第01讲 二次根式的定义及性质【6个必考点】（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）

第01讲 二次根式的定义及性质【6个必考点】 【人教版】 【知识点1 二次根式的定义】 1 【必考点1 判断二次根式个数】 1 【必考点2 二次根式求参数】 2 【必考点3 二次根式有无意义的条件】 3 【知识点2 二次根式的基本性质】 3 【必考点4 根据二次根式的非负性求值】 3 【必考点5 根据二次根式性质进行化简】 4 【必考点6 根据二次根式性质化简复合二次根式】 5 【知识点1 二次根式的定义】 形如（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号，a叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数； （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有A=B. 【必考点1 判断二次根式个数】 【例1】（2024秋•射洪市校级期中）在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（2024春•万年县校级月考）已知下列各式：，其中二次根式的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2024春•凉州区月考）在式子、、（a＜﹣3）、（y＞0）、（x＜0）中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2024春•西青区校级月考）在下列式子中，一定是二次根式的有（　　） ，，，，，． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（2024春•东营区校级月考）下列各式中二次根式的个数有（　　） ① ② ③ ④ ⑤ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【必考点2 二次根式求参数】 【例1】（2024春•交口县期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【例2】（2024春•青县期末）如果是一个正整数，则整数a的最小值是（　　） A．10 B．2 C．﹣4 D．﹣2 【变式1】（2023春•黄骅市校级期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（2023春•河北区校级期中）已知为整数，则正整数n的最小值为（　　） A．3 B．9 C．18 D．21 【变式3】（2024秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是 　45　． 【变式4】（2024春•黄骅市校级期中）如果a为正数，且为正整数． （1）求的最小值及此时a的值； （2）求的最大值及此时a的值． 【必考点3 二次根式有无意义的条件】 【例1】（2024秋•梓潼县期末）有意义，则x的取值范围为 　 　． 【例2】（2024秋•雨花区期末）若代数式在实数内范围有意义，则x的取值范围为　 　． 【变式1】（2024秋•岳阳楼区校级期末）若有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1且x≠3 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≥1且x≠3 D．x≠﹣1且x≠3 【变式2】（2024春•钱塘区期末）下列二次根式中字母a的取值范围是全体实数的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2024春•蚌埠月考）使代数式有意义的整数x有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式4】（2024春•永善县期中）当x为任意实数时，下列各式中无意义的是（　　） A． B． C． D． 【知识点2 二次根式的基本性质】 （1）；a≥0（双重非负性）. （2）；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）. （3）（算术平方根的意义）. 【必考点4 根据二次根式的非负性求值】 【例1】（2024秋•万州区校级月考）设x、y为实数，且，则|x+y|的值是（　　） A．2 B．14 C．19 D．22 【例2】（2024秋•滕州市校级月考）已知a，b，c满足，则a+b﹣c的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（2024秋•榆中县期中）如果有意义，那么代数式的值为（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定 【变式2】（2024秋•顺义区校级期中）已知实数a满足，那么a﹣20252的值为多少？ 【变式3】（2024秋•榆中县期中）若y，求2x+y的值． 【变式4】（2024春•金乡县期末）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则a+b的值为 　　； （2）若x，y为实数，且，求x+y的值； （3）若实数a满足，求a+99的值． 【必考点5 根据二次根式性质进行化简】 【例1】（2024秋•长沙期末）若a﹣4，则a的取值范围是（　　） A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 【例2】（2024秋•西山区校级期末）若2＜a＜3，则（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5 【变式1】（2023秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 【变式2】（2024秋•三原县期中）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（　　） A．0 B．﹣2b C．2a﹣2b D．﹣2a 【变式3】（2024秋•嘉定区校级月考）若化简|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 【变式4】（2024秋•永春县校级月考）已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC． （1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 　 　（请直接写出答案）； （2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）． 