＝(6－t)cm， ∴DC＝EF. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质. 20．(1)见解析； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识． （1）过作直线，交于，由，，直线，可得，是等腰直角三角形，故，，即可证明，得； （2）由（1）知，是等腰直角三角形，故，，即得． 【详解】（1）证明：过作直线，交于，如图：   ，， ， ， ， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 由①知，是等腰直角三角形， ，， ， ． 21．（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析 【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断． （2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：CF=CG； 证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB， ∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）CF=CG．理由如下：如图， 过点C作CM⊥OA，CN⊥OB， ∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°， ∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC， ∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°， ∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°， ∴∠MCN=30°+30°=60°， ∴∠MCN=∠DCE， ∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN， ∴∠MCF=∠NCG， 在△MCF和△NCG中， ∴△MCF≌△NCG（ASA）， ∴CF=CG（全等三角形对应边相等）． 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等． 22．(1)①见解析；②，证明见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，理解题意，进行分类讨论，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据题意，作出图形即可；②根据轴对称的性质可得：垂直平分，得出，，确定是等边三角形，利用等边三角形的性质及各角之间的数量关系可得，证明，得到，结合图中线段间的数量关系即可证明； （2）数量关系有三种，可分三种情况讨论：①当点在线段上时，，②当点在点的左侧时，，③当点在点右侧时，，根据等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：①补全图1如 下： ②，证明如下： 点关于射线的对称点为， 垂直平分， ， 又， ， 是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，． ，即． 在和中， ， ， ， 即； （2）解：或或； ①当点在线段上时，，证明过程为（1）； ②当点在点的左侧时，，如下图所示，证明如下： 由（1）得，是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， 即； ③当点在点右侧时，，如图所示，证明如下： 由（1）得，是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ． 23．(1)等边三角形； (2)为等腰三角形，见解析； 为等腰三角形，图见解析． 【分析】根据已知条件可以判断和为等边三角形，根据等边三角形的性质可证，利用证明，根据全等三角形的性质可证，根据平行线的性质，所以可得，所以可证为等边三角形； 当为等腰三角形，点在线段上移动时，可证，所以可得，根据平行线的性质可得，从而可证为等腰三角形； 当点在线段的延长线上移动时，仿照可证为等腰三角形． 【详解】（1）解：，，， 和为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 为等边三角形； （2）解：为等腰三角形， ，，， 和为等腰三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 为等腰三角形， ， 如下图所示，点为射线上一个动点（不与、重合）， 以为一边向的左侧作，使，， 过点作的平行线，交直线于点，连接， 为等腰三角形， ，，， 和为等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，解决本题的关键在于根据题意画出图形，证明三角形全等，根据全等三角形对应角相等、对应边相等可推出结论． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$