【必考点6 根据二次根式性质化简复合二次根式】 【例1】（2024秋•石景山区校级期中）阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a2且，则可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵， ∴． 请你仿照上例化简下面问题： （1）； （2）． 【例2】（2024秋•薛城区期中）下面我们观察： ， 反之，， ∵ ∴． 仿上例，求： （1）化简：； （2）计算：． 【变式1】（2024秋•东区校级期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有： ． 例如：化简：． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12， 因为4+3＝7，4×3＝12， 即，， 所以． （1）化简为 　 　． （2）根据上述方法化简：． 【变式2】（2024秋•从江县校级期中）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1）； （2）． 【变式3】（2024秋•衡阳县期中）阅读下面例题：化简 解：∵2+5＝7，2； 7+2 ∴ 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【变式4】（2024秋•东阳市期末）已知有理数a，b满足，求a，b的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式的定义及性质【6个必考点】 【人教版】 【知识点1 二次根式的定义】 1 【必考点1 判断二次根式个数】 1 【必考点2 二次根式求参数】 3 【必考点3 二次根式有无意义的条件】 5 【知识点2 二次根式的基本性质】 7 【必考点4 根据二次根式的非负性求值】 7 【必考点5 根据二次根式性质进行化简】 10 【必考点6 根据二次根式性质化简复合二次根式】 12 【知识点1 二次根式的定义】 形如（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号，a叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数； （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有A=B. 【必考点1 判断二次根式个数】 【例1】（2024秋•射洪市校级期中）在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解答】解：在式子，，，，中，是二次根式的有，，共3个． 故选：B． 【例2】（2024春•万年县校级月考）已知下列各式：，其中二次根式的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据二次根式的意义，（a≥0），即可作出判断． 【解答】解：为二次根式，共3个． 故选：B． 【变式1】（2024春•凉州区月考）在式子、、（a＜﹣3）、（y＞0）、（x＜0）中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案． 【解答】解：、、（y＞0）、（x＜0）都是二次根式； 当a＜﹣3时，a+1＜0，则无意义． 故选：C． 【变式2】（2024春•西青区校级月考）在下列式子中，一定是二次根式的有（　　） ，，，，，． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【解答】解：当a＜0时，不是二次根式， ∵x2≥0，∴x2+3＞0，则是二次根式， ∵77＞0，∴是二次根式， ∵﹣62＝﹣36＜0，∴不是二次根式， ∵（﹣9）2＝81＞0，∴是二次根式， 不是二次根式， 则一定是二次根式的有：，，， 故选：B． 【变式3】（2024春•东营区校级月考）下列各式中二次根式的个数有（　　） ① ② ③ ④ ⑤ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据二次根式的定义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【解答】解：①，是二次根式； ②，不是二次根式； ③，只有x≥1时才是二次根式，故不一定是二次根式； ④，是二次根式； ⑤，是二次根式， 所以二次根式有3个， 故选：B． 【必考点2 二次根式求参数】 【例1】（2024春•交口县期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【分析】因为是整数，且3，则7n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为7． 【解答】解：∵3，且是整数； ∴3是整数，即7n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为7． 故选：B． 【例2】（2024春•青县期末）如果是一个正整数，则整数a的最小值是（　　） A．10 B．2 C．﹣4 D．﹣2 【分析】根据是一个正整数，得出，根据a为整数，得出a的最小值为﹣2，最后代入a＝﹣2验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【解答】解：∵是一个正整数， ∴5+2a≥0， ∴， ∵a为整数， ∴a的最小值为﹣2， 且a＝﹣2时，，故D正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】（2023春•黄骅市校级期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】因为是整数，则（6n+4）是完全平方数，然后求满足条件的最小正整数n 【解答】解：∵是整数， ∴（6n+4）是完全平方数，且6n+4≥0， ∴n， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【变式2】（2023春•河北区校级期中）已知为整数，则正整数n的最小值为（　　） A．3 B．9 C．18 D．21 【分析】根据被开方数是整数，可得被开方数能开尽方，可得答案． 【解答】解：是整数，则正整数n的最小值是21， 故选：D． 【变式3】（2024秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是 　45　． 【分析】由，结合b是正整数，是大于1的整数，可得b是15的倍数，从而可得答案． 【解答】解：∵， 又∵b是正整数且是大于1的整数， ∴当b＝15时，的整数值最大为4，此时b的值最小， 当b＝60时，的整数值最小为2，此时b的值最大， ∴b的最大值与最小值的差是60﹣15＝45． 故答案为：45． 【变式4】（2024春•黄骅市校级期中）如果a为正数，且为正整数． （1）求的最小值及此时a的值； （2）求的最大值及此时a的值． 【分析】（1）根据a正数，判定1≤29﹣a≤29，利用估算思想判断，得到29﹣a＝1，计算即可； （2）根据a正数，判定1≤29﹣a≤29，利用估算思想判断，得到29﹣a＝25，计算即可． 【解答】解：（1）因为a为正数，为正整数， 所以a＞0，1≤29﹣a＜29， 所以， 故的最小值是1， 此时29﹣a＝1， 解得a＝28． （2）因为a为正数，为正整数， 所以a＞0，1≤29﹣a＜29， 所以， 故的最大值是5， 此时29﹣a＝25， 解得a＝4． 【必考点3 二次根式有无意义的条件】 【例1】（2024秋•梓潼县期末）有意义，则x的取值范围为 　x≥5　． 【分析】根据分母不为零和二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣5≥0且4﹣x≠0， 解得x≥5． 故答案为：x≥5． 【例2】（2024秋•雨花区期末）若代数式在实数内范围有意义，则x的取值范围为　x＞1　． 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件，可得x﹣1＞0，然后根据一元一次不等式的解法，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵代数式在实数内范围有意义， ∴x﹣1＞0， 解得x＞1， 即x的取值范围为：x＞1． 故答案为：x＞1． 【变式1】（2024秋•岳阳楼区校级期末）若有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1且x≠3 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≥1且x≠3 D．x≠﹣1且x≠3 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解答】解：由题意得：x+1≥0且x﹣3≠0， 解得：x≥﹣1且x≠3， 故选：B． 【变式2】（2024春•钱塘区期末）下列二次根式中字母a的取值范围是全体实数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质即可直接求解． 【解答】解：∵（a﹣1）2≥0恒成立， ∴a的取值范围为全体实数． ∴D选项正确， 故选：D． 【变式3】（2024春•蚌埠月考）使代数式有意义的整数x有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组求解并取解集中的整数即可． 【解答】解：由题意，得， 解不等式组得， 符合条件的整数有：﹣1、0、1共三个． 故选：C． 【变式4】（2024春•永善县期中）当x为任意实数时，下列各式中无意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件和立方根的定义逐个判断即可． 【解答】A．不论x为何值，x2+1＞0，即有意义，故本选项不符合题意， B．∵不论x为何值，x2+1＞， ∴﹣1﹣x2＜0， 即无意义，故本选项符合题意， C．不论x为何值，（﹣x）2+1＞0，即有意义，故本选项不符合题意， D．不论x为何值，都有意义，故本选项不符合题意． 故选：B． 【知识点2 二次根式的基本性质】 （1）；a≥0（双重非负性）. （2）；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）. （3）（算术平方根的意义）. 【必考点4 根据二次根式的非负性求值】 【例1】（2024秋•万州区校级月考）设x、y为实数，且，则|x+y|的值是（　　） A．2 B．14 C．19 D．22 【分析】根据算术平方根的非负性求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得x＝8， 把x＝8代入， 解得y＝6， ∴|x+y|＝|8+6|＝14． 故选：B． 【例2】（2024秋•滕州市校级月考）已知a，b，c满足，则a+b﹣c的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】先将已知等式利用完全平方公式变形为，再根据偶次方的非负性、绝对值的非负性，算术平方根的性质可求出a、b、c的值，代入计算即可得． 【解答】解：∵， ∴， ∴8﹣a≥0，a﹣8≥0， ∴a＝8， ∴|c﹣17|+（b﹣15）2＝0， ∴c﹣17＝0，b﹣15＝0， ∴c＝17，b＝15， ∴a+b﹣c＝8+15﹣17＝6， 故选：C． 【变式1】（2024秋•榆中县期中）如果有意义，那么代数式的值为（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣1≥0，9﹣x≥0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【解答】解：∵有意义， ∴x﹣1≥0，9﹣x≥0， ∴； 故选：B． 【变式2】（2024秋•顺义区校级期中）已知实数a满足，那么a﹣20252的值为多少？ 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出a的取值范围，再化简绝对值，从而求出代数式的值． 【解答】解：由题意，得a﹣2026≥0， ∴a＞2026， ∴2025﹣a＜0， ∴原式可以变形为α﹣2025十a， ∴， ∴a﹣2026＝20252， ∴a﹣20252＝2026． 【变式3】（2024秋•榆中县期中）若y，求2x+y的值． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知x的值，进一步得到y的值，再代入计算即可求解． 【解答】解：∵y， ∴x2﹣4＝0且x+2≠0， 解得x＝2， ∴y＝0， ∴2x+y ＝4+0 ＝4． 【变式4】（2024春•金乡县期末）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则a+b的值为 　﹣2　； （2）若x，y为实数，且，求x+y的值； （3）若实数a满足，求a+99的值． 【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值． （2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值； （3）根据得出a≥100，然后化简得出，求出a的值，然后再求出结果即可． 【解答】解：（1）∵， 且，， ∴a﹣1＝0，3+b＝0， ∴a＝1，b＝﹣3， ∴a+b＝﹣2； 故答案为：﹣2． （2）∵， ∴y﹣5≥0且5﹣y≥0， ∴y≥5且y≤5， ∴y＝5， ∴x2＝9， ∴x＝±3， 当x＝3时，x+y＝3+5＝8； 当x＝﹣3时，x+y＝﹣3+5＝2； 答：x+y的值为2或8； （3）∵， ∴a﹣100≥0， ∴a≥100， ∴方程可变为， ∴， ∴a﹣100＝992， 解得a＝9901， ∴a+99＝9901+99＝10000． 【必考点5 根据二次根式性质进行化简】 【例1】（2024秋•长沙期末）若a﹣4，则a的取值范围是（　　） A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 【分析】已知等式利用二次根式性质化简，再利用绝对值的代数意义求出a的范围即可． 【解答】解：∵|a﹣4|＝a﹣4， ∴a﹣4≥0，即a≥4， 故选：D． 【例2】（2024秋•西山区校级期末）若2＜a＜3，则（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【解答】解：因为2＜a＜3， 所以a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5， 故选：D． 【变式1】（2023秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a﹣4及a﹣11的符号，再把原式进行化简即可． 【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10， ∴a﹣4＞0，a﹣11＜0， ∴原式 ＝a﹣4+11﹣a＝7． 故选：A． 【变式2】（2024秋•三原县期中）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（　　） A．0 B．﹣2b C．2a﹣2b D．﹣2a 【分析】由数轴可得a﹣1＜0，b﹣1＞0，然后将原式利用二次根式的性质，立方根的定义进行化简即可． 【解答】解：由数轴得a﹣1＜0，b﹣1＞0， 原式＝1﹣a﹣（a+b）+b﹣1 ＝1﹣a﹣a﹣b+b﹣1 ＝﹣2a， 故选：D． 【变式3】（2024秋•嘉定区校级月考）若化简|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 【分析】根据完全平方公式和|a|，把多项式化简为|x﹣4|﹣|1﹣x|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【解答】解：原式|1﹣x|＝|x﹣4|﹣|1﹣x|， 当x＜1时， 此时1﹣x＞0，x﹣4＜0， ∴（4﹣x）﹣（1﹣x）＝4﹣x﹣1+x＝3，不符合题意， 当1≤x≤4时， 此时1﹣x≤0，x﹣4≤0， ∴（4﹣x）﹣（x﹣1）＝5﹣2x，符合题意， 当x＞4时， 此时x﹣4＞0，1﹣x＜0， ∴（x﹣4）﹣（x﹣1）＝﹣3，不符合题意， ∴x的取值范围为：1≤x≤4， 故选B． 【变式4】（2024秋•永春县校级月考）已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC． （1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 　3　（请直接写出答案）； （2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）． 【分析】（1）把x＝2代入三角形的三边中，化简后计算出三角形的边长进行比较即可； （2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围． 【解答】解：（1）当x＝2时， ， ∵， ∴△ABC的最长边的长度是3， 故答案为：3； （2）由题意得， 由第一个不等式得：x≥﹣1， 由第二个不等式得：x≤4， 即﹣1≤x≤4， 则，， 那么 ． 【必考点6 根据二次根式性质化简复合二次根式】 【例1】（2024秋•石景山区校级期中）阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a2且，则可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵， ∴． 请你仿照上例化简下面问题： （1）； （2）． 【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【解答】解：（1）∵ ， ∴ ； （2）∵ ， ∴ ． 【例2】（2024秋•薛城区期中）下面我们观察： ， 反之，， ∵ ∴． 仿上例，求： （1）化简：； （2）计算：． 【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可； （2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可． 【解答】解：（1）∵ ∴； （2） ． 【变式1】（2024秋•东区校级期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有： ． 例如：化简：． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12， 因为4+3＝7，4×3＝12， 即，， 所以． （1）化简为 　　． （2）根据上述方法化简：． 【分析】（1）根据理解可知5+3＝8，5×3＝15，可得完全平方公式，再开方即可； （2）先把化为，由12+7＝19，12×7＝84，可得完全平方公式，开方即可． 【解答】解：（1）∵5+3＝8，5×3＝15， ， ∴． 故答案为：； （2）将化为， ， ∴． 【变式2】（2024秋•从江县校级期中）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1）； （2）． 【分析】（1）根据题意得到，即可到答案； （2）把化为，即可得到答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式3】（2024秋•衡阳县期中）阅读下面例题：化简 解：∵2+5＝7，2； 7+2 ∴ 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据完全平方公式、二次根式的性质化简； （2）先把变形，再根据完全平方公式、二次根式的性质化简； （3）x，求出x2，再根据完全平方公式、二次根式的性质化简． 【解答】解：（1）∵5﹣23﹣22＝（）2﹣2（）2＝（）2， ∴； （2）； （3）设x， 则x2＝（）2 ＝424 ＝8+2 ＝8+2 ＝8+2 ＝8+22 ＝6+2， ∴x1，即1． 【变式4】（2024秋•东阳市期末）已知有理数a，b满足，求a，b的值． 【分析】先根据完全平方公式依次化简被开方数，最终得出，根据题意得出a＝2，b﹣2＝﹣1，于是问题得解． 【解答】解： ， ∵有理数a，b满足， ∴， ∴a＝2，b﹣2＝﹣1， ∴b＝1． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